量子力学Ⅰ/水素原子/メモ の履歴(No.9)
更新$\chi$ に関する方程式†
のときこの式は、
より、 であり、発散しない方をとれば、
( )
一方、 のときこの式は、
より、 または であり、発散しない方(原点で微分可能な方)をとれば、
である。そこで、
と置けば、
&math( \frac{\PD^2}{\PD\rho^2}X(\rho)e^{-\rho/n} &=\frac{\PD}{\PD\rho}X'(\rho)e^{-\rho/n}-\frac{1}{n}\frac{\PD}{\PD\rho}X(\rho)e^{-\rho/n}\\ &=X''(\rho)e^{-\rho/n}-\frac{2}{n}X'(\rho)e^{-\rho/n}+\frac{1}{n^2}X(\rho)e^{-\rho/n}\\ );
を使って、
&math( X''(\rho)-\frac{2}{n}X'(\rho)+\cancel{\frac{1}{n^2}X(\rho)}
- \left\{\frac{2}{\rho}-\frac{l(l+1)}{\rho^2}\right\}X(\rho)-\cancel{\frac{1}{n^2} X(\rho)}=0 );
&math( X''(\rho)-\frac{2}{n}X'(\rho)+\left\{\frac{2}{\rho}-\frac{l(l+1)}{\rho^2}\right\}X(\rho)=0 );
と置けば、
&math( &X''(\rho)-\frac{2}{n}X'(\rho)+\left\{\frac{2}{\rho}-\frac{l(l+1)}{\rho^2}\right\}X(\rho)=0\\ );
&math( &\sum_{i=0}^\infty k(k-1)c_k\rho^{k-2}-\frac{2}{n}\sum_{i=0}^\infty kc_k\rho^{k-1}
- \sum_{i=0}^\infty 2c_k\rho^{k-1}-\sum_{i=0}^\infty l(l+1)c_k\rho^{k-2}=0\\ );
&math( &\sum_{i=0}^\infty (k+2)(k+1)c_{k+2}\rho^k-\frac{2}{n}\sum_{i=0}^\infty (k+1)c_{k+1}\rho^k
- \sum_{i=-1}^\infty 2c_{k+1}\rho^k-\sum_{i=-2}^\infty l(l+1)c_{k+2}\rho^{k}=0\\ );
&math(
- l(l+1)&c_0\rho^{-2}+\{-l(l+1)c_{1}+2c_0\}\rho^{-1}+\\ &\sum_{i=0}^\infty \big[\big\{(k+1)(k+2)-l(l+1)\big\}c_{k+2}
- 2\big\{-(k+1)/n+1\big\}c_{k+1}\big]\rho^k=0\\ );
すなわち、
&math( \left\{ \begin{array}{ll} l(l+1)c_0=0\\[1mm] l(l+1)c_{1}=2c_0\\[1mm] n\big\{k(k+1)-l(l+1)\big\}c_{k+1}=-2(n-k)c_{k}&\ \ (k\ge 1) \end{array} \right. );
第3式は の大きいところでは近似的に
を表わし、これは をマクローリン展開したときの係数と同じであるから、 で であれば で は発散してしまう。つまり、 は有限の で打ち切られなければならない。
の場合には、
第2式より
第3式より
ある に対して であれば、それより大きな任意の で となってしまうから、 では でなければならない。 このとき、 の値を決定すれば 漸化式を使ってすべての を決定できる。
の場合には、
第1式より
第2式より
第3式より
の時と同様に、 に対しては でなければならないから、 でなければすべての がゼロになってしまう。 が成り立つ場合には、 を決めれば、 第3式より に対して がすべて決まる。
まとめると、
- は を満たす整数でなければならない
- は の範囲のみ値を持つ
- の漸化式は
具体的には、
のとき、
であれば
のとき、
であれば
であれば
のとき、
であれば
であれば
であれば
のとき、
であれば
であれば
であれば
であれば
グラフ†
Mathematica の LaguerreL の定義はいわゆるラゲールの倍関数とは定義が異なるので注意が必要。
&math( L_q^p(x) &= \frac{d^p}{dx^p}\left(e^x\frac{d^q}{dx^q}(x^qe^{-x})\right)\\ &= (-1)^pq!\,\mathrm{LaguerreL}[q-p,p,x] );
の関係がある。
LANG:mathematica Grid[Table[Table[ (-1)^p q! LaguerreL[q - p, p, x] == D[E^x D[x^q E^(-x), {x, q}], {x, p}] // FullSimplify, {p, 0, q - 1}], {q, 1, 20}]]
&math( R_n^l(r)\propto (2r/n)^lL_{n+l}^{2l+1}(2r/n)e^{-r/n} );
は LaguerreL[n-l-1,2l+1,2r/n] を用いて書くことになる。
LANG:mathematica R[n_,l_,r_] := Sqrt[(2/n)^3 (n-l-1)!/(2n((n+l)!)^3)] Exp[-r/n] (2r/n)^l LaguerreL[n-l-1,2l+1,2r/n] Table[ Plot[ Table[ R[n, l, r]^2 / NMaximize[{R[n,l,rr]^2,100>rr>=1},rr, MaxIterations->1000], {l, 0, n-1} ] // Evaluate, {r, 0, 30}, ImageSize->Large, AspectRatio->0.2, PlotRange->{0,1}, Filling->Axis, PlotStyle->Thick, BaseStyle->20 ], {n, 1, 4} ] // GraphicsColumn[#, ImageSize->1280] & Export["Hydrogen.png", %]
LANG:mathematica R[n_,l_,r_] := Sqrt[(2/n)^3 (n-l-1)!/(2n((n+l)!)^3)] Exp[-r/n] (2r/n)^l LaguerreL[n-l-1,2l+1,2r/n] Table[Plot[ Table[r^2 R[n, l, r]^2/(r^2 R[n, l, r]^2 /. (NSolve[D[r^2 R[n, l, r]^2, r] == 0] // Last[#] &)), {l, 0, n - 1}] // Evaluate, {r, 0, 50}, AspectRatio -> 0.2, PlotRange -> {0, 1}, Filling -> Axis, PlotStyle -> Thick, BaseStyle -> 20], {n, 1, 4}] // GraphicsColumn[#, ImageSize -> 1280] & Export["Hydrogen.png", %]
解答:半径に対する確率密度†
(1)
&math( \frac{d}{dr}|rR_{2s}(r)|^2 &=\frac{d}{dr}\left[\frac{r^2}{2}\left(1-r/2\right)^2e^{-r}\right]\\ &=\frac{1}{2}\Big[2r(1-r/2)^2-r^2(1-r/2)-r^2(1-r/2)^2\Big]e^{-r}\\ &=\frac{1}{2}r(1-r/2)\Big[2(1-r/2)-r-r(1-r/2)\Big]e^{-r}\\ &=\frac{1}{8}r(2-r)(4-6r+r^2)e^{-r}\\ &=0 );
と置けば、
(2)
より、
に対しては明らかに
に与えられた近似を用いれば であり、
ここで であるから、 である。
すなわち が最大値をとるのは
(3)
&math( \langle r\rangle&=\int_0^\infty r|rR_{2s}(r)|^2\,dr\\ &=\frac{1}{8}\int_0^\infty r^3\left(2-r\right)^2e^{-r}dr\\ &=\frac{1}{8}\int_0^\infty \left(4r^3-4r^4+r^5\right)e^{-r}dr\\ &=\frac{1}{8}(4\cdot 3!-4\cdot 4!+5!)\\ &=3-12+15\\ &=6 );
ちなみに、与えられた積分は次のように求められる。
&math( I_n&=\int_0^\infty r^ne^{-r}dr\\ &=\cancel{\left[-r^ne^{-r}\right]_0^\infty}+\int_0^\infty nr^{n-1}e^{-r}dr\\ &=nI_{n-1}\\ &=n!I_0\\ &=n!\int_0^\infty e^{-r}dr\\ &=n!\left[-e^{-r}\right]_0^\infty\\ &=n! );