スピントロニクス理論の基礎/9-1B のバックアップ(No.2)

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9-1 スカラー場により誘起される電荷密度 (2)

不純物散乱の効果を正しく取り込む : vertex 補正

(9.28)

&math( &\rho_\phi^{(1)}(\bm r,t)=

  • i\frac{e^{\textcolor{red}{2}}}{V} \sum_{\bm k,\bm q} \int \frac{d\omega}{2\pi} \int \frac{d\Omega}{2\pi} e^{-i\bm q\cdot \bm r}e^{i\Omega t} \times \\ &\hspace{1.5cm} \phi(\bm q,\Omega)n_iv_i^2 \sum_{\bm k_1}\left[ g_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}} \, g_{\bm k_1-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}} \, g_{\bm k_1+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}} \, g_{\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}} \right]^< );

この補正が出てくる理由が分からない。

(8.118) および (9.4J) を完全に評価する限り 近似は入っていないと思っていたのだけれど・・・

ここまで、近似というか、多少なりともごまかしが入ったのは

  • (8.101), (8.101') で初期条件がおかしくなったこと
  • (8.119) の不純物平均
  • (8.123) の実部は無視できるのか

くらい?

  1. (9.28) の項は (9.4) 式の高次項ではない
  2. (9.5) 式の g g_0 で展開した形に似ている
  3. それならなぜ (9.28) 式の g g_0 でないのか?
  4. この項は (8.118) や (9.4J) の導出中に行われた近似で落とされていたのに 気付かなかった?

あたりが疑問。

(9.4) 式の高次項ではない

(9.4) 式は \phi で展開しているので、高次項には \phi の2次以上が含まれるはずだが、 (9.28) に \phi は1つしか入っていない。

(9.5) 式の g を g0 で展開した形に似ている

(8.121) より、

&math( g^\alpha_{\bm k,\omega} = g^\alpha_{0\bm k,\omega}

  1. n_iv_i^2\frac{1}{N} \sum_{\bm q'} g^\alpha_{0\bm k,\omega} g^\alpha_{0\bm k+q',\omega} g^\alpha_{0\bm k,\omega} + \dots );

この1項目と2項目とを掛け合わせると、 n_iv_i^2\sum gggg の項が出る。

&math( \left[ g^\alpha_{\bm k+\frac{q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}} \, g^\alpha_{\bm k-\frac{q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}} \right]^< );

にこれらをそのまま入れると、かなり似た項は出るが、(9.28) そのものは出ない。

そもそも、こういう項は g^rg^rg^rg^a g^rg^ag^ag^a の形になるから、どうも話が違う。

これらの過程は (9.27) の \rho_\phi^{(0)} に含まれている、上下どちらかに1つ耳の生えたタイプということで、 改めて組み込む必要は無いということだと思う。

なぜ (9.28) 式の g g_0 でないのか

上下に耳が生える過程を組み込むため?

これまでの近似で落とされていたのに気付かなかった?

たぶんそう。

どこから出てくるのだろう?・・・不純物平均のところか。

上で見たとおり、(9.28) の項は v_i の2次の項とゼロ次の項を掛けた物ではなく、 1次の項を2つ掛けた物だ。

8-10 では1次の項は不純物平均により消えるとされたけど、 ポテンシャルがあると残る物が出てくるのかも。

不純物平均の前まで戻って v=v_i+v_\phi とする。

(8.145) からポテンシャルを3回含む項を取り出してみる。

それ以外の項は下線を引いて、どんどん消していく。

&math( &g_{\bm k,\bm k',\omega}^< = \underline{\delta_{\bm k,\bm k'}g_{0\bm k,\bm k',\omega}^<}

  1. \sum_{\bm q}\big[
     g_{0\bm k,\bm k',\omega}^rv(\bm q)g_{\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^<
    +g_{0\bm k,\bm k',\omega}^<v(\bm q)g_{\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^a
    \big] \\&= \sum_{\bm q}\Big[
     g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r v(\bm q) \Big(
       \underline{\delta_{\bm k+\bm q,\bm k'}g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^<}
       +\sum_{\bm q'}\big[
         g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^rv(\bm q')g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^<
        +g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^<v(\bm q')g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^a
       \big]\Big)\\
    &\hspace{9.5mm}
    +g_{0\bm k,\bm k',\omega}^< v(\bm q) \Big(
       \underline{\delta_{\bm k+\bm q,\bm k'}g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^a}
       +\sum_{\bm q'}
         g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^av(\bm q')g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^a
       \Big)
    \Big] \\&= \sum_{\bm q,\bm q'}\Big[
     g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r v(\bm q)
         g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^rv(\bm q') 
             \Big( \underline{\delta_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k'}g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^<}\\
    &\hspace{4cm}
                 +\sum_{\bm q''}\big[
                   g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^rv(\bm q'')g_{\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega}^<
                  +g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^<v(\bm q'')g_{\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega}^a
                 \big]
             \Big)\\
    &\hspace{9.5mm}
    +g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r v(\bm q) g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^<v(\bm q')
     \Big(
       \underline{\delta_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k'}g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^a}
       +\sum_{\bm q''}
         g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^av(\bm q'')g_{\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega}^a
       \Big)\\
    &\hspace{9.5mm}
    +g_{0\bm k,\bm k',\omega}^< v(\bm q)
         g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^av(\bm q')
     \Big(
       \underline{\delta_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k'}g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^a}
       +\sum_{\bm q''}
         g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^av(\bm q'')g_{\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega}^a
       \Big)
    \Big] \\&= \sum_{\bm q,\bm q',\bm q''}\Big[
     g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r v(\bm q) g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^rv(\bm q') 
     g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^rv(\bm q'') g_{0\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega}^< \\
    &\hspace{13mm}
    +g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r v(\bm q) g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^rv(\bm q') 
                   g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^<v(\bm q'')g_{0\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega}^a \\
    &\hspace{13mm}
    +g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r v(\bm q) g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^<v(\bm q')
         g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^av(\bm q'')g_{0\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega}^a \\
    &\hspace{13mm}
    +g_{0\bm k,\bm k',\omega}^< v(\bm q) g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^av(\bm q')
         g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^av(\bm q'')g_{0\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega}^a \\
    &\hspace{13mm} \Big] \delta_{\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k'} \\ );

(8.153) を入れると、

&math( &= \sum_{\bm q,\bm q',\bm q''}\Big[

 g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r v(\bm q) g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^rv(\bm q') 
 g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^rv(\bm q'') f(\omega) \Big( \underline{g_{0\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega}^a}-g_{0\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega}^r \Big) \\

&\hspace{13mm}

+g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r v(\bm q) g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^rv(\bm q') 
 f(\omega) \Big( \underline{g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^a}-\underline{g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^r} \Big)
 v(\bm q'')g_{0\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega}^a \\

&\hspace{13mm}

+g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r v(\bm q) 
 f(\omega) \Big(  \underline{g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^a}- \underline{g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^r} \Big) v(\bm q')
     g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^av(\bm q'')g_{0\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega}^a \\

&\hspace{13mm}

+
 f(\omega) \Big( g_{0\bm k,\bm k',\omega}^a- \underline{g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r} \Big)v(\bm q)
     g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^av(\bm q')
     g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^av(\bm q'')g_{0\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega}^a \\

);

となる。

このままだと、下線を引いた項同士は打ち消し合ってしまって、 g^ag^ag^ag^a および g^rg^rg^rg^r の項しか残らない。

これは v との相互作用で \omega が変化しないとしたためで、 \omega が変化するようなポテンシャルが入っている場合には、 打ち消さない項が残る?

例えば2つ目が v_\phi で、 \omega が変化するとすれば、

&math( &= \sum_{\bm q,\bm q',\bm q''}\Big[

 g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r v_i(\bm q) g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^rv_\phi(\bm q') 
 g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega+\Omega}^rv_i(\bm q'') f(\omega+\Omega) \Big( g_{0\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega+\Omega}^a -g_{0\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega+\Omega}^r \Big) \\

&\hspace{13mm}

+g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r v_i(\bm q) g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^rv_\phi(\bm q') 
 f(\omega+\Omega) \Big( g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega+\Omega}^a - g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega+\Omega}^r \Big)
 v_i(\bm q'')g_{0\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega+\Omega}^a \\

&\hspace{13mm}

+g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r v_i(\bm q) 
 f(\omega) \Big( g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^a - g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^r \Big) v_\phi(\bm q')
     g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega+\Omega}^av_i(\bm q'')g_{0\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega+\Omega}^a \\

&\hspace{13mm}

+
 f(\omega) \Big( g_{0\bm k,\bm k',\omega}^a - g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r \Big)v_i(\bm q)
     g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^av_\phi(\bm q')
     g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega+\Omega}^av_i(\bm q'')g_{0\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega+\Omega}^a \\

&\hspace{13mm} \Big]\delta_{\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k'}\\ );

となって、やっぱり結局消えてしまいそうに思うけれど・・・

よく分からない。

上記で残ると思われる2つの項について、不純物平均を取ると

&math( &= \sum_{\bm q,\bm q',\bm q''}\Big[

- f(\omega+\Omega) g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r v_i(\bm q) g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^rv_\phi(\bm q') 
  g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega+\Omega}^rv_i(\bm q'') g_{0\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega+\Omega}^r \\

&\hspace{13mm}

+ f(\omega) g_{0\bm k,\bm k',\omega}^a v_i(\bm q)
     g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^av_\phi(\bm q')
     g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega+\Omega}^av_i(\bm q'')g_{0\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega+\Omega}^a 

\Big]\delta_{\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k'}\\ &= n_iv_i^2 \sum_{\bm q,\bm q'} \delta_{\bm q+\bm q'',\bm 0} v_\phi(\bm q') \Big[

- f(\omega+\Omega) g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^r 
  g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega+\Omega}^r g_{0\bm k+\bm q',\bm k',\omega+\Omega}^r \\

&\hspace{45mm}

+ f(\omega) g_{0\bm k,\bm k',\omega}^a 
     g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^a
     g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega+\Omega}^ag_{0\bm k+\bm q',\bm k',\omega+\Omega}^a 

\Big]\delta_{\bm k+\bm q',\bm k'}\\ );

\bm k\rightarrow\bm k+\frac{\bm q}{2}

\bm \omega\rightarrow\bm \omega+\frac{\bm \Omega}{2}

\bm q\rightarrow\bm q_1

\bm q'\rightarrow\bm q

あれ、ちょっと合わないか。後でもう少し考える。


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