線形代数II/行列の関数 の履歴(No.5)

対角行列の累乗†

対角行列 を

とすれば、

であり、同様に、

対角行列の多項式†

例えば、

&math(\alpha D^l+\beta D^m=\alpha \begin{pmatrix}a^l&0\\0&d^l\end{pmatrix}+\beta \begin{pmatrix}a^m&0\\0&d^m\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\alpha a^l+\beta a^m&0\\0&\alpha d^l+\beta d^m\end{pmatrix});

元の式 と、
結果の対角要素 、
の類似性に注目せよ。

一般の行列の累乗†

を 次の行列として、 により対角化可能とする。

&math(P^{-1}AP=D= \begin{pmatrix} \lambda_1&0&\dots&0\\ 0&\lambda_2&&\vdots\\ \vdots&&\ddots&0\\ 0&\dots&0&\lambda_n \end{pmatrix} );

すると、

より、

&math( A^m &= (PDP^{-1})^m =PD\underbrace{P^{-1}P}_{E}D\cdots D\underbrace{P^{-1}P}_{E}DP^{-1}\\ &= PD^mP^{-1} =P \begin{pmatrix} \lambda_1^m&0&\dots&0\\ 0&\lambda_2^m&&\vdots\\ \vdots&&\ddots&0\\ 0&\dots&0&\lambda_n^m \end{pmatrix} P^{-1} );

と表せる。

左辺を普通に計算しようとすれば行列のかけ算が 回必要になるが、 右辺は数値の 乗が 回と、行列のかけ算２回で済むため計算量が少なく、 また理論的にも見通しがよい。

一般の行列の多項式†

を任意の多項式として、

を次のように定義する。

（ゼロ次項に単位行列が掛かっていることに注意せよ）

すると、

&math( g(A)&=\sum_{k=0}a_kPD^kP^{-1}\\ &=P\Big(\sum_{k=0}a_kD^k\Big)P^{-1}\\ &= P\begin{pmatrix} g(\lambda_1)&0&\dots&0\\ 0&g(\lambda_2)&&\vdots\\ \vdots&&\ddots&0\\ 0&\dots&0&g(\lambda_n) \end{pmatrix} P^{-1} );

のように、任意の行列の多項式を、対角化を用いて固有値の多項式に関連づけることができる。

行列の指数関数†

指数関数をマクローリン展開すると、

&math( e^x=1+x+\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{3!}x^3+\dots=\sum_{k=0} \frac{1}{k!}x^k );

であるから、

として、「行列の指数関数」を定義できる。

また、 が対角化可能な場合にはこの値を

&math( e^{A}=\sum_{k=0} \frac{1}{k!}A^k=g(A)= P \begin{pmatrix} g(\lambda_1)&0&\dots&0\\ 0&g(\lambda_2)&&\vdots\\ \vdots&&\ddots&0\\ 0&\dots&0&g(\lambda_n) \end{pmatrix} P^{-1}= P \begin{pmatrix} e^{\lambda_1}&0&\dots&0\\ 0&e^{\lambda_2}&&\vdots\\ \vdots&&\ddots&0\\ 0&\dots&0&e^{\lambda_n} \end{pmatrix} P^{-1} );

などとして、行列の指数関数の値を固有値の指数関数の値から求められる。

一般の関数†

一般の関数 が でマクローリン展開可能であれば、 収束半径内において

と書けるから、上記と同様に を定義できて、 対角化が可能な場合には固有値に を適用することでその値を求められる。