量子力学Ⅰ/水素原子のバックアップソース(No.2)

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[[量子力学Ⅰ]]

* 水素原子 [#t0f489c6]

動径方向のシュレーディンガー方程式は、

　&math(
-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\PD^2}{dr^2}rR(r)+
\underbrace{\left\{V(r)+\frac{\hbar^2}{2m}\frac{l(l+1)}{r^2}\right\}}_{V'(r)}
rR(r)=\varepsilon rR(r)
);

&math(\chi=rR(r)); と置けば、&math(\chi); に対する方程式は &math(V(r)); 
と遠心力とを加えた仮想的なポテンシャル &math(V'(r)); の中を運動する粒子の
一次元シュレーディンガー方程式と一致する。

水素原子の原子核は電荷 &math(e); を持つが、
ここでは少し一般化して電荷 &math(Ze); を持つ原子核との相互作用を考える。

　&math(V(r)=-\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Ze^2}{r});

長さを無次元化して、&math(\rho=Z\frac{r}{a_0}); と置く。
ただし &math(a_0=\frac{4\pi\epsilon_0\hbar^2}{e^2m}=5.29177\times 10^{-11}\,\mathrm{m}); 
はボーア半径と呼ばれ、&math(Z=1); つまり水素原子の場合の特性長である。

すると、

　&math(
\frac{\PD^2\chi}{\PD\rho^2}+\left\{\frac{2}{\rho}-\frac{l(l+1)}{\rho^2}\right\}\chi+\eta\chi=0
);

のように単純化できる。

ただし、&math(\eta=\varepsilon/\varepsilon_0); 
ここで、&math(\varepsilon_0=Z^2\left(\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0}\right)^2\frac{m}{2\hbar^2}); 
は系の特性エネルギーである。

上の方程式は &math(\rho\to 0); のとき、

　&math(\frac{\PD^2\chi}{\PD\rho^2}\sim\frac{l(l+1)}{\rho^2}\chi);

となるから、近似的に &math(\chi\propto \rho^{l+1}); となっているはずである。
また、ここでは束縛解を考えているため &math(\rho\to\infty); において &math(\chi\to 0); である。

これらの境界条件を満たす解は、&math(n); を &math(n>l); の整数として、

　&math(\eta=-\frac{1}{n^1});

となるときのみ存在することを示せる。→ [[詳しくはこちら>@量子力学Ⅰ/水素原子/メモ]]

このとき、

　&math(\varepsilon=-\varepsilon_0\frac{1}{n^2});　ただし &math(l<n);

である。具体的な解の形は、
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