生成・消滅演算子による多粒子系の記述 の履歴(No.6)
更新生成・消滅演算子による多粒子系の記述†
多粒子状態の数表示†
１粒子に対する正規直交完全系*1TODO:直交していなくてもいいところと直交していないとダメなところを切り分けたいを $\psi_1,\psi_2,\psi_2,\dots$ とし、そのそれぞれを $n_1,n_2,n_3,\dots$ 個の粒子（$n_i$ は $0$ 以上の整数値）が占めることで作られる多粒子状態を $|n_1,n_2,\dots\rangle$ と表す(位相等について後でもう少し詳しい定義を与える)。
１粒子状態が完全であれば $|n_1,n_2,\dots\rangle$ も完全になるため、任意の多粒子状態をこの重ね合わせで表せる。
$$ \Psi=\sum_{\{n_1,n_2,\dots\}} C_{n_1,n_2,\dots}|n_1,n_2,\dots\rangle $$
ここで、$|n_1,n_2,\dots\rangle$ に作用して粒子数 $n_i$ を取り出す「数演算子」 $\hat n_i$ を導入する。
$$ \hat n_i\,|n_1,n_2,\dots\rangle= n_i\,|n_1,n_2,\dots\rangle $$
$|n_1,n_2,\dots\rangle$ は $\hat n_i$ の固有状態とみなせることから、これらは「数状態」と呼ばれる。固有値が必ず実数となることから $\hat n_i$ はエルミートである。数状態は各１粒子状態を占める粒子の個数が確定した状態であるのに対して、一般の $\Psi$ に対してはそのような個数は確率的にしか決まらない。任意の $\Psi$ を数状態で展開した形は「数表示」と呼ばれる。
消滅演算子・生成演算子†
数状態に作用して $n_i$ を１だけ減少させる演算子として「消滅演算子」$\hat c_i$ を考える。
$$ \hat c_i\,|n_1,n_2,\dots,n_i,\dots\rangle\propto |n_1,n_2,\dots,n_i-1,\dots\rangle $$
以下これを次のように略記する。
$$ \hat c\,|n\rangle=a_n\,|n-1\rangle\propto |n-1\rangle $$
ただし、作用後の関数は規格化されているとは限らないとして係数を $a_n$ と書いた。以下で述べるように $a_n$ の符号（位相）は実は $n=n_i$ だけでは決まらず、他の $n_j\ (j\ne i)$ の値にも依存することにしたいため、この表記は少々正確性を犠牲にしているのであるがここでは読みやすさを優先した。
また、粒子数が負にならないための条件として
$$ \hat c\,|0\rangle=0\ \ \ \ \text{すなわち} \ \ a_0=0 $$
を与える。$\hat c\,|n\rangle$ に $\hat n$ を作用させると、
$$ \hat n\hat c\,|n\rangle=(n-1)\hat c\,|n\rangle=\hat c(n-1)\,|n\rangle=\hat c(\hat n-1)\,|n\rangle $$
より、任意の $\Psi$ に対して
$$ [\hat n,\hat c]=-\hat c $$
が成り立たなければならない。
両辺のエルミート共役を取ると、
$$ \begin{aligned} [\hat n,\hat c]^\dagger=\hat c^\dagger\hat n^\dagger-\hat n^\dagger\hat c^\dagger=\hat c^\dagger\hat n-\hat n\hat c^\dagger=-c^\dagger \end{aligned} $$
すなわち、
$$ [\hat n,\hat c^\dagger]=\hat c^\dagger $$
であり、これは
$$ \hat n\hat c^\dagger=c^\dagger(\hat n+1) $$
を表す。両辺を $|n\rangle$ に作用させれば
$$ \hat n\hat c^\dagger\,|n\rangle=c^\dagger(\hat n+1)\,|n\rangle=(n+1)c^\dagger\,|n\rangle $$
すなわち、
$$c^\dagger\,|n\rangle\propto|n+1\rangle$$
となり、$\hat c^\dagger$ が生成演算子として働くことがわかる。
こちらの係数を
$$c^\dagger\,|n\rangle=b_n\,|n+1\rangle$$
と書いておく。
すると、
$$ \langle n|\,\hat c \hat c^\dagger\,|n\rangle=\langle n|\,\hat c b_n\,|n+1\rangle=\langle n|\,a_{n+1}b_n\,|n\rangle=a_{n+1}b_n $$
である一方、
$$ \langle n|\,\hat c \hat c^\dagger\,|n\rangle=(\hat c^\dagger\,|n\rangle)^\dagger(\hat c^\dagger\,|n\rangle)=\|\,\hat c^\dagger\,|n\rangle\,\|^2=|b_n|^2 $$
であるから、
$$ b_n=a_{n+1}^* $$
でなければならないことがわかる。*2同様に、$\langle n|\,\hat c^\dagger \hat c\,|n\rangle=b_{n-1}a_n=|a_n|^2$ より $b_{n-1}=a_n^*$ を得るが、これは上で得たのと同じ結果を与えるのみである
ここまでで、数演算子と生成・消滅演算子の性質として以下を導けた。
$$ [\hat n,\hat c]=-\hat c $$
$$ [\hat n,\hat c^\dagger]=\hat c^\dagger $$
$$ \hat c\,|n\rangle=a_n\,|n-1\rangle $$
$$\hat c^\dagger\,|n\rangle=a_{n+1}^*\,|n+1\rangle$$
$$\hat c\hat c^\dagger\,|n\rangle=|a_{n+1}|^2\,|n\rangle$$
$$\hat c^\dagger\hat c\,|n\rangle=|a_n|^2\,|n\rangle$$
$$a_0=0$$
生成・消滅演算子の(反)交換関係†
以下に見るように、$\hat c^\dagger,\hat c$ の係数を、
$$ \hat c\hat c^\dagger\pm\hat c^\dagger\hat c=1 $$
となるよう定めると大変便利であるため、 フェルミ粒子、ボーズ粒子の生成・消滅演算子は必ずこれを満たすよう定義される。
フェルミ粒子†
$$ \{\hat c,\hat c^\dagger\}=\hat c\hat c^\dagger+\hat c^\dagger\hat c=1 $$
を仮定すると、
$$ |a_{n+1}|^2=1-|a_n|^2 $$
であり、$a_0=0$ であるから、
$$ |a_0|^2=0 $$
$$ |a_1|^2=1 $$
$$ |a_2|^2=0 $$
を得る。$a_2=0$ より、
$$ \hat c^\dagger\,|1\rangle=a_2\,|1\rangle=0 $$
すなわち、１つの１粒子状態をとる粒子の数は必ず $n=0$ または $n=1$ であり、$1$ より増やすことはできないという、フェルミ粒子の性質が再現される。
そして $n=0$ と $n=1$ のどちらに対しても $|a_n|^2=n$ が成り立ち、これは
$$\hat c^\dagger\hat c=\hat n$$
であることを意味する。同様に、$n=0$ と $n=1$ のどちらに対しても、
$$\hat c\hat c\,|n\rangle=\hat c^\dagger\hat c^\dagger\,|n\rangle=0$$
であるから、
$$ \{\hat c^\dagger,\hat c^\dagger\}=\{\hat c,\hat c\}=0 $$
が成り立つ。
すなおに $a_0=0,\ a_1=\pm 1$ と取れば、
$$ \hat c\,|0\rangle=0, \hat c\,|1\rangle=\pm |n-1\rangle $$
$$ \hat c^\dagger\,|0\rangle= \pm |n-1\rangle, \hat c^\dagger\,|1\rangle=0 $$
を得るが、上で述べたように符号は $n$ だけでは決まらない。詳細については下で議論する。
反交換関係
$$ \{\hat c,\hat c^\dagger\}=\hat c\hat c^\dagger+\hat c^\dagger\hat c=1 $$
がどうして成り立つかを確認しておくと、
$$ (\hat c\hat c^\dagger+\hat c^\dagger\hat c)\,|0\rangle =\hat ca_1^*\,|1\rangle+\hat c^\dagger\underbrace{\hat c\,|0\rangle}_{=\,0} =|a_1|^2|0\rangle=|0\rangle $$
$$ (\hat c\hat c^\dagger+\hat c^\dagger\hat c)\,|1\rangle =\hat c\underbrace{\hat c^\dagger\,|1\rangle}_{=\,0}+\hat c^\dagger a_1\,|0\rangle =|a_1|^2|1\rangle=|1\rangle $$
となって、確かにどちらの場合にも状態を不変に保つことを確かめられる。
波動関数の符号とフェルミ粒子の反交換関係†
状態 $a,b$ を１つずつの粒子が占めるフェルミ粒子の波動関数は
$$ \Psi_{\psi_a,\psi_b}(\bm r_1,\bm r_2)=\frac{1}{\sqrt2}\det\begin{pmatrix} \psi_a(\bm r_1)&\psi_b(\bm r_1)\\ \psi_a(\bm r_2)&\psi_b(\bm r_2)\\ \end{pmatrix} $$
と書け、粒子を入れ替えた波動関数
$$ \Psi_{\psi_b,\psi_a}(\bm r_1,\bm r_2)=\frac{1}{\sqrt2}\det\begin{pmatrix} \psi_b(\bm r_1)&\psi_a(\bm r_1)\\ \psi_b(\bm r_2)&\psi_a(\bm r_2)\\ \end{pmatrix} $$
とは
$$ \Psi_{\psi_a,\psi_b}(\bm r_1,\bm r_2)=-\Psi_{\psi_b,\psi_a}(\bm r_1,\bm r_2) $$
のように符号が異なる。
生成演算子の適用順をスレーター行列式中の一粒子波動関数の並び順と同一視することにすると、上記の事実は
$$ \hat c_a^\dagger \hat c_b^\dagger\,|0\rangle=-\hat c_b^\dagger \hat c_a^\dagger\,|0\rangle $$
に対応する。ただしここでは $|0\rangle$ は粒子が１つもない「真空」を表す多粒子状態(ここでは無粒子状態)である。
そして生成演算子にこの性質を要求すると、$a$ と $b$ とが同一であるとき
$$ \hat c_a^\dagger \hat c_a^\dagger\,|0\rangle=-\hat c_a^\dagger \hat c_a^\dagger\,|0\rangle $$
$$ 2\hat c_a^\dagger \hat c_a^\dagger\,|0\rangle=0 $$
となって、２つ以上の粒子が同一の一粒子状態を占めることはない、というフェルミ粒子の性質が自然に表れる。
実は $|0\rangle$ に限らず、任意の数状態に適用した場合にも、
$$ \hat c_a^\dagger \hat c_b^\dagger\,|n_1,n_2,\dots\rangle =-\hat c_b^\dagger \hat c_a^\dagger\,|n_1,n_2,\dots\rangle $$
が成り立つ。というのも、元の状態に対して $n_a=n_b=0$ なら上記と同様に本来の意味での符号反転を示すのに対して、$n_a=1$ または $n_b=1$ では両辺ともゼロになるためやはり成り立つのである。結果的に、任意の多粒子状態に対して、
$$ \hat c_a^\dagger \hat c_b^\dagger=-\hat c_b^\dagger \hat c_a^\dagger $$
すなわち、
$$ \{\hat c_a^\dagger, \hat c_b^\dagger\}=0 $$
が成り立つことになる。
一方、上式の両辺に消滅演算子 $\hat c_a$ を適用した場合に結果が等しくなるためには、左辺は
$$ \hat c_a(\hat c_a^\dagger \hat c_b^\dagger\,|0\rangle)= (\hat c_a\hat c_a^\dagger) \hat c_b^\dagger\,|0\rangle= \hat c_b^\dagger\,|0\rangle $$
で良いとして、右辺については
$$ \hat c_a(-\hat c_b^\dagger \hat c_a^\dagger)\,|0\rangle= \hat c_a\hat c_a^\dagger \hat c_b^\dagger\,|0\rangle= (\hat c_a\hat c_a^\dagger) \hat c_b^\dagger\,|0\rangle= \hat c_b^\dagger\,|0\rangle $$
のように計算すべきであることがわかる。すなわち、消滅演算子と生成演算子とは対にして消すことができるが、これを使って粒子を消すためにはまず上記のように反交換関係を用いて演算子を入れ替え、生成演算子と消滅演算子とを隣り合う位置に持ってこなければならない。
すると $a\ne b$ のとき、
$$ \hat c_a\hat c_b\hat (c_a^\dagger \hat c_b^\dagger\,|0\rangle) =-\hat c_a\hat c_b\hat c_b^\dagger\hat c_a^\dagger\,|0\rangle =-\hat c_a\hat c_a^\dagger\,|0\rangle =-\,|0\rangle $$
$$ \hat c_b\hat c_a(\hat c_a^\dagger \hat c_b^\dagger\,|0\rangle) =\hat c_b\hat c_b^\dagger\,|0\rangle =|0\rangle $$
で見られるように、一般に
$$ \hat c_a\hat c_b=-\hat c_b\hat c_a $$
すなわち、
$$ \{\hat c_a, \hat c_b\}=0 $$
が成り立つことも分かる。同じ式は、$a=b$ では上でも見たように両辺とも必ずゼロになるため、やはり成り立つ。
同様に $a\ne b$ に対して、
$$ \hat c_b\hat c_a^\dagger (\hat c_b^\dagger\,|0\rangle) =-\hat c_b\hat c_b^\dagger\hat c_a^\dagger\,|0\rangle =-\hat c_a^\dagger\,|0\rangle $$
$$ \hat c_a^\dagger\hat c_b (\hat c_b^\dagger\,|0\rangle) =\hat c_a^\dagger\,|0\rangle $$
より、
$$ \hat c_a^\dagger\hat c_b=-\hat c_b\hat c_a^\dagger $$
すなわち、
$$ \{\hat c_a^\dagger, \hat c_b\}=0 $$
が成り立つ。$a=b$ の時に上で見たとおり
$$ \{\hat c_a^\dagger, \hat c_b\}=1 $$
が成り立つとき、両者をまとめると
$$ \{\hat c_a^\dagger, \hat c_b\}=\delta_{ab} $$
となる。
ここで得られた
$$ \{\hat c_a^\dagger, \hat c_b\}=\delta_{ab} $$ $$ \{\hat c_a, \hat c_b\}=0 $$ $$ \{\hat c_a^\dagger, \hat c_b^\dagger\}=0 $$
がフェルミオンの生成・消滅演算子の反交換関係となる。
数状態の符号†
例えば「状態 $1,2,3$ を１つずつの粒子が占める３粒子状態を表す数状態 $|1,1,1,0,\dots\rangle$」を符号を含めて
$$ |1,1,1,0,\dots\rangle=\hat c_1^\dagger\hat c_2^\dagger\hat c_3^\dagger\,|0,0,0,0,\dots\rangle $$
と定義すると、
$$ \hat c_1\,|1,1,1,\dots\rangle= |0,1,1,\dots\rangle $$
$$ \hat c_2\,|0,1,1,\dots\rangle= |0,0,1,\dots\rangle $$
である一方、
$$ \hat c_2\,|1,1,1,\dots\rangle= -|1,0,1,\dots\rangle $$
などとなって、上記の $a_0$ の符号は単純には決まらないこととなり大変ややこしい。
そこで $a_0$ の符号に注意する代わりに、
$$ \hat c_1^\dagger\hat c_2^\dagger\hat c_3^\dagger\,|0,0,0,0,\dots\rangle $$
のような生成・消滅演算子のみを用いた表記と、上記の交換関係とを用いることで符号の変化を自然に扱えるようになる。
ボーズ粒子†
交換関係
$$ [\hat c,\hat c^\dagger]=\hat c\hat c^\dagger-\hat c^\dagger\hat c=1 $$
は調和振動子で見たのと同じであり、この関係があるとき、
$$ |a_{n+1}|^2=|a_n|^2+1 $$
であり、$a_0=0$ であるから一般に、$|a_n|^2=n$ すなわち
$$|a_n|=\sqrt{n}$$
が成り立つ。このとき
$$\hat c^\dagger\hat c=\hat n$$
となることを確認できる。
すなおに $a_n=\sqrt{n}$ と取れば、
$$ \hat c\,|n\rangle=\sqrt n\ |n-1\rangle $$
$$ \hat c^\dagger\,|n\rangle=\sqrt{n+1}\ |n+1\rangle $$
となる。
このとき、以下の交換関係があることを確かめられる。
$$ [\hat c,\hat c]=[\hat c^\dagger,\hat c^\dagger]=0 $$
ボーズ粒子の波動関数と交換関係†
ボーズ粒子では粒子の入れ替えに対して波動関数の符号は変化しないため、$a\ne b$ では
$$ \begin{aligned} \hat c_a^\dagger\hat c_b^\dagger\,|n_1,n_2,\dots\rangle &=\sqrt{n_a+1}\,\sqrt{n_b+1}\ |n_1,n_2,\dots,n_a+1,\dots,n_b+1,\dots\rangle\\ &=\hat c_b^\dagger\hat c_a^\dagger\,|n_1,n_2,\dots\rangle \end{aligned} $$
すなわち、
$$ [\hat c_a^\dagger,\hat c_b^\dagger]=\hat c_a^\dagger\hat c_b^\dagger-\hat c_b^\dagger\hat c_a^\dagger=0 $$
であり、同様に、
$$ [\hat c_a,\hat c_b]=\hat c_a\hat c_b-\hat c_b\hat c_a=0 $$
である（$n_a=0$ や $n_b=0$ でも成り立つ）。また、$a\ne b$ のとき、
$$ \begin{aligned} \hat c_a\hat c_b^\dagger\,|n_1,n_2,\dots\rangle &=\sqrt{n_a+1}\,\sqrt{n_b}\ |n_1,n_2,\dots,n_a-1,\dots,n_b+1,\dots\rangle\\ &=\hat c_b^\dagger\hat c_a\,|n_1,n_2,\dots\rangle \end{aligned} $$
となり、
$$ [\hat c_a,\hat c_b^\dagger]=\hat c_a\hat c_b^\dagger-\hat c_b^\dagger\hat c_a=0 $$
であるのに対して、$a=b$ のときには上で見た通り
$$ [\hat c_a,\hat c_a^\dagger]=\hat c_a\hat c_a^\dagger-\hat c_a^\dagger\hat c_a=1 $$
であるので、これらをまとめると $a=b, a\ne b$ どちらに対しても以下の交換関係が認められる。
$$ [\hat c_a,\hat c_a^\dagger]=\delta_{ab} $$ $$ [\hat c_a^\dagger,\hat c_b^\dagger]=0 $$ $$ [\hat c_a,\hat c_b]=0 $$
*1 TODO:直交していなくてもいいところと直交していないとダメなところを切り分けたい
*2 同様に、$\langle n|\,\hat c^\dagger \hat c\,|n\rangle=b_{n-1}a_n=|a_n|^2$ より $b_{n-1}=a_n^*$ を得るが、これは上で得たのと同じ結果を与えるのみである