前の単元 <<<
線形代数Ⅱ
>>> 次の単元
上の線形空間
の任意の2つの元
の間に、
次の公理を満たす演算
が定義されるとき、この演算を内積と呼ぶ。
-
このとき、以下の定理を証明可能:
-
の時は
∵
に対して
-
∵1. と 3. より
-
∵2. と 3. より
- 任意の
に対して
∵
および 3.
- ノルム
を定義可能
∵4. より
- 三角不等式が成り立つ
- シュワルツの不等式が成り立つ
あるいは
- 2つのベクトルの間の角度
を定義可能
内積が定義された線形空間を計量線形空間という。
(ベクトルの大きさ(ノルム)および角度が定義された線形空間ということ)
のとき、
すなわち、
と
は直交するという
→
は任意のベクトルと直交する
正規直交系†
が
- 正規性:
つまり
- 直交性:
つまり
(
)
を満たすとき、正規直交系を為すという。あるいはまとめて、
とも書ける。
ここで、
&math(\delta_{ij}=\left\{\begin{array}{ll}
1 & (i=j)\\
0 & (i\ne j)
\end{array}\right .);
正規直交系は一次独立である†
とすると、左から
を掛けることで、
&math(
(左辺)
&=\Big(\bm e_j,\sum_{i=1}^nc_i\bm e_i\Big)\\
&=\Big(\bm e_j,\sum_{i=1}^nc_i\bm e_i\Big)\\
&=\sum_{i=1}^nc_i\left(\bm e_j,\bm e_i\right)\\
&=\sum_{i=1}^nc_i\delta_{ij}\\
&=c_j
);
一方
&math(
(右辺)=(\bm e_j,\bm 0)=0
);
したがって、任意の
に対して
正規直交基底†
ある基底が正規直交系を為すとき、正規直交基底と呼ぶ。
数ベクトルの標準内積†
実数ベクトル†
基本ベクトル:
,
正規直交基底となる。
標準内積:
&math(\bm x=\begin{pmatrix}x_1\\\vdots\\x_n\end{pmatrix},
\bm y=\begin{pmatrix}y_1\\\vdots\\y_n\end{pmatrix}); に対して
&math((\bm x,\bm y)&=x_1y_1+x_2y_2+\dots+x_ny_n\\
&=\sum_{k=1}^nx_ky_k={}^t\!\bm x\bm y);
ただし、[Math Conversion Error]
は
の転置
ノルムの正値性:
複素数の復習†
複素数 |
ただし |
実部 | |
虚部 | |
和 | |
積 | |
複素共役 | |
絶対値 | &math(\ | z\ | =\sqrt{x^2+y^2}); |
絶対値と複素共役 | &math(\ | z\ | ^2=x^2+y^2=\bar zz=z\bar z); |
|商|&math(\frac{z_1}{z_2}=\frac{z_1\bar z_2}{z_2\bar z_2}=\,&\frac{1}{\|z_2\|^2}(x_1x_2+y_1y_2)+\\
&\frac{i}{\|z_2\|^2}(-x_1y_2+y_1x_2));|
複素数ベクトル†
基本ベクトルはやはり正規直交基底となる。
は必ずしも正の実数にならない!
そこで標準内積を
とする。
のとき、
に注目!
正規直交基底に対する内積の成分表示†
[Math Conversion Error]
を正規直交基底とし、
、
とすると、
&math(
(\bm x,\bm y)&=\Big(\sum_{i=0}^n x_i\bm e_i,\bm y\Big)\\
&=\sum_{i=1}^n\overline x_i\Big(\bm e_i, \sum_{j=1}^n y_j\bm e_j\Big)\\
&=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\overline x_iy_j(\bm e_i, \bm e_j)\\
&=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\overline x_iy_j\delta_{ij}\\
&=\sum_{i=1}^n\overline x_iy_i
);
を得る。
一方、1年生の時に学んだ
次元実ベクトル空間
における標準内積は
&math(
(\bm x,\bm y)=\sum_{i=1}^nx_iy_i
);
であった。これに対して、
次元複素数ベクトル空間
における標準内積は
&math(
(\bm x,\bm y)=\sum_{i=1}^n\overline x_iy_i
);
と定義される。→ この定義が内積の公理を満たすことを各自確認せよ
すなわち、正規直交基底での内積の成分表示は「標準内積」となる
エルミート共役†
行列
に対して、
- 転置行列:
- 複素共役:
- エルミート共役:
とくに、列ベクトル
に対しては、
- 転置:
- 複素共役:
- エルミート共役:
エルミート共役は、次の性質を持つ。
-
(転置行列と同じ →
)
対称行列、直交行列 と エルミート行列、ユニタリ行列†
が実行列のとき
である。
実行列・ベクトルについて | 複素行列・ベクトルについて |
対称行列 | エルミート行列 |
直交行列 | ユニタリ行列 |
性質:
- 対称行列
について
(実内積)
- エルミート行列
について
(複素内積)
性質:
- 直交行列
により内積が保存される
- ユニタリ行列
により複素内積が保存される
正規行列†
を満たす行列を正規行列と呼ぶ。
実対称行列、実直交行列、エルミート行列、ユニタリ行列は正規行列であるが、他にもたくさんある。
1年生の時、直交行列により対角化可能な行列と、不可能な行列があることを学んだ。
実は「ユニタリ行列により対角化できること」と「正規行列であること」とは同値であるが、
証明は後ほど。
前の単元 <<<
線形代数Ⅱ
>>> 次の単元