スピントロニクス理論の基礎/8-10 のバックアップソース(No.2)

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* 8-10 不純物散乱の元での Green 関数 [#l1954e43]

(8.116)

&math(
&v_i(\bm q)\equiv \frac{1}{V}\int d^3re^{i\bm q\cdot\bm r}v_i(\bm r)\\
&=\frac{1}{V}\sum_k^{N_i}v_ka^3\int d^3re^{i\bm q\cdot\bm r}[\delta(\bm r-\bm R_k)-1/V]\\
&=\frac{a^3}{V}\sum_k^{N_i}v_k(e^{i\bm q\cdot\bm R_k}-\delta_{\bm q,0})
);

を不純物散乱ポテンシャルの Fourier 変換と定義する。

この定義は (8.74) 等に与えられた &math(c(\bm r,t)); の Fourier 
変換とは &math(V); の配置や &math(i); の符号などが異なるので注意が必要。

これに対応するハミルトニアンは、

(8.116)

&math(
&V_i=\int d^3rv_i(\bm r)c^\dagger(\bm r)c(\bm r)\\
&=\int d^3r
\left(\sum_{\bm q}e^{-i\bm q\cdot\bm r}v_i(\bm q)\right)
\left(\frac{1}{\sqrt V}\sum_{\bm k}e^{-i\bm k\cdot\bm r}c_{\bm k}^\dagger\right)
\left(\frac{1}{\sqrt V}\sum_{\bm k'}e^{i\bm k'\cdot\bm r}c_{\bm k'}\right)\\
&=\sum_{\bm q,\bm k,\bm k'}v_i(\bm q)c_{\bm k}^\dagger c_{\bm k'}\frac{1}{V}\int d^3re^{i(-\bm q-\bm k+\bm k')\cdot\bm r}\\
&=\sum_{\bm q,\bm k,\bm k'}v_i(\bm q)c_{\bm k}^\dagger c_{\bm k'}\delta_{\bm q+\bm k,\bm k'}\\
&=\sum_{\bm q,\bm k}v_i(\bm q)c^\dagger(\bm k)c(\bm k+\bm q)
);

となる。

今考えているようなポテンシャルでは電子の振動数が変わらないため、単一の &math(\omega); によって表すことができる。

&math(g_{\bm k,\bm k',\omega,\omega'}=
2\pi \delta(\omega-\omega')g_{\bm k,\bm k',\omega});

さらに &math(g_0); に関しては、単一の &math(\bm k); で表せる。

&math(g_{0\bm k,\bm k',\omega}=
\delta_{\bm k,\bm k'}g_{0\bm k,\omega});

(8.117)

係数を正しく付けるために次元について確認

- &math(g_{\bm k,\bm k',\omega,\omega'}); は (8.76) によれば &math(Gd^3r); で無次元、&math(d^3r'/V); で無次元、&math(dtdt'/\hbar); が残って (時間/エネルギー) の次元を持つ
- &math(g_{\bm k,\bm k',\omega}); は &math(\delta(\omega-\omega')); が外に出るので、(1/エネルギー) の次元を持つ
- &math(v_i(\bm q)); は (8.116) によれば &math(v_i); と同じ次元で、これは (エネルギー) の次元を持つ

&math(
&g_{\bm k,\bm k',\omega,\omega'}^r=
\frac{1}{\hbar V}\int dt\int dt'\int d^3r\int d^3r'
e^{i(\omega t-\omega't'-\bm k\cdot\bm r+\bm k'\cdot\bm r')}g^r(\bm r,t,\bm r',t')\\
&=
\frac{1}{\hbar V}\int dt\int dt'\int d^3r\int d^3r'
e^{i(\omega t-\omega't'-\bm k\cdot\bm r+\bm k'\cdot\bm r')}
g_0^r(\bm r,t,\bm r',t')\\
&+
\frac{1}{\hbar V}\int dt\int dt'\int d^3r\int d^3r'
e^{i(\omega t-\omega't'-\bm k\cdot\bm r+\bm k'\cdot\bm r')}
\frac{1}{\hbar}\int dt_1\int d^3r_1 g_0^r(\bm r,t,\bm r_1,t_1)v_i(\bm r_1)g^r(\bm r_1,t_1,\bm r',t')\\
&= g_{0\bm k,\bm k',\omega,\omega'}^r+
\frac{1}{\hbar^2 V}\int dt_1\int d^3r_1
\int dt\int dt'\int d^3r\int d^3r'
e^{i(\omega t_1-\omega't'-\bm k\cdot\bm r_1+\bm k'\cdot\bm r')} \\
&\hspace{1cm}\times e^{i\omega (t-t_1)}e^{-i\bm k\cdot(\bm r-\bm r_)}
g_0^r(\bm r-\bm r_1,t-t_1)v_i(\bm r_1)g^r(\bm r_1,t_1,\bm r',t')\\
&= 2\pi\delta(\omega-\omega')\delta_{\bm k,\bm k'}g_{0\bm k,\omega}^r+
\frac{1}{\hbar V}\int dt_1\int d^3r_1
\int dt'\int d^3r'
e^{i(\omega t_1-\omega't'-\bm k\cdot\bm r_1+\bm k'\cdot\bm r')}\\
&\hspace{1cm}\times \left[\frac{1}{\hbar}\int d^3(r-r_1)\int d(t-t_1)e^{-i\bm k\cdot(\bm r-\bm r_)}e^{i\omega (t-t_1)}
g_0^r(\bm r-\bm r_1,t-t_1)\right]v_i(\bm r_1)g^r(\bm r_1,t_1,\bm r',t')\\
&=2\pi\delta(\omega-\omega')\delta_{\bm k,\bm k'}g_{0\bm k,\omega}^r+
\frac{g_{0\bm k,\omega}^r}{\hbar V}\int dt_1\int d^3r_1
\int dt'\int d^3r'
e^{i(\omega t_1-\omega't'-\bm k\cdot\bm r_1+\bm k'\cdot\bm r')}
\Big[\sum_{\bm q}e^{-i\bm q\cdot\bm r_1}v_i(\bm q) \Big]
g^r(\bm r_1,t_1,\bm r',t')\\
&=2\pi\delta(\omega-\omega')\delta_{\bm k,\bm k'}g_{0\bm k,\omega}^r+
\frac{g_{0\bm k,\omega}^r}{\hbar V}
\sum_{\bm q}v_i(\bm q) 
\int d^3r_1\int d^3r'\int dt_1\int dt'e^{i(\omega t_1-\omega't'-i(\bm k+\bm q)\cdot\bm r_1+\bm k'\cdot\bm r')}
g^r(\bm r_1,t_1,\bm r',t')\\
&=2\pi\delta(\omega-\omega')\delta_{\bm k,\bm k'}g_{0\bm k,\omega}^r+
g_{0\bm k,\omega}^r \sum_{\bm q}v_i(\bm q) g_{\bm k+\bm q,\bm k',\omega,\omega'}^r\\
&=2\pi\delta(\omega-\omega')\left[\delta_{\bm k,\bm k'}g_{0\bm k,\omega}^r+
g_{0\bm k,\omega}^r \sum_{\bm q}v_i(\bm q) g_{\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^r\right]
);

&math(&g_{\bm k,\bm k',\omega}^r=\delta_{\bm k,\bm k'}g_{0\bm k,\omega}^r+
g_{0\bm k,\omega}^r \sum_{\bm q}v_i(\bm q) g_{\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^r);
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