球座標を用いた変数分離 の履歴(No.6)

微分の変換†

極座標で表わされた関数 について考える。

が微小量 だけ変化した結果、 が だけ変化したとする。

また の変化のために もそれぞれ だけ変化したとする。

このとき、

　

に、 を代入すれば、

　

一方、 であるから、

　

したがって、

　&math(\frac{\PD }{\PD x}=\frac{\PD r}{\PD x}\frac{\PD}{\PD r}+\frac{\PD \theta}{\PD x}\frac{\PD}{\PD \theta}+\frac{\PD \phi}{\PD x}\frac{\PD}{\PD \phi}\\ );

同様にして、

　&math( \begin{cases} \displaystyle\frac{\PD }{\PD x}=\frac{\PD r}{\PD x}\frac{\PD}{\PD r}+\frac{\PD \theta}{\PD x}\frac{\PD}{\PD \theta}+\frac{\PD \phi}{\PD x}\frac{\PD}{\PD \phi}\\[4mm] \displaystyle\frac{\PD }{\PD y}=\frac{\PD r}{\PD x}\frac{\PD}{\PD r}+\frac{\PD \theta}{\PD x}\frac{\PD}{\PD \theta}+\frac{\PD \phi}{\PD x}\frac{\PD}{\PD \phi}\\[4mm] \displaystyle\frac{\PD }{\PD z}=\frac{\PD r}{\PD x}\frac{\PD}{\PD r}+\frac{\PD \theta}{\PD x}\frac{\PD}{\PD \theta}+\frac{\PD \phi}{\PD x}\frac{\PD}{\PD \phi}\\ \end{cases} );

のように変換される。

計算を進めるには、 などを求める必要がある。

演習：偏微分の計算†

以下、全微分の時と異なり であることに注意せよ。

(1) の関係を用いて、 を で書き表せ。

(2) の関係を用いて、 を で書き表せ。

(3) の関係を用いて、 を で書き表せ。

上記結果を代入すれば、

　&math( \begin{cases}

\displaystyle\frac{\PD}{\PD x}= \sin\theta\cos\phi \frac{\PD}{\PD r}

1. \frac{1}{r}\cos\theta\cos\phi \frac{\PD}{\PD \theta}

• \frac{\sin\phi}{r\sin\theta} \frac{\PD}{\PD \phi}\\[4mm]

\displaystyle\frac{\PD}{\PD y}= \sin\theta\sin\phi \frac{\PD}{\PD r}

1. \frac{1}{r}\cos\theta\sin\phi \frac{\PD}{\PD \theta}
2. \frac{\cos\phi}{r\sin\theta} \frac{\PD}{\PD \phi}\\[4mm]

\displaystyle \frac{\PD}{\PD z}= \cos\theta \frac{\PD}{\PD r}

• \frac{1}{r}\sin\theta \frac{\PD}{\PD \theta}\\[4mm]

\end{cases} );

球座標表示のラプラシアン†

　

に上記を代入するだけ！　・・・　実際やってみるとえらい大変。→ 計算の詳細

結果だけまとめると、

　

ただし、

　&math(\hat\Lambda=\frac{1}{\sin\theta} \frac{\PD}{\PD \theta} \Big(\sin\theta\frac{\PD}{\PD \theta}\Big)+\frac{1}{\sin^2\theta} \frac{\PD^2}{\PD \phi^2});

球座標の角運動量演算子†

単に代入すればよいのだけれど、これも計算は大変 → 詳細はこちら

&math( \begin{cases} \displaystyle \hat l_x=-i\hbar\Big(y\frac{\PD}{\PD z}-z\frac{\PD}{\PD y}\Big) =i\hbar\Big(\sin\phi\frac{\PD}{\PD\theta}+\frac{\cos\phi}{\tan\theta}\frac{\PD}{\PD\phi}\Big) \\[4mm] \displaystyle \hat l_y=-i\hbar\Big(z\frac{\PD}{\PD x}-x\frac{\PD}{\PD z}\Big) =i\hbar\Big(-\cos\phi\frac{\PD}{\PD\theta}+\frac{\sin\phi}{\tan\theta}\frac{\PD}{\PD\phi}\Big) \\[4mm] \displaystyle \hat l_z=-i\hbar\Big(x\frac{\PD}{\PD y}-y\frac{\PD}{\PD x}\Big) =-i\hbar\frac{\PD}{\PD\phi} \end{cases} );

全角運動量は、

　&math( \hat{\bm l}^2&=\hat l_x^2+\hat l_y^2+\hat l_z^2 =-\hbar^2\Big[\frac{1}{\sin\theta}\frac{\PD}{\PD\theta}\Big(\sin\theta\frac{\PD}{\PD\theta}\Big)+\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\PD^2}{\PD\phi^2}\Big] =-\hbar^2\hat\Lambda );

注目すべき重要な結果†

ラプラシアン：

　

　&math(\hat\Lambda=\frac{1}{\sin\theta} \frac{\PD}{\PD \theta} \Big(\sin\theta\frac{\PD}{\PD \theta}\Big)+\frac{1}{\sin^2\theta} \frac{\PD^2}{\PD \phi^2});

軸周りの運動量：

　&math( \hat l_z=-i\hbar\frac{\PD}{\PD\phi} );

全角運動量：

　&math( \hat{\bm l}^2=-\hbar^2\hat\Lambda );

ラプラシアンの の項の係数は、 全角運動量の演算子と の係数を除いて等しい。

変数を分離する†

と置けば、

　&math( &\frac{\hbar^2}{2m}\Big(\frac{\PD^2}{\PD r^2}+\frac{2}{r}\frac{\PD}{\PD r}+\frac{1}{r^2}\hat\Lambda\Big)\varphi(r,\theta,\phi)+\Big(\varepsilon-V(r)\Big)\varphi(r,\theta,\phi)=0\\);

　&math( &\Big(r^2\frac{\PD^2}{\PD r^2}+2r\frac{\PD}{\PD r}+\hat\Lambda\Big)R(r)Y(\theta,\phi)+\frac{2m}{\hbar^2}r^2\Big(\varepsilon-V(r)\Big)R(r)Y(\theta,\phi)=0\\);

　&math( &\frac{\Big(r^2\frac{\PD^2}{\PD r^2}+2r\frac{\PD}{\PD r}\Big)R(r)}{R(r)}+\frac{2m}{\hbar^2}r^2\Big(\varepsilon-V(r)\Big)=-\frac{\hat\Lambda Y(\theta,\phi)}{Y(\theta,\phi)}\\ );

左辺は のみの関数、右辺は のみの関数であるから、 これらは定数でなければならない。

その定数を後を見越して と置いておく。すなわち、

　&math( &\Big(r^2\frac{\PD^2}{\PD r^2}+2r\frac{\PD}{\PD r}\Big)R(r)+\frac{2m}{\hbar^2}r^2\Big(\varepsilon-V(r)\Big)R(r)=l(l+1) R(r)\\);

　&math( &-\frac{\hbar^2}{2m}\Big(\frac{\PD^2}{\PD r^2}+\frac{2}{r}\frac{\PD}{\PD r}-\frac{l(l+1)}{r^2}+V(r)\Big)R(r)=\varepsilon R(r)\\ );

　&math( \hat\Lambda Y(\theta,\phi)+l(l+1)Y(\theta,\phi)=0 );

のように、動径方向の方程式と回転方向の方程式に分離された。

回転方向の方程式には が含まれないため、 具体的なポテンシャルの形状に依らず解くことができる。

動径方向の固有関数†