スピントロニクス理論の基礎/5-3 のバックアップ(No.2)

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5-3 ゼロモード

(5.12) 式の固有値方程式から得た (5.13), (5.15) の固有関数を用いて ゆらぎ \tilde\eta を展開し、その係数を \eta_i とする。

(5.18)

&math( \tilde\eta(\bm r,t)=\frac{1}{2}\eta_0(t)\varphi_0(z)+\sum_k\eta_k(t)\varphi_k(z) );

これを (5.11) に代入すると、ラグランジアンを \eta_i を変数として表せる。

(5.11)

&math( L_S=-\hbar S\int\frac{d^3r}{a^3}\left(\bar{\tilde\eta}\dot{\tilde\eta}-\dot{\bar{\tilde\eta}}\tilde\eta\right)-2KS^2\left\{\lambda^2\nabla\bar{\tilde\eta}\nabla\tilde\eta+\left(1-\frac{2}{\cosh^2 u}\right)\tilde\bar\eta\tilde\eta\right\}\\ );

を、

&math( &\int \frac{d^3r}{a^3} \bar{\tilde\eta}\dot{\tilde\eta}\\ &=\frac{A}{a^3}\int dz \left(\frac{1}{2}\bar\eta_0(t)\bar\varphi_0(z)+\sum_k\bar\eta_k(t)\bar\varphi_k(z)\right) \left(\frac{1}{2}\dot\eta_0(t)\varphi_0(z)+\sum_k\dot\eta_k(t)\varphi_k(z)\right)\\ &=\frac{A}{a^3}\left(2\lambda\bar\eta_0\dot\eta_0+\sum_{k',k}\bar\eta_{k'}\dot\eta_k\delta(k'-k)\right) );

&math( &\int \frac{d^3r}{a^3}\left\{\lambda^2\nabla\bar{\tilde\eta}\nabla\tilde\eta+\left(1-\frac{2}{\cosh^2 u}\right)\bar{\tilde\eta}\tilde\eta\right\}\\ &=\frac{A}{a^3}\int dz\left\{\lambda^2\nabla_z\bar{\tilde\eta}\nabla_z\tilde\eta+\left(1-\frac{2}{\cosh^2 u}\right)\bar{\tilde\eta}\tilde\eta\right\}\\ &=\frac{A}{a^3}\int dz\left\{-\lambda^2\bar{\tilde\eta}\nabla_z^2\tilde\eta+\left(1-\frac{2}{\cosh^2 u}\right)\bar{\tilde\eta}\tilde\eta\right\}\\ &=\frac{A}{a^3}\int dz \bar{\tilde\eta}\left\{-\lambda^2\nabla_z^2+\left(1-\frac{2}{\cosh^2 u}\right)\right\}\tilde\eta\\ &=\frac{A}{a^3}\int dz \left(\frac{1}{2}\bar\eta_0(t)\bar\varphi_0(z)+\sum_k\bar\eta_k(t)\bar\varphi_k(z)\right) \left(\frac{0}{2}\eta_0(t)\varphi_0(z)+\sum_k\omega_k\eta_k(t)\varphi_k(z)\right)\\ &=\frac{A}{a^3} \sum_{k',k}\omega_k\bar\eta_{{k'}}\eta_k\big\}{\delta(k'-k)}\\ );

などに注意して展開すると、

(5.19)

&math( L_S=N_w\left[\frac{i\hbar S}{4}(\bar\eta_0\dot\eta_0-\dot{\bar\eta}_0\eta_0)+ \red{\frac{1}{2\lambda}}\sum_{\red{k'},k}\big\{i\hbar S(\bar\eta_{\red{k'}}\dot\eta_k-\dot{\bar\eta}_{\red{k'}}\eta_k)-2KS^2\omega_k\bar\eta_{\red{k'}}\eta_k\big\}\red{\delta(k'-k)}\right] );

となる気がする?ただし、 N_w\equiv 2\lambda A/a^3 は (5.8) ですでに出てきたがここで初めて定義される定数で、磁壁を構成しているスピンの総数である( A は系の断面積)

N_w に含まれる 2\lambda \varphi_0 が正規化されていなかったために現れた定数なので、正規化されてた \varphi_k からは出てこない。そのため全体を N_w で括ると上記の \red{1/2\lambda} が現れてしまう。

そもそも、(5.14) から (5.17) あたりでは k は連続だったのに、 (5.18) の展開で k を整数に限っているのがおかしい。 \delta(k'-k) は次元を持つので、これを無視してしまうと次元すら狂ってしまう。

(5.18)'

&math( \tilde\eta(\bm r,t)=\frac{1}{2}\eta_0(t)\varphi_0(z)+\red{2\lambda\int dk}\eta_k(t)\varphi_k(z) );

とすれば、

(5.19)'

&math( L_S=N_w\left[\frac{i\hbar S}{4}(\bar\eta_0\dot\eta_0-\dot{\bar\eta}_0\eta_0)+ \red{2\lambda\int dk}\big\{i\hbar S(\bar\eta_k\dot\eta_k-\dot{\bar\eta}_k\eta_k)-2KS^2\omega_k\bar|\eta_k|^2\big\}\right] );

となって、これなら次元も問題ない。

ただ、これ以降の話が全部 \sum_k で書かれているので、 果たして上記の解釈が正しいのかどうか、あまり自信を持てない・・・

θとの関係

(5.4) に (5.18)' を代入すると、

(5.20)

&math( &\xi=\exp\left\{-u+i\phi_0+2\cosh\left[\frac{1}{2}\eta_0\varphi_0+\red{2\lambda\int dk}\eta_k\varphi_k\right]\right\}\\ &\red{=}\exp\left\{-\frac{z-X}{\lambda}+i\phi_0+\eta_0+2\cosh\left[\red{2\lambda\int dk}\eta_k\varphi_k\right]\right\}\\ &\red{=}\exp\left\{-\frac{z-(X+\lambda\mathrm{Re}[\eta_0])}{\lambda}+i(\phi_0+\mathrm{Im}[\eta_0])+2\cosh\left[\red{2\lambda\int dk}\eta_k\varphi_k\right]\right\}\\ );

となって、普通に (5.20) が得られそうに思うのだが、 教科書では何故か等号が \simeq になっている。 どこかに近似が入っている???

(5.20) から、 \varphi_0 の励起モードは、 係数 \eta_0 の実部が X を、虚部が \phi_0 を、 それぞれシフトすることに対応している。

(5.21)

X(t)=X+\lambda\mathrm{Re}\eta_0(t)

\phi_0(t)=\phi_0+\mathrm{Im}\eta_0(t)

ゼロモードの存在により、これら X(t) および \phi_0(t) 自体が力学変数に昇格することになる。

励起モードの直交性 (5.16) により、ラグランジアンはこれら X(t), \phi_0(t) による部分と、それ以外の励起モード \eta_k による部分とに分離できる。

\eta_0=\frac{X(t)-X}{\lambda}+i\left(\phi_0(t)-\phi_0\right)

&math( &\bar\eta_0\dot\eta_0-\dot{\bar\eta}_0\eta_0\\ &= \left\{\frac{X(t)-X}{\lambda}-i\left(\phi_0(t)-\phi_0\right)\right\} \left\{\frac{\dot X(t)}{\lambda}+i\dot\phi_0(t)\right\}

  • \left\{\frac{\dot X(t)}{\lambda}-i\dot\phi_0(t)\right\} \left\{\frac{X(t)-X}{\lambda}+i\left(\phi_0(t)-\phi_0\right)\right\}\\ &= \left\{\frac{X(t)}{\lambda}-i\phi_0(t)\right\} \left\{\frac{\dot X(t)}{\lambda}+i\dot\phi_0(t)\right\} \left\{\frac{\dot X(t)}{\lambda}-i\dot\phi_0(t)\right\} \left\{\frac{X(t)}{\lambda}+i\phi_0(t)\right\}\\ &=\frac{2i}{\lambda}\left\{X(t)\dot\phi_0(t)-\dot X(t)\phi_0(t)\right\} );

途中で時間に対する全微分となる項 ( 定数×時間微分 となる項) は落とした。

(5.23)

&math( L_w^{(0)}=\frac{\hbar N_wS}{2\lambda}(\dot X\phi_0-X\dot\phi_0) );

&math( L_{sw}=\red{2\lambda}N_w\red{\int dk}\big\{i\hbar S(\bar\eta_k\dot\eta_k-\dot{\bar\eta}_k\eta_k)-2KS^2\omega_k\bar|\eta_k|^2\big\} );

以上の結果から、磁壁の位置 X と回転位相 \phi_0 は力学変数として振る舞うことが裏付けられた。これらの変数は「集団座標」である。

これらを含んだ形で書くと、5-2 で見た関係式は

(5.25)

\cos\theta=\tanh\frac{z-X(t)}{\lambda}

\sin\theta=\frac{1}{\cosh\frac{z-X(t)}{\lambda}}

\phi=\phi_0(t)

と表せる。

量子論

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