量子力学Ⅰ/不確定性原理 のバックアップ差分(No.2)

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[[量子力学I/波動関数の解釈]]

* 不確定性原理 [#q23b2625]

量子力学の重要な帰結として「不確定性原理」がある。
不確定性原理は例えば、&math(x); と &math(p_x); が同時に正確に定まるような状態は存在しない、という形で言い表せる。以下、この項では &math(p_x=p); と書き、一次元で考える。

上記を数学的に表わせば、&math(\sigma_x\cdot\sigma_p); に最小値があり、ある一定値以下にはならない、ということになる。
不確定性原理は例えば、「&math(x); と &math(p_x); が同時に正確に定まるような状態は存在しない」という形で言い表せる。

以下、この項では &math(p_x=p); と書き、一次元で考える。

得られる結果は次のようになる。

 &math(
\sigma_x\cdot\sigma_p = \ge \frac{\hbar}{2}
);
 &math(\sigma_x\cdot\sigma_p \ge \frac{\hbar}{2});

* 不確定性原理の導出 [#g5fe668e]

定義より、

&math(\sigma_x=\sqrt{\big\langle (x-\langle x\rangle)^2\big\rangle});
 &math(\sigma_x=\sqrt{\big\langle (x-\langle x\rangle)^2\big\rangle});

&math(\sigma_p=\sqrt{\big\langle (p-\langle p\rangle)^2\big\rangle});
 &math(\sigma_p=\sqrt{\big\langle (p-\langle p\rangle)^2\big\rangle});

より、
であるから、

 &math(
(\sigma_x\cdot\sigma_p)^2
=\sigma_x^2\sigma_p^2=\big\langle (x-\langle x\rangle)^2\big\rangle \big\langle (p-\langle p\rangle)^2\big\rangle
);

演算子 &math(\alpha=x-\langle x\rangle);、
&math(\beta=p-\langle p\rangle=-i\hbar\frac{d}{dx}-\langle p\rangle); を導入すると、
どちらもエルミートである。

 &math(
(\sigma_x\cdot\sigma_p)^2=\int \psi^*\alpha^2\psi\,dx\int \psi^*\beta^2\psi\,dx
);
これは、

ここで &math(\alpha^*=\alpha); より、
 &math(\int \psi^*(x\psi)\,d\bm r=\int (x\psi)^*\psi\,d\bm r);

 &math(
\sigma_x^2=\int (\alpha\psi)^*(\alpha\psi)\,dx
\int \psi^*\hat p\psi)\,d\bm r
&=\int \psi^*(\frac{\hbar}{i}\frac{\PD}{\PD x}\psi)\,d\bm r\\
&=-\int \frac{\hbar}{i}\frac{\PD}{\PD x}\psi^*\psi\,d\bm r
+\underbrace{\Big[\psi^*\psi\Big]_{-\infty}^{+\infty}}_{=0}\\
&=\int \hat p^*\psi^*\psi\,d\bm r\\
&=\int (\hat p\psi)^*\psi\,d\bm r\\
);

&math(\beta); についても、
より、&math(x,\hat p); がどちらもエルミートであることと、
定数もエルミートであること、エルミート同士の和がエルミートになること、から導かれる。

&math(\alpha,\beta); のエルミート性を用いることで、

 &math(
\int \psi^*\beta^2\psi\,dx
&=\int \psi^*\left[-i\hbar\frac{d}{dx}-\langle p\rangle\right]^2\psi\,dx\\
&=\int 
-\hbar^2\psi^*\frac{d^2\psi}{dx^2}
+2i\hbar\psi^*\langle p\rangle\frac{d\psi}{dx}
+\langle p\rangle|\psi|^2\,dx\\
(\sigma_x\cdot\sigma_p)^2
&=\int \psi^*\alpha^2\psi\,dx\int \psi^*\beta^2\psi\,dx\\
&=\int (\alpha\psi)^*(\alpha\psi)\,dx\int (\beta\psi)^*(\beta\psi)\,dx\\
&=\int |\alpha\psi|^2\,dx\int |\beta\psi|^2\,dx\\
);

であり、
を得る。最後の積分を関数の内積として考えれば、それぞれ関数 &math(\alpha\psi); 
と &math(\beta\psi); のノルムの2乗を表わしている。
2つのベクトル &math(\bm x,\bm y); に対して一般に、

 &math(|\bm x|^2|\bm y|^2\ge|(\bm x,\bm y)|^2);

が成り立つから(シュバルツの不等式)、

 &math(
\int (\beta\psi)^*(\beta\psi)\,dx
&=\int \left[+i\hbar\frac{d\psi^*}{dx}-\langle p\rangle\psi^*\right]
       \left[-i\hbar\frac{d\psi  }{dx}-\langle p\rangle\psi  \right]\,dx\\
&=\int 
\hbar^2\frac{d\psi^*}{dx}\frac{d\psi  }{dx}
-i\hbar\frac{d\psi^*}{dx}\langle p\rangle\psi
+i\hbar\langle p\rangle\psi^*\frac{d\psi  }{dx}
+\langle p\rangle^2|\psi|^2
\,dx\\
(\sigma_x\cdot\sigma_p)^2
&\ge\left|\int (\alpha\psi)^*(\beta\psi)\,dx\right|^2\\
&=\left|\int \psi^*\alpha\beta\psi\,dx\right|^2\\
&=\left|\int \psi^*\left(\frac{\alpha\beta-\beta\alpha}{2}+\frac{\alpha\beta+\beta\alpha}{2}\right)\psi\,dx\right|^2\\
&=\frac{1}{4}\left|\int \psi^*(\alpha\beta-\beta\alpha)\psi\,dx\right|^2
 +\frac{1}{4}\left|\int \psi^*(\alpha\beta+\beta\alpha)\psi\,dx\right|^2\\
);

部分積分により、
と変形できる。最後の等式で落とした項は、

 &math(
\int\psi^*\frac{d^2\psi}{dx^2}\,dx
= -\int\frac{d\psi^*}{dx}\frac{d\psi}{dx}\,dx
  +\underbrace{\left[\psi^*\frac{d\psi}{dx}\right]_{-\infty}^{+\infty}}_{=0}
&\phantom{+}
  \frac{1}{4}\left(\int \psi^*(\alpha\beta-\beta\alpha)\psi\,dx\right)^*
            \left(\int \psi^*(\alpha\beta+\beta\alpha)\psi\,dx\right)\\
&+\frac{1}{4}\left(\int \psi^*(\alpha\beta+\beta\alpha)\psi\,dx\right)^*
            \left(\int \psi^*(\alpha\beta-\beta\alpha)\psi\,dx\right)\\
&=\frac{1}{4}\int \psi(\alpha^*\beta^*-\beta^*\alpha^*)\psi^*\,dx
            \int \psi^*(\alpha\beta+\beta\alpha)\psi\,dx\\
&+\frac{1}{4}\int \psi(\alpha^*\beta^*+\beta^*\alpha^*)\psi^*\,dx
            \int \psi^*(\alpha\beta-\beta\alpha)\psi\,dx\\
&=\frac{1}{2}\int \psi(\alpha^*\beta^*\psi^*)\,dx
            \int \psi^*(\alpha\beta\psi)\,dx
 -\frac{1}{2}\int \psi(\beta^*\alpha^*\psi^*)\,dx
            \int \psi^*(\beta\alpha\psi)\,dx\\
&=\frac{1}{2}\int (\alpha\beta\psi)^*\psi\,dx
            \int \psi^*(\alpha\beta\psi)\,dx
 -\frac{1}{2}\int (\beta\alpha\psi)^*\psi\,dx
            \int \psi^*(\beta\alpha\psi)\,dx\\
&=\frac{1}{2}\int (\beta\psi)^*(\alpha\psi)\,dx
            \int \psi^*(\alpha\beta\psi)\,dx
 -\frac{1}{2}\int (\alpha\psi)^*(\beta\psi)\,dx
            \int \psi^*(\beta\alpha\psi)\,dx\\
&=\frac{1}{2}\int \psi^*(\beta\alpha\psi)\,dx
            \int \psi^*(\alpha\beta\psi)\,dx
 -\frac{1}{2}\int \psi^*(\alpha\beta\psi)\,dx
            \int \psi^*(\beta\alpha\psi)\,dx\\
&=0
);

 &math(
\int\psi^*\frac{d\psi}{dx}\,dx
= -\int\frac{d\psi^*}{dx}\psi\,dx
  +\underbrace{\Big[\psi^*\psi\Big]_{-\infty}^{+\infty}}_{=0}
となって消える。

&math(
(\alpha\beta-\beta\alpha)\psi
&= x\frac{\hbar}{i}\frac{\PD}{\PD x}\psi-\frac{\hbar}{i}\frac{\PD}{\PD x}(x\psi)\\
&= x\frac{\hbar}{i}\frac{\PD}{\PD x}\psi-x\frac{\hbar}{i}\frac{\PD}{\PD x}(x\psi)-\frac{\hbar}{i}\psi\\
&= -\frac{\hbar}{i}\psi\\
);

であるから、
より、

 &math(
\int \psi^*\beta^2\psi\,dx=\int (\beta\psi)^*(\beta\psi)\,dx
(\sigma_x\cdot\sigma_p)^2
&\ge\frac{1}{4}\left|\int \psi^*(i\hbar)\psi\,dx\right|^2
 +\frac{1}{4}\left|\int \psi^*(\alpha\beta+\beta\alpha)\psi\,dx\right|^2\\
&\ge\frac{\hbar^2}{4}
 +\frac{1}{4}\left|\int \psi^*(\alpha\beta+\beta\alpha)\psi\,dx\right|^2\\
&\ge\frac{\hbar^2}{4}
);

と書ける。すなわち、
すなわち、

 &math(\sigma_x\cdot\sigma_p\ge\frac{\hbar}{2});

を得る。

** 最小波束 [#y416874e]

2つの不等号で等号が成り立つ条件は、

+ シュバルツの不等式で2つのベクトルが平行であること~
すなわち &math(\gamma); を定数として &math(\alpha\psi=\gamma\beta\psi);
+ &math(\int \psi^*(\alpha\beta+\beta\alpha)\psi\,dx=0);

1. より、

 &math(
(\sigma_x\cdot\sigma_p)^2=\int |\alpha\psi|^2\,dx\int |\beta\psi|^2\,dx
(x-<x>)\psi=\gamma(\frac{\hbar}{i}\frac{\PD}{\PD x}-<p>)\psi
);

一般の &math(f,g); について、

 &math(
\int\Bigg|f-g\frac{\int fg^*dx}{\int|g|^2dx}\Bigg|^2dx\ge 0
\frac{\PD\psi}{\PD x}=\frac{i}{\hbar}\left(\frac{x-<x>}{\gamma}+<p>\right)\psi
);

は積分の中が常に非負であるから必ず成立する。
等号はある定数 &math(\gamma); に対して  &math(x); の全範囲において &math(f=\gamma g); となる場合のみ成り立つ。

 &math(
\int|f|^2\,dx
-\int f^*g\,dx\frac{\int fg^*dx}{\int|g|^2dx}
-\int fg^*\,dx\frac{\int f^*gdx}{\int|g|^2dx}
+\int|g|^2\,dx\left(\frac{\int fg^*dx}{\int|g|^2dx}\right)^2
\ge 0
\psi(x,t)=\psi_0e^{\frac{i}{\hbar}\left(\frac{(x-<x>)^2}{2\gamma}+<p>x\right]}
);

両辺に &math(\int|g|^2dx\ge 0); を掛けて、
また、1. の式を 2. に代入すれば、

 &math(
\int|f|^2dx\int|g|^2dx
-\int f^*g\,dx\int fg^*dx
\underbrace{-\int fg^*dx\int f^*g\,dx
+\left(\int fg^*dx\right)^2}_{=0}
\ge 0
&math(
0&=\int \psi^*\frac{\alpha^2}{\gamma}\psi\,dx+\int (\beta\psi)^*\alpha\psi\,dx\\
&=\int \psi^*\frac{\alpha^2}{\gamma}\psi\,dx+\int (\frac{\alpha}{\gamma}\psi)^*\alpha\psi\,dx\\
&=\left(\frac{1}{\gamma}+\frac{1}{\gamma^*}\right)\int \alpha^2|\psi|^2\,dx\\
);

したがって、
&math(\int \alpha^2|\psi|^2\,dx>0); より、&math(1/\gamma+1/\gamma^*=0); 
すなわち &math(\gamma+\gamma^*=0); となり、&math(\gamma); は純虚数でなければならない。

 &math(\int|f|^2dx\int|g|^2dx\ge\left|\int f^*g\,dx\right|^2);
&math(x); の絶対値が大きいところで &math(\psi); が有限となるためには
&math(\gamma); は負の虚数でなければならない。
実際、&math(\gamma=-2i\sigma_x^2/\hbar);、&math(\psi_0=1/\sqrt{2\pi\sigma_x^2}); とすることにより

を得る。&math(f=\alpha\psi);、&math(g=\beta\psi); とすれば、

 &math(
(\sigma_x\cdot\sigma_p)^2
&\ge\left|\int (\alpha\psi)^*\beta\psi\,dx\right|^2\\
&=\left|\int \psi^*\alpha\beta\psi\,dx\right|^2
\psi(x,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_x^2}}\exp\left[\frac{(x-\langle x\rangle)^2}{4\sigma_x^2}+\frac{i\langle p\rangle}{\hbar}x\right]
);

となる。ここで、&math(\alpha^*=\alpha); を用いた。
右辺は、
が得られ、この式は &math(\sigma_x^2 = \langle \alpha^2\rangle); を満足する、
規格化された波動関数を与える。


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