射影・直和・直交直和 の履歴(No.5)
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ベクトルの成分†
規格化されたベクトル に対して、ベクトル を
- に平行な成分 と、
- に垂直な成分 とに分け、
としたい。
は と平行なので、
と書き直すと、
両辺に左から をかければ、
が得られ、
としてこれらのベクトルを求められる。
(同じことをグラム・シュミットの直交化で行った)
この を の 方向成分と呼ぶ。
注意1†
複素ベクトルに対しては なので、 どちらから掛けるかが重要になる。
だが、
となってしまう。
注意2†
特に、この授業では となる内積の公理を採用しているが、 多くの教科書では を採用しているため、その差にも注意が必要。
射影演算子†
&math( \bm x_{\parallel}&=(\bm e,\bm x)\bm e );
これは 「数」×「ベクトル」 の形で、「ベクトルのスカラー倍」 として任意の線形空間において正しい形であるが、
特に数ベクトル空間においてはこれを
&math( \bm x_{\parallel}&=(\bm e,\bm x)\bm e\\ &=\bm e(\bm e,\bm x) );
のように入れ替えると、「n×1行列」×「1×1行列」のかけ算になって、 行列のかけ算として正しい形になる。 (スカラーと1×1行列を同一視するのは1年生で学んだとおり)
さらに内積を行列の積で表わして括弧を外すと、
&math( \bm x_{\parallel}&=(\bm e,\bm x)\bm e\\ &=\bm e (\bm e,\bm x)\\ &=\bm e \{\bm e^\dagger \bm x\}\\ &=\bm e \bm e^\dagger \bm x\\ &=P_{\bm e} \bm x );
として、行列 とベクトル のかけ算の形にできる。
ただし、 である。実際の形は、
&math( P_{\bm e}&=\bm e\bm e^\dagger= \begin{pmatrix} e_1\\e_2\\\vdots\\e_n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \overline{ e_1}&\overline{ e_2}&\dots&\overline{ e_n} \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} e_1\overline{e_1}&e_1\overline{e_2}&\cdots&e_1\overline{e_n}\\ e_2\overline{e_1}&e_2\overline{e_2}&&\vdots\\ \vdots&&\ddots&\vdots\\ e_n\overline{e_1}&\cdots&\cdots&e_n\overline{e_n} \end{pmatrix} );
のように 行列になる。
この行列は から 方向成分を取り出す行列となる。
を 軸への射影演算子と呼ぶ。
に に垂直な光を当てたときにできる影が であるという気持ちが込められている → 「射影」
任意の計量線形空間において射影演算子は線形変換になる†
&math(\bm x&=a\bm y+b\bm z\\ &=a\bm y_{\parallel}+a\bm y{\perp}+b\bm z_{\parallel}+b\bm z{\perp}\\ &=(a\bm y_{\parallel}+b\bm z_{\parallel})+(a\bm y{\perp}+b\bm z{\perp})\\ &=\bm x_\parallel+\bm x_\perp);
であり、
から
を導ける。
線形演算子である射影演算子を、 ある正規直交基底に対して表現すると、上で求めた のような行列になる。
射影演算子はエルミート行列になる。†
上記の「具体的な形」を見て分かるとおり、
より、 であり、 射影演算子はエルミートであることが分かる。
以下、あるベクトルを「成分」に分ける話を一般化する。
復習1:線形空間†
線形空間とは、ベクトルの和とスカラー倍について閉じた集合のことだった。
- 任意の に対して、必ず
- 任意の に対して、必ず
線形空間の例:
- ゼロ次元空間 = 原点のみ
- 1次元空間 = 直線的
- 2次元空間 = 平面的
- ・・・
同じ直線的でも、原点を通らない は線形空間にならないのであった。
復習2:部分空間†
線形空間の部分集合 がベクトルの和とスカラー倍について閉じている場合、 も線形空間となり、 は の部分空間であるという。
復習3:集合の積と和†
集合 と集合 の積と和は、
- 積(交わり):
- 和(結び) :
記号の覚え方:
- 「 」は英語では「 」
- And の A と とは似ている(でしょ?)
交空間†
2つの部分空間 の交わり は無条件で線形空間となり、 交空間と呼ばれる。
練習:部分空間の積(交わり)がベクトルの和とスカラー倍について閉じていることを示せ。
和集合は線形空間にならない†
File not found: "ベクトルの成分1.png" at page "線形代数II/射影・直和・直交直和"[添付]
2つの1次元部分空間 の和は、原点を通る2本の直線を合わせた集合。
この集合から2つのベクトルを取って和を作ると、集合から「はみ出してしまう」。
和空間†
和集合を含む最小の線形空間を和空間と呼ぶ
和集合は $W_1,W_2$ の基底ベクトルを合わせたベクトルで張られる†
の基底を とする。
ただし のとき、
であり、任意の を基底を合わせたベクトルの一次結合で表せることが分かる。
和集合の次元†
基底 に含まれるベクトルが一次独立であれば
となるが、一般には2つの空間の交わりがゼロにはならないため、
となる。より正確には、
である。
例:3次元空間に2枚の原点を通る平面 を考えると、これらは部分空間である。 2枚が平行ではない場合、これらの和空間 は3次元空間全体であり、原点を通る交線が交空間 である。このとき、
&math( \underbrace{\dim(W_1+W_2)}_3=\underbrace{\dim W_1}_2+\underbrace{\dim W_2}_2-\underbrace{\dim(W_1\cap W_2)}_1 );
直和†
の部分空間 の基底を合わせると の基底となる場合、
と書き、 を と の直和であるという。
成分分解†
の基底を とすると、
&math( \bm x&=\underbrace{x_1\bm b_1+x_2\bm b_2+\cdots}_{\bm x_1\in W_1} \underbrace{\cdots+x_n\bm b_n}_{\bm x_2\in W_2}\\ &=\bm x_1+\bm x_2 );
のように、任意の を2つの成分 と とに一意に分解できる。
成分の値はもう一方の空間に依存する†
File not found: "ベクトルの成分1.png" at page "線形代数II/射影・直和・直交直和"[添付] File not found: "ベクトルの成分2.png" at page "線形代数II/射影・直和・直交直和"[添付]
同じベクトル
を
と
に分解したときの
と、
と
に分解したときの
とは
異なる値になるので注意せよ。
直交直和†
の部分空間 の正規直交基底を合わせると の正規直交基底となる場合、
と書き、 を と の直交直和であるという。
このとき、任意の と任意の は直交する。
補空間†
与えられた全体空間 を、 と表せるとき、
を の補空間と呼び、 と表わす。
全体集合をある空間と補空間へ分解することは、 に含まれる成分と、 それと垂直な成分とに分解することに対応する。
の正規直交基底を とすると、 任意の は、
&math( \bm x&=\bm x_V+\bm x_{V^\perp}\\ &=(x_1\bm e_1+x_2\bm e_2+\dots+x_n\bm e_n)+\bm x_{V^\perp} );
と分解でき、左から を掛ければ、
&math( (\bm e_k,\bm x)&=x_1(\bm e_k,\bm e_1)+x_2(\bm e_k,\bm e_2)+\dots+x_n(\bm e_k,\bm e_n)+(\bm e_k,\bm x_{V^\perp})\\ &=x_k );
となるから、これを元の式に代入すれば、
&math( \bm x_V&=(\bm e_1,\bm x)\bm e_1+(\bm e_2,\bm x)\bm e_2+\dots+(\bm e_1,\bm x)\bm e_n\\ &=\bm e_1\bm e_1^\dagger\bm x+\bm e_2\bm e_2^\dagger\bm x+\dots+\bm e_n\bm e_n^\dagger\bm x\\ &=\big(\sum_{k=1}^n\bm e_k\bm e_k^\dagger\big)\bm x\\ &=P_V\bm x );
であり、 が全体集合 から への射影演算子を表わすことが分かる。
直交直和でない場合には†
&math( (\bm e_k,\bm x_{V^\perp})=0 );
が必ずしも成り立たないため、成分への分解はこれほど単純ではなくなる。
例1†
の部分空間として で張られる空間 を考える。
から への射影演算子を求めよ。
解答:
からシュミットの直交化を用いて正規直交系を作る。
&math( \bm f_2 &=\bm a-(\bm e_1,\bm a)\bm e_1\\ &=\bm a-\bm e_1\bm e_1^\dagger\bm a\\ &=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}
- \frac{1}{2}\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}
);
&math( \bm e_2=\frac{1}{\|\bm f_2\|}\bm f_2=\frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix} );
したがって、求める射影演算子は
&math( P_V&=\bm e_1\bm e_1^\dagger+\bm e_2\bm e_2^\dagger\\ &=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1&0&1\end{pmatrix}
- \frac{1}{3}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1&1\end{pmatrix}\\ &=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1&0&-1\\0&0&0\\-1&0&1\end{pmatrix}
- \frac{1}{3}\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}\\ &=\frac{1}{6}\begin{pmatrix}5&2&-1\\2&2&2\\-1&2&5\end{pmatrix} );
各射影演算子がエルミート(実数行列では対称)になっていることにも注目。
例2†
3次元空間に原点を通る平面 を考える。 この平面への射影演算子を求めよ。
一般化†
上記は2つの部分空間について交空間、和空間、直和、直交直和を考えたが、 2つ以上の部分空間がある場合にも自然に拡張できる。
交空間 | 共通部分 | |
和空間 | 拡張部分 | |
直和 | 一次独立 | |
直交直和 | 直交 |
たとえば の意味である。
直和や直交直和は普通の意味での「演算子」ではなく、和空間の演算子で結ばれる2つの空間が特殊な条件を満たすことを表わしているに過ぎない。