群速度と波束の崩壊/メモ のバックアップの現在との差分(No.8)

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* ある位置に局在する、有限の運動量を持つ波束 [#pd0fe723]

 LANG:mathematica
 k = 10
 ParametricPlot3D[
   {Re[Exp[I k x] Exp[-x^2]], Im[Exp[I k x] Exp[-x^2]], x}, 
   {x, -5, 5}, BoxRatios -> {1, 1, 3}, PlotRange -> Full,PlotStyle->{Thick,Blue}
 ]
 
 Plot[
   {Re[Exp[I k x] Exp[-x^2]], Exp[-x^2], Re[Exp[I k x] ]}, 
   {x, -5, 5}, PlotRange -> Full,PlotStyle->{{Thick},{Thin},{Thin}}
 ]

* 平面波の重ね合わせで波束を作る [#i58cd386]

 LANG:mathematica
 Table[With[{k0 = 20, s = 16},
   GraphicsGrid[{{
      ListPlot[Table[{x + k0, Exp[-x^2/s]}, {x, -m, m}], 
       PlotRange -> {{k0 - 16, k0 + 16}, {-0.1, 1.1}}, 
       BaseStyle -> {FontSize -> 20},
       PlotLabel -> e^(-(k - Subscript[k, 0])^2/s)]}, {
      Plot[
       Sum[Cos[(k0 + n) x] Exp[-n^2/s], {n, -m, m}]/
        Sum[Exp[-n^2/s], {n, -m, m}], {x, -3 Pi, 3 Pi}, 
       PlotRange -> {-1, 1},
       PlotPoints -> 100, BaseStyle -> {FontSize -> 20}, 
       PlotLabel -> \[CapitalSigma] e^(-(k - Subscript[k, 0])^2/
            s) Cos[k x]]
      }}, ImageSize -> {800, 1000}]
   ], {m, 0, 15, 1}];
 Export["wavepacket.gif", %114, "GIF"]

* 最小波束の時間発展 [#b94b4a9f]

 &math(
\psi(x,t)&=\int_{-\infty}^{\infty}\varphi(k)\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{ikx}e^{-i\omega_kt}dk\\
&=\sqrt{\frac{\sigma_{x0}}{\pi\sqrt{2\pi}}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-4\sigma_{x0}^2(k-k_0)^2/4+ikx-i\hbar k^2t/2m}dk\\
);

指数部を整理すると、

 &math(
&-\sigma_{x0}^2(k-k_0)^2+ikx-i\hbar k^2t/2m\\
&=-\sigma_{x0}^2(1+i\underbrace{\hbar t/2m\sigma_{x0}^2}_{\xi t})k^2+\sigma_{x0}^2\{ix/\sigma_{x0}^2+2k_0\}k-\sigma_{x0}^2k_0^2\\
&=-\sigma_{x0}^2\left[\sqrt{1+i\xi t}\ k-\frac{ix/\sigma_{x0}^2+2k_0}{2\sqrt{1+i\xi t}}\right]^2+
\frac{\sigma_{x0}^2\{ix/\sigma_{x0}^2+2k_0\}^2}{4(1+i\xi t)}-\sigma_{x0}^2k_0^2\\
);

2項目以降は、

 &math(
&\frac{\sigma_{x0}^2\{ix/2\sigma_{x0}^2+k_0\}^2}{1+i\xi t}-\sigma_{x0}^2k_0^2\\
&=\frac{-x^2/4\sigma_{x0}^2+ik_0x+\sigma_{x0}^2k_0^2}{1+i\xi t}-\sigma_{x0}^2k_0^2\\
&=\frac{-x^2/4\sigma_{x0}^2+ik_0x-i\overbrace{\sigma_{x0}^2k_0^2\xi}^{\omega_{k0}} t}{1+i\xi t}\\
&=\frac{-x^2/4\sigma_{x0}^2+i(k_0x-\omega_{k0} t)}{1+i\xi t}\\
);

であるから、

 &math(
\psi(x,t)&=\sqrt{\frac{\sigma_{x0}}{\pi\sqrt{2\pi}}}
\frac{\exp\left[\frac{-x^2/4\sigma_{x0}^2+i(k_0x-\omega_{k0} t)}{1+i\xi t}\right]}{\sigma_{x0}\sqrt{1+i\xi t}}
\underbrace{\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\sigma_{x0}^2\left[\sqrt{1+i\xi t}\ k-\frac{ix/\sigma_{x0}^2+2k_0}{2\sqrt{1+i\xi t}}\right]^2}\left(\sigma_{x0}\sqrt{1+i\xi t}\ dk\right)}_{\sqrt{\pi}}\\
&=\sqrt{\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_{x0}(1+i\xi t)}}\exp\left[\frac{-x^2/4\sigma_{x0}^2+i(k_0x-\omega_{k0} t)}{1+i\xi t}\right]\\
);

ただし、&math(\xi=\frac{\hbar}{2m\sigma_{x0}^2});、&math(\omega_0=\frac{\hbar k_0^2}{2m});

このとき、

 &math(
|\psi(x,t)|^2&=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_{x0}\sqrt{(1-i\xi t)(1+i\xi t)}}
\exp\left[\frac{-x^2/4\sigma_{x0}^2-i(k_0x-\omega_{k0} t)}{1-i\xi t}\right]
\exp\left[\frac{-x^2/4\sigma_{x0}^2+i(k_0x-\omega_{k0} t)}{1+i\xi t}\right]\\
&=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_{x0}\sqrt{1+\xi^2 t^2}}
\exp\left[\frac{-x^2/2\sigma_{x0}^2+2(k_0x-\omega_{k0}t)\xi t}{1+\xi^2t^2}\right]\\
&=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_{x0}\sqrt{1+\xi^2 t^2}}
\exp\left[\frac{-x^2/2\sigma_{x0}^2+2(k_0x-\hbar k_0^2 t/2m)\hbar t/2m\sigma_{x0}^2}{1+\xi^2t^2}\right]\\
&=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_{x0}\sqrt{1+\xi^2 t^2}}
\exp\left[\frac{-x^2+(2x-\hbar k_0 t/m)\hbar k_0 t/m}{2\sigma_{x0}^2(1+\xi^2t^2)}\right]\\
&=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_{x0}\sqrt{1+\xi^2 t^2}}
\exp\left[\frac{-\{x-(\hbar k_0/m) t\}^2}{2\sigma_{x0}^2(1+\xi^2t^2)}\right]\\
);

* 群速度の導出 [#b368cfc6]

&math(\varphi(k)); が主に &math(k_0-\Delta k\le k\le k_0+\Delta k); にのみ値を持つものとし、
さらにこの範囲で &math(\omega_{k_0+\delta k}=\omega_{k_0}+\frac{\PD\omega_k}{\PD k}\delta k); 
と近似できるならば、

 &math(
\psi(x,t)
&=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty dk\,\varphi(k)e^{i(kx-\omega_k t)}\\
&=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{k_0-\Delta k}^{k_0+\Delta k} dk\,\varphi(k)e^{i(kx-\omega_k t)}\\
&\sim\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\Delta k}^{\Delta k} d\delta k\ \varphi(k_0+\delta k)
\exp \Big[i\Big\{\big(k_0+\delta k\big)x-\big(\omega_{k_0}+\frac{\PD\omega_k}{\PD k}\delta k\big)t\Big\}\Big]\\
&=\frac{e^{i(k_0x+\omega_{k0}t)}}{\sqrt{2\pi}}\underbrace{\int_{-\Delta k}^{\Delta k} d\delta k\ \varphi(k_0+\delta k)
&=\frac{e^{i(k_0x-\omega_{k0}t)}}{\sqrt{2\pi}}\underbrace{\int_{-\Delta k}^{\Delta k} d\delta k\ \varphi(k_0+\delta k)
\exp \Big[i\delta k\Big(x-\frac{\PD\omega_k}{\PD k}t\Big)\Big]}_{f(x-\PD\omega_k/\PD k\cdot t)\ の形になっている}\\
&=\frac{e^{i(k_0x+\omega_{k0}t)}}{\sqrt{2\pi}}f\Big(x-\frac{\PD\omega_k}{\PD k}t\Big)
&=\frac{e^{i(k_0x-\omega_{k0}t)}}{\sqrt{2\pi}}f\Big(x-\frac{\PD\omega_k}{\PD k}t\Big)
);

したがって、ある複素関数 &math(f(x)); に対して、

 &math(
|\psi(x,t)|=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\Big|f\Big(x-\frac{\PD\omega_k}{\PD k}t\Big)\Big|
);

と書ける。すなわち、&math(\psi(x,t)); の包絡線は群速度 &math(v_G=\left .\frac{\PD\omega_k}{\PD k}\right|_{k_0}); 
で移動する。

一方、&math(f(\ )); の持つ位相により多少の変化を受ける物の、
全体としての位相速度は &math(f(\ )); の前の係数部分 
&math(e^{i(k_0x+\omega_{k0}t)}); により決まり、
&math(e^{i(k_0x-\omega_{k0}t)}); により決まり、
&math(v_\phi=\frac{\omega_{k_0}}{k_0}); となることも分かる。

* 群速度と位相速度 [#pccbf754]

 LANG:mathematica
 F[x_, t_, k_, s_, h2m_] := 
   Sqrt[Sqrt[2 Pi] s (1 + I h2m t / s^2)]^(-1) 
     Exp[(-x^2/(2 s)^2 + I (k x - k^2 h2m t))/(1 + I h2m t / s^2)]
 
 Animate[
   Plot[ 
     Re[F[x, {t, 0, 2}, 5, 0.7, 1]] // Evaluate, {x, -2, 30}, 
     PlotRange -> {-0.7, 0.7}, PlotPoints -> 200
   ], 
   {t, 0, 2}
 ]


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