量子力学Ⅰ/固有値と期待値/メモ の履歴(No.7)
更新概要†
量子力学Ⅰ/固有値と期待値 のページへの補足です。
演習:物理量を表わす演算子のエルミート性†
解答†
(1)
が実数であれば であることに注意して、
&math(\begin{array}{lll} \displaystyle\int_{-\infty}^\infty\varphi_1^*(x)\hat f\varphi_2(x)\,dx &\displaystyle=\int_{-\infty}^\infty\varphi_1^*(x)f(x)\varphi_2(x)\,dx\\ &\displaystyle=\int_{-\infty}^\infty f(x)\varphi_1^*(x)\varphi_2(x)\,dx &\hspace{1cm}数値の入れ替え\rule{0pt}{2em}\\ &\displaystyle=\int_{-\infty}^\infty f^*(x)\varphi_1^*(x)\varphi_2(x)\,dx &\hspace{1cm}f^*(x)=f(x)\rule{0pt}{2em}\\ &\displaystyle=\int_{-\infty}^\infty \big(f(x)\varphi_1(x)\big)^*\varphi_2(x)\,dx\rule{0pt}{2em}\\ &\displaystyle=\int_{-\infty}^\infty \big(\hat f\varphi_1(x)\big)^*\varphi_2(x)\,dx\rule{0pt}{2em}\\ \end{array} );
(2)
&math( \int_{-\infty}^\infty\varphi_1^*(x)\frac{d}{d x}\varphi_2(x)\,dx &=\underbrace{\Big[\varphi_1^*(x)\varphi_2(x)\Big]_{-\infty}^\infty}_{=0}-\int_{-\infty}^\infty\Big(\frac{d}{d x}\varphi_1^*(x)\Big)\varphi_2(x)\,dx\\ &=\int_{-\infty}^\infty\Big(-\frac{d}{d x}\varphi_1(x)\Big)^*\varphi_2(x)\,dx\\ );
(3)
&math( \int_{-\infty}^\infty\varphi_1^*(x)\,\hat p\,\varphi_2(x)\,dx &=\int_{-\infty}^\infty\varphi_1^*(x)\frac{\hbar}{i}\frac{d}{d x}\varphi_2(x)\,dx\\ &=\int_{-\infty}^\infty\left(\frac{\hbar}{-i}\varphi_1(x)\right)^*\frac{d}{d x}\varphi_2(x)\,dx\\ &=\int_{-\infty}^\infty\left(-\frac{d}{d x}\,\frac{\hbar}{-i}\varphi_1(x)\right)^*\varphi_2(x)\,dx\\ &=\int_{-\infty}^\infty\left(\frac{\hbar}{i}\frac{d}{d x}\varphi_1(x)\right)^*\varphi_2(x)\,dx\\ &=\int_{-\infty}^\infty\big(\hat p\,\varphi_1(x)\big)^*\varphi_2(x)\,dx\\ );
(4)
&math( \int_{-\infty}^\infty\varphi_1^*(x)\,\hat X^n\varphi_2(x)\,dx &=\int_{-\infty}^\infty\varphi_1^*(x)\,\underbrace{\hat X\hat X\dots\hat X}_{n}\varphi_2(x)\,dx\\ &=\int_{-\infty}^\infty\varphi_1^*(x)\,\hat X\big(\underbrace{\hat X\dots\hat X}_{n-1}\varphi_2(x)\big)\,dx\\ &=\int_{-\infty}^\infty\big(\hat X\varphi_1(x)\big)^*\,\underbrace{\hat X\hat X\dots\hat X}_{n-1}\varphi_2(x)\,dx\\ &=\int_{-\infty}^\infty\big(\hat X\hat X\varphi_1(x)\big)^*\,\underbrace{\hat X\hat X\dots\hat X}_{n-2}\varphi_2(x)\,dx\\ &\dots\\ &=\int_{-\infty}^\infty\big(\underbrace{\hat X\hat X\dots\hat X}_{n}\varphi_1(x)\big)^*\,\varphi_2(x)\,dx\\ &=\int_{-\infty}^\infty\big(\hat X^n\varphi_1(x)\big)^*\,\varphi_2(x)\,dx\\ );
(5)
&math( \int_{-\infty}^\infty\varphi_1^*(x)\,(\hat X+\hat Y)\varphi_2(x)\,dx &=\int_{-\infty}^\infty\varphi_1^*(x)\,\big(\hat X\varphi_2(x)+\hat Y\varphi_2(x)\big)\,dx\\ &=\int_{-\infty}^\infty\varphi_1^*(x)\,\hat X\varphi_2(x)\,dx
- \int_{-\infty}^\infty\varphi_1^*(x)\,\hat Y\varphi_2(x)\,dx\\ &=\int_{-\infty}^\infty\big(\hat X\varphi_1(x)\big)^*\varphi_2(x)\,dx
- \int_{-\infty}^\infty\big(\hat Y\varphi_1(x)\big)^*\varphi_2(x)\,dx\\ &=\int_{-\infty}^\infty\big(\hat X\varphi_1(x)+\hat Y\varphi_1(x)\big)^*\varphi_2(x)\,dx\\ &=\int_{-\infty}^\infty\Big[\big(\hat X+\hat Y\big)\varphi_1(x)\Big]^*\varphi_2(x)\,dx\\ );
(6)
&math( \int_{-\infty}^\infty\varphi_1^*(x)\,\hat X\hat Y\varphi_2(x)\,dx &=\int_{-\infty}^\infty\big(\hat X\varphi_1(x)\big)^*\,\hat Y\varphi_2(x)\,dx\\ &=\int_{-\infty}^\infty\big(\hat Y\hat X\varphi_1(x)\big)^*\,\varphi_2(x)\,dx\\ );
任意の に対してこれが に等しいためには、
すなわち でなければならない。
(7) (1) の通り実数関数 の部分はエルミートであるから、 がエルミートであることを示せば、(5) により はエルミートになる。
はエルミートであり、 また、 はエルミートであるから はエルミートである。
と は可換であるから もエルミートである。
(8)
&math( \hat p\hat x\varphi(x)=\frac{\hbar}{i}\frac{d}{dx}\big(x\varphi(x)\big) &=\frac{\hbar}{i}\varphi(x)+x\cdot\frac{\hbar}{i}\frac{d}{dx}\varphi(x)\\ &=\Big(\frac{\hbar}{i}+x\cdot\frac{\hbar}{i}\frac{d}{dx}\Big)\varphi(x)\\ &=\Big(\frac{\hbar}{i}+\hat x\hat p\Big)\varphi(x)\\ );
より、
あるいは、
エルミート共役演算子の存在†
ある演算子 に対するエルミート共役演算子 は必ず存在する。 線形空間に正規直交基底 を取れば の行列表現は である。 そのエルミート共役を取ればそれがエルミート共役演算子の行列表現である。
&math( \because (f,T g) &=(\sum_n f_n\phi_n,T \sum_m g_m \phi_m)\\ &=\sum_n\sum_m f_n^*g_m(\phi_n,T \phi_m)\\ &=\sum_n\sum_m f_n^*g_m(T)_{nm}\\ &=\sum_n\sum_m f_n^*g_m(T^\dagger)_{mn}^*\\ &=\sum_n\sum_m f_n^*g_m(\phi_m,T^\dagger\phi_n)^*\\ &=\sum_n\sum_m f_n^*g_m(T^\dagger\phi_n,\phi_m)\\ &=(\sum_n f_nT^\dagger\phi_n,\sum_m g_m\phi_m)\\ &=(T^\dagger\sum_n f_n\phi_n,\sum_m g_m\phi_m)\\ &=(T^\dagger f,g)\\ );