群速度と波束の崩壊/メモ の履歴(No.9)
更新ある位置に局在する、有限の運動量を持つ波束†
LANG:mathematica k = 10 ParametricPlot3D[ {Re[Exp[I k x] Exp[-x^2]], Im[Exp[I k x] Exp[-x^2]], x}, {x, -5, 5}, BoxRatios -> {1, 1, 3}, PlotRange -> Full,PlotStyle->{Thick,Blue} ] Plot[ {Re[Exp[I k x] Exp[-x^2]], Exp[-x^2], Re[Exp[I k x] ]}, {x, -5, 5}, PlotRange -> Full,PlotStyle->{{Thick},{Thin},{Thin}} ]
平面波の重ね合わせで波束を作る†
LANG:mathematica Table[With[{k0 = 20, s = 16}, GraphicsGrid[{{ ListPlot[Table[{x + k0, Exp[-x^2/s]}, {x, -m, m}], PlotRange -> {{k0 - 16, k0 + 16}, {-0.1, 1.1}}, BaseStyle -> {FontSize -> 20}, PlotLabel -> e^(-(k - Subscript[k, 0])^2/s)]}, { Plot[ Sum[Cos[(k0 + n) x] Exp[-n^2/s], {n, -m, m}]/ Sum[Exp[-n^2/s], {n, -m, m}], {x, -3 Pi, 3 Pi}, PlotRange -> {-1, 1}, PlotPoints -> 100, BaseStyle -> {FontSize -> 20}, PlotLabel -> \[CapitalSigma] e^(-(k - Subscript[k, 0])^2/ s) Cos[k x]] }}, ImageSize -> {800, 1000}] ], {m, 0, 15, 1}]; Export["wavepacket.gif", %114, "GIF"]
最小波束の時間発展†
&math( \psi(x,t)&=\int_{-\infty}^{\infty}\varphi(k)\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{ikx}e^{-i\omega_kt}dk\\ &=\sqrt{\frac{\sigma_{x0}}{\pi\sqrt{2\pi}}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-4\sigma_{x0}^2(k-k_0)^2/4+ikx-i\hbar k^2t/2m}dk\\ );
指数部を整理すると、
&math( &-\sigma_{x0}^2(k-k_0)^2+ikx-i\hbar k^2t/2m\\ &=-\sigma_{x0}^2(1+i\underbrace{\hbar t/2m\sigma_{x0}^2}_{\xi t})k^2+\sigma_{x0}^2\{ix/\sigma_{x0}^2+2k_0\}k-\sigma_{x0}^2k_0^2\\ &=-\sigma_{x0}^2\left[\sqrt{1+i\xi t}\ k-\frac{ix/\sigma_{x0}^2+2k_0}{2\sqrt{1+i\xi t}}\right]^2+ \frac{\sigma_{x0}^2\{ix/\sigma_{x0}^2+2k_0\}^2}{4(1+i\xi t)}-\sigma_{x0}^2k_0^2\\ );
2項目以降は、
&math( &\frac{\sigma_{x0}^2\{ix/2\sigma_{x0}^2+k_0\}^2}{1+i\xi t}-\sigma_{x0}^2k_0^2\\ &=\frac{-x^2/4\sigma_{x0}^2+ik_0x+\sigma_{x0}^2k_0^2}{1+i\xi t}-\sigma_{x0}^2k_0^2\\ &=\frac{-x^2/4\sigma_{x0}^2+ik_0x-i\overbrace{\sigma_{x0}^2k_0^2\xi}^{\omega_{k0}} t}{1+i\xi t}\\ &=\frac{-x^2/4\sigma_{x0}^2+i(k_0x-\omega_{k0} t)}{1+i\xi t}\\ );
であるから、
&math( \psi(x,t)&=\sqrt{\frac{\sigma_{x0}}{\pi\sqrt{2\pi}}} \frac{\exp\left[\frac{-x^2/4\sigma_{x0}^2+i(k_0x-\omega_{k0} t)}{1+i\xi t}\right]}{\sigma_{x0}\sqrt{1+i\xi t}} \underbrace{\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\sigma_{x0}^2\left[\sqrt{1+i\xi t}\ k-\frac{ix/\sigma_{x0}^2+2k_0}{2\sqrt{1+i\xi t}}\right]^2}\left(\sigma_{x0}\sqrt{1+i\xi t}\ dk\right)}_{\sqrt{\pi}}\\ &=\sqrt{\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_{x0}(1+i\xi t)}}\exp\left[\frac{-x^2/4\sigma_{x0}^2+i(k_0x-\omega_{k0} t)}{1+i\xi t}\right]\\ );
ただし、 、
このとき、
&math( |\psi(x,t)|^2&=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_{x0}\sqrt{(1-i\xi t)(1+i\xi t)}} \exp\left[\frac{-x^2/4\sigma_{x0}^2-i(k_0x-\omega_{k0} t)}{1-i\xi t}\right] \exp\left[\frac{-x^2/4\sigma_{x0}^2+i(k_0x-\omega_{k0} t)}{1+i\xi t}\right]\\ &=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_{x0}\sqrt{1+\xi^2 t^2}} \exp\left[\frac{-x^2/2\sigma_{x0}^2+2(k_0x-\omega_{k0}t)\xi t}{1+\xi^2t^2}\right]\\ &=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_{x0}\sqrt{1+\xi^2 t^2}} \exp\left[\frac{-x^2/2\sigma_{x0}^2+2(k_0x-\hbar k_0^2 t/2m)\hbar t/2m\sigma_{x0}^2}{1+\xi^2t^2}\right]\\ &=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_{x0}\sqrt{1+\xi^2 t^2}} \exp\left[\frac{-x^2+(2x-\hbar k_0 t/m)\hbar k_0 t/m}{2\sigma_{x0}^2(1+\xi^2t^2)}\right]\\ &=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_{x0}\sqrt{1+\xi^2 t^2}} \exp\left[\frac{-\{x-(\hbar k_0/m) t\}^2}{2\sigma_{x0}^2(1+\xi^2t^2)}\right]\\ );
群速度の導出†
が主に にのみ値を持つものとし、 さらにこの範囲で と近似できるならば、
&math( \psi(x,t) &=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty dk\,\varphi(k)e^{i(kx-\omega_k t)}\\ &=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{k_0-\Delta k}^{k_0+\Delta k} dk\,\varphi(k)e^{i(kx-\omega_k t)}\\ &\sim\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\Delta k}^{\Delta k} d\delta k\ \varphi(k_0+\delta k) \exp \Big[i\Big\{\big(k_0+\delta k\big)x-\big(\omega_{k_0}+\frac{\PD\omega_k}{\PD k}\delta k\big)t\Big\}\Big]\\ &=\frac{e^{i(k_0x+\omega_{k0}t)}}{\sqrt{2\pi}}\underbrace{\int_{-\Delta k}^{\Delta k} d\delta k\ \varphi(k_0+\delta k) \exp \Big[i\delta k\Big(x-\frac{\PD\omega_k}{\PD k}t\Big)\Big]}_{f(x-\PD\omega_k/\PD k\cdot t)\ の形になっている}\\ &=\frac{e^{i(k_0x+\omega_{k0}t)}}{\sqrt{2\pi}}f\Big(x-\frac{\PD\omega_k}{\PD k}t\Big) );
したがって、ある複素関数 に対して、
&math(
\psi(x,t) | =\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\Big | f\Big(x-\frac{\PD\omega_k}{\PD k}t\Big)\Big |
);
と書ける。すなわち、 の包絡線は群速度 で移動する。
一方、 の持つ位相により多少の変化を受ける物の、 全体としての位相速度は の前の係数部分 により決まり、 となることも分かる。
群速度と位相速度†
LANG:mathematica F[x_, t_, k_, s_, h2m_] := Sqrt[Sqrt[2 Pi] s (1 + I h2m t / s^2)]^(-1) Exp[(-x^2/(2 s)^2 + I (k x - k^2 h2m t))/(1 + I h2m t / s^2)] Animate[ Plot[ Re[F[x, {t, 0, 2}, 5, 0.7, 1]] // Evaluate, {x, -2, 30}, PlotRange -> {-0.7, 0.7}, PlotPoints -> 200 ], {t, 0, 2} ]