一次元箱形障壁のトンネル のバックアップ差分(No.2)

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[[量子力学Ⅰ]]

* 電子のエネルギーとポテンシャルエネルギー [#ha47b60e]

電子のエネルギーはポテンシャルエネルギーと運動エネルギーの和であるから、
電子のエネルギーはポテンシャルエネルギーと運動エネルギーの和であるから次式が成り立つ。

 &math(\varepsilon = V(x) + \frac{p^2}{2m});

古典力学においては、常に
このため古典力学においては、常に

(1) (電子のエネルギー) > (ポテンシャルエネルギー)

が成り立った。

一方、量子力学では

(2) (電子のエネルギー) < (ポテンシャルエネルギー)

となる領域にも有限の確率密度を取り得ることを見てきた。

(1) では運動エネルギーは正であり、通常の運動量を持つのに対して、
(2) では運動エネルギーは負であり、すなわち運動量は虚数である。
(1) では運動エネルギーは正である。これは数学的には運動量が実数であるためである。

これに対応して、(1) に対応する位置においては波数 &math(k); は実数であり、
(2) では運動エネルギーは負である。すなわち運動量は虚数になる。

 &math(e^{ikx);
これらに対応して、(1) に対応する位置においては波数 &math(k=p/\hbar); は実数であり、

は振動する解を与える。(一般には &math(k); も位置の関数である)
 &math(e^{ikx});

一方、(2) に対応する位置においては波数 &math(k); は虚数であり、
は振動する解を与える。
&math(k); はポテンシャルエネルギーの関数であるから、場所によって波長も異なる。

一方、(2) に対応する位置においては波数 &math(k=p/\hbar); は虚数であるから、

 &math(k=i\lambda);

と置けば、

 &math(e^{ikx}=e^{-\lambda x});

となり、指数関数的に減衰する解を与える。

どちらの場合にも、

 &math(p^2=\hbar^2k^2=2m\{\varepsilon-V(r)\});

より、

 &math(k=\pm\frac{1}{\hbar}\sqrt{2m\{\varepsilon-V(r)\}});

と書ける。(1) では √ 内部が正であるが、(2) では負となる。

次は調和振動子に対する波動関数を図示したものである。
上記の関係をこの図にあてはめて理解せよ。

&attachref(量子力学Ⅰ/調和振動子/harmonic2.png,,50%);  
&attachref(量子力学Ⅰ/調和振動子/harmonic1.png,,50%);
* トンネル現象 [#xa22c51e]


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