スピントロニクス理論の基礎/8-3 の履歴(No.7)
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8-3 数学的に便利な微分方程式を満たす関数†
自由電子のハミルトニアン(フェルミエネルギー分をシフト済み)†
ポテンシャル成分を含まない自由な電子のハミルトニアン(波数表示)
(8.29)
これは実空間で言えば、
(8.29A)
&math( H_0(t)&=\int d^3r\left(\frac{\hbar^2}{2m}|\nabla c(\bm r,t)|^2-\varepsilon_F|c(\bm r,t)|^2 \right)\\ &=K-\int d^3r\,\varepsilon_F|c(\bm r,t)|^2\\ );
ということ。実⇔波数 の変換は (8.74) あたりでちゃんと出てくる。
Green 関数導出の試行(失敗)†
電子密度 の括弧の中の2つの の位置と時刻をずらしてみる。( は で記述される系における期待値を表す。 本当なら を のように書いた方が分かりやすいと思うのだが、 ここでは教科書に沿って進めることとする)
(8.30)
&math( \hbar\frac{\PD}{\PD t}\llangle c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t')c_\mathrm H(\bm r,t) \rrangle_0 = \llangle c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t')\hbar\frac{\PD c_\mathrm H(\bm r,t)}{\PD t} \rrangle_0 = i\llangle c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t')\big[H_0, c_\mathrm H(\bm r,t)\big] \rrangle_0 );
ここで、 に含まれる の項の交換関係を調べると、
(8.30A)
&math(&\left[-\int d^3r\varepsilon_F c_\mathrm H^\dagger(\bm r,t) c_\mathrm H(\bm r'',t), c_\mathrm H(\bm r,t)\right]\\ &=-\varepsilon_F\int d^3r\left[c_\mathrm H^\dagger(\bm r,t) c_\mathrm H(\bm r'',t), c_\mathrm H(\bm r,t)\right]\\ &=-\varepsilon_F\int d^3r\left(c_\mathrm H^\dagger(\bm r,t)\{ c_\mathrm H(\bm r,t), c_\mathrm H(\bm r,t)\}-\{c_\mathrm H^\dagger(\bm r,t), c_\mathrm H(\bm r,t)\}c_\mathrm H(\bm r'',t)\right)\\ &=+\varepsilon_F\int d^3r\delta^3(\bm r'-\bm r)c_\mathrm H(\bm r,t)\\ &=+\varepsilon_Fc_\mathrm H(\bm r,t));
したがって (8.24) と合わせれば、
&math(\hbar\frac{\PD}{\PD t}\llangle c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t')c_\mathrm H(\bm r,t) \rrangle_0 = i\left(\frac{\hbar^2}{2m}\nabla_{\textcolor{red}{\bm r}}^2\textcolor{red}{+\varepsilon_F}\right)\llangle c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t')c_\mathrm H(\bm r,t) \rrangle_0);
では の符号は負であったが、 ここでは交換関係により正になっている。
しかしこれは Green 関数として利用可能な形(右辺にδ関数が現われる)になっていない。
時間順序を使って Green 関数を導く†
(8.31)
そこで「時間順序」を導入する。
ここで、
&math(\theta(t)\equiv\begin{cases} 0&(t<0)\\ 1&(0<t)\\ \end{cases});
すなわち、 と の時刻の早いほうを右側に来るように並べた形になっている。
(8.32)
&math(=\hbar\frac{\PD\theta(t-t')}{\PD t} \llangle c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t')c_\mathrm H(\bm r,t) \rrangle_0 + \hbar\theta(t-t') \llangle c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t') \frac{\PD c_\mathrm H(\bm r,t)}{\PD t} \rrangle_0);
&math(-\hbar\frac{\PD\theta(t'-t)}{\PD t} \llangle c_\mathrm H(\bm r,t) c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t')\rrangle_0 + \hbar\theta(t-t') \llangle \frac{\PD c_\mathrm H(\bm r,t)}{\PD t}c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t') \rrangle_0);
&math(-\textcolor{red}{\hbar}\delta(t'-t) \llangle c_\mathrm H(\bm r,t) c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t')\rrangle_0 + i\theta(t-t') \llangle [H_0, c_\mathrm H(\bm r,t)]c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t') \rrangle_0);
途中で 、 および を使った。
次元について:
- は 1/(時間) の次元
- は (エネルギー) の次元
- や は 1/(体積) の次元
- も 1/(体積) の次元
ということで、右辺のδ関数には が必須。
(8.34)
&math(i\left(\hbar\frac{\PD}{\PD t}-i\left(\frac{\hbar^2}{2m}\nabla_{\textcolor{red}{\bm r}}^2+\varepsilon_F\right)\right) (-i)\llangle Tc_\mathrm H(\bm r,t)c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t') \rrangle_0=\textcolor{red}{\hbar}\delta(t-t') \delta^{\textcolor{red}{3}}(\bm r-\bm r'));
(8.35)
&math(=-i\theta(t-t')\llangle c_\mathrm H(\bm r,t)c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t')\rrangle_0
- i\theta(t'-t)\llangle c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t')c_\mathrm H(\bm r,t)\rrangle_0);
(8.36)
(ここまでに現われた は のことであった)
自由でない場合†
自由でない場合も含めて、以下の様に を定義する。( )
(8.37)
&math(=-i\theta(t-t')\llangle c_\mathrm H(\bm r,t)c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t')\rrangle
- i\theta(t'-t)\llangle c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t')c_\mathrm H(\bm r,t)\rrangle);
(8.38A)
&math(= \textcolor{red}{+}i\theta(t'-t )\llangle c_\mathrm H(\bm r,t)c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t')\rrangle \textcolor{red}{-}i\theta(t -t')\llangle c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t')c_\mathrm H(\bm r,t)\rrangle);
(8.38B)
(8.38C)
(8.32) と同様にして のすべてが (8.36) の形の方程式を満たすことが確認できる。
有限の を持つ場合の では右辺に に起因した項が現われる → (8.103)
すぐ分かるように、
(8.38D)
の関係が成り立っている。
- : 時間順序(time order)
- : 逆時間順序(anti time order)
- : 遅延(retarded)
- : 先進(advanced)
Green 関数を用いて電子数密度を表す†
(8.39)
&math( =-\theta(t-t')\llangle c_\mathrm H(\bm r,t)c_\mathrm H^\dagger(\bm r,t')\rrangle
- \theta(t'-t)\llangle c_\mathrm H^\dagger(\bm r,t')c_\mathrm H(\bm r,t)\rrangle);
&math( =-0\cdot\llangle c_\mathrm H(\bm r,t)c_\mathrm H^\dagger(\bm r,t')\rrangle
- 1\cdot\llangle c_\mathrm H^\dagger(\bm r,t')c_\mathrm H(\bm r,t)\rrangle);
の条件により の項のみを残しておいて、 最終的に を に近づける。