線形代数Ｉ/連立一次方程式 のバックアップソース(No.1)
更新[[線形代数Ｉ]]
* 連立一次方程式 [#vdbf36fb]
** 連立一次方程式とは [#t281aa54]
- 一次方程式：最大で一次の項からなる方程式
- 連立：複数ある
一次の項？
-０次：&math(0, 3, \sqrt{5}, a, b, \cdots);
-一次：&math(x, y, z, w, \cdots );
-二次：&math(x^2, y^2, xy, \cdots);
-三次：&math(x^3, xy^2, xyz, \cdots);
-・・・
そして
-項：＋やーで繋がれたもの~
&math(x+a+(c+d)); なら &math(x); や &math(a); の他、&math((c+d)); を項と呼ぶことも
-因子：積や商で繋がれたもの~
&math(ax); なら &math(a); や &math(x);
「最大で一次の項からなる方程式が複数ある」
** 一次方程式の例 [#xb29f4b3]
&math(\left\{\begin{array}{l} x+2y=-1 \\ 3x+y=2 \end{array}\right .);
&math(\left\{\begin{array}{l} x=1 \\ y=-1 \end{array}\right .);
** 必ずしも解けるわけではない [#i7ba83b0]
- 解がたくさん出てくる
- 解が１つもない
*** 解がたくさん出てくる [#q5322b43]
&math(\left\{\begin{array}{l} x+2y=-1 \\ 2x+4y=-2 \end{array}\right .);
&math(\left\{\begin{array}{l} x=-2k-1 \\ y=k \end{array}\right .);~
任意の &math(k); について解になる。
*** 解が１つもない [#pd098cf0]
&math(\left\{\begin{array}{l} x+2y=-1 \\ 2x+4y=-3 \end{array}\right .);
下の式から上の式の２倍を引くと、
&math(0=-1);~
どんな &math(x,y); を持ってきてもこの式を満たすことはできない。
したがって、「解無し」
** 連立方程式の一般系 [#f80b9588]
&math(\left\{\begin{array}{c@{}c@{}c@{}c@{}c@{}c@{}c} a_{11}x_1&+&a_{12}x_2&+\cdots+&a_{1n}x_n&=&b_1 \\ a_{21}x_1&+&a_{22}x_2&+\cdots+&a_{2n}x_n&=&b_2 \\ \vdots&&\vdots&&\vdots&&\vdots\\ a_{m1}x_1&+&a_{m2}x_2&+\cdots+&a_{mn}x_n&=&b_m \\ \end{array}\right .);
&maht(x_1,x_2,\cdots,x_n); が変数~
&maht(a_{11},\cdots,a_{mn}); が定数（係数）~
&maht(b_1,b_2,\cdots,b_m); も定数
変数に使う文字：~
変数が３つまでであれば、&math(x,y,z); が使われるし、~
変数が４つまでであれば、&math(x,y,z,w); が使われる事が多い。
それ以上の時は、&math(x_i); の形で表すとよい。
** 連立方程式とベクトル方程式 [#x6e4aead]
&math(A=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}\end{bmatrix});、
&math(\bm x = \begin{bmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{bmatrix});、
&maty(\bm b = \begin{bmatrix}b_1\\b_2\\\vdots\\b_m\end{bmatrix});~
係数行列、変数ベクトル、定数ベクトル
と置くと、連立一次方程式は次の形のベクトル方程式に書ける。
&math(A\bm x=\bm b);
** 方程式の解 [#b237ac88]
先の例と同様に、
- １つだけに決まる
- たくさんある
- １つもない
のいずれにもなりうる。
&math(A\bm x=\bm b); なら &math(\bm x=A^{-1}\bm b);
だから、かならず解は１つだけ求まるんじゃないの？~
というのはちょっと甘い。
- &math(A); が正則でない場合もあるし
- そもそも &math(A); が正方行列にならない場合も考えないと
** 実際の問題では [#a586c4b6]
物理学やその他のシミュレーションでは、
何万、何十万の変数を持つ連立一次方程式を
計算機を使って解かなければならない問題がたくさんある。
- 大きな次数の計算では「行き当たりばったり」の計算方法では困る
- 方程式の性質自体を行列を使って理解したい
というのが、以降で行う内容。
** 連立一次方程式の例 [#r5b2dfab]
&math(\left\{\!\begin{array}{r@{\,}c@{\,}r@{\,}c@{\,}r@{\,}c@{\,}r@{\ \ \ \ \ \ \ }c}x&-&2y&+&3z&=&1&\MARU{1}\\3x&+&y&-&5z&=&-4&\MARU{2} \\-2x&+&6y&-&9z&=&-2&\MARU{3}\end{array}\right .);
を解こう。
&math(\begin{array}{r@{\,}c@{\,}r@{\,}c@{\,}r@{\,}c@{\,}r@{\ \ \ \ \ \ \ }ll}\phantom{-2x}&\phantom{-}&7y&-&14z&=&-7&\MARU{2}-3\times\MARU{1}&=\MARU{4}\\&&2y&-&3z&=&0&\MARU{3}+2\times\MARU{1}&=\MARU{5} \\&&y&-&2z&=&-1&\MARU{4}/7&=\MARU{6}\\x&&&-&z&=&-1&\MARU{1}+2\times\MARU{6}&=\MARU{7}\\&&&&z&=&2&\MARU{5}-2\times\MARU{6}&=\MARU{8}\\x&&&&&=&1&\MARU{7}+\MARU{8}&=\MARU{9}\\&&y&&&=&3&\MARU{6}+2\times\MARU{8}&=\MARU{10}\\\end{array});
∴&math(\MARU{9}\MARU{10}\MARU{8});より &math(x=1,\ y=3,\ z=2);
あるいは、
&math(\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\3\\2\end{bmatrix});
** どうやったか？ [#k3cc2a39]
連立方程式の解を変化させずに以下の式変形が可能：
- ある式を定数倍(&math(\neq 0);)する
- ある式を定数倍して別の式に加える
- (ある式を別の式を入れ替える) ←必要なら
与えられた式に上記の操作を繰り返して、最終的に
&math(\left\{\begin{array}{c@{\ }c@{\ }c@{\ }c@{\ }c}x&&&=&?\\&y&&=&?\\&&z&=&?\end{array}\right .);
の形にした。
** 係数だけ取り出して考える [#ca5d7a2b]
&math(\left\{\!\begin{array}{r@{\,}c@{\,}r@{\,}c@{\,}r@{\,}c@{\,}r@{\ \ \ \ \ \ \ }c}x&-&2y&+&3z&=&1&\MARU{1}\\3x&+&y&-&5z&=&-4&\MARU{2} \\-2x&+&6y&-&9z&=&-2&\MARU{3}\end{array}\right .);
のような連立一次方程式に対して、係数行列と定数ベクトルを並べてできる次のような行列を「拡大係数行列」と呼ぶ。
&math(A^*=[\,A\ \bm b\,]=\begin{bmatrix}1&-2&3&1\\3&1&-5&-4\\-2&6&-9&-2\end{bmatrix});
この行列に対して、
- ある行を定数倍(&math(\neq 0);)する
- ある行を定数倍して別の行に加える
- ある行を別の式を入れ替える
を行っても、対応する方程式の解は変わらない。
これら３つの変形は「（行に対する）基本変形」と呼ばれる。
行列が解けて、解が１つだけ定まる場合には、上記の拡大係数行列に変形を繰り返すことで、
&maht(\left[\begin{array}{ccccl}1&0&\cdots&0&b_1^\prime\\
0&1&&\vdots&\vdots\\\vdots&&\ddots&0&b_{m-1}^\prime\\0&\cdots&0&1&b_m^\prime\end{array}\right]=[\,I\ \bm b^\prime\,]);
のように、単位行列の右側に（はじめとは異なる）定数ベクトルが並ぶ形にできる。
この式は、
&math(\left\{\begin{array}{c@{\ }c@{\ }c@{\ }c@{\ }c}x&&&=&b_1^\prime\\&y&&=&b_2^\prime\\&&z&=&b_3^\prime\end{array}\right .);
のような式に対応していることから、
&math(\bm x=\bm b^\prime);
が解となる。
** ガウスの消去法（掃出し法） [#ua199d37]
先の問題を、拡大係数行列を変形する方法で解いてみる。
ここで採用する方法は「ガウスの消去法」あるいは「掃出し法」と呼ばれる。
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