線形代数II/基底の変換 のバックアップ(No.14)

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基底の変換

数ベクトル空間における数ベクトル表現の求め方

例として、次の3つのベクトルは \mathbb R^3 の基底を為す。

&math( \bm b_1=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}, \bm b_2=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}, \bm b_3=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix} );

適当な \bm x\in\mathbb R^3 が与えられたとして、この基底に対する数ベクトル表現 \bm x'\in\mathbb R^3 を求めたい。

&math( \bm x=\begin{pmatrix}\bigg.\bm b_1&\bm b_2&\bm b_3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix} =B\bm x');

と書けば、 \bm b_1,\bm b_2,\bm b_3 は一次独立なので B は正則行列になる。

したがって、 \bm x'=B^{-1}\bm x とすれば数ベクトル表現が得られる。

すなわち、

\bm x'=\begin{pmatrix}\bm b_1&\bm b_2&\bm b_3\end{pmatrix}^{-1}\bm x

上記の議論は線形独立な任意の3つのベクトル \bm b_1,\bm b_2,\bm b_3 に適用できる。

基底の変換行列

K 上の n 次元線形空間 V に2つの基底を取る

\comment{widetilde} A=\set{\bm a_1,\bm a_2,\dots,\bm a_n}

\comment{widetilde} B=\set{\bm b_1,\bm b_2,\dots,\bm b_n}

これらの基底に対するベクトル \bm x\in V の表現 \bm x_{\comment{widetilde} A}, \bm x_{\comment{widetilde} B}\in K^n は、

(1) &math( \bm x=\begin{pmatrix}\bm a_1&\bm a_2&\dots&\bm a_n\end{pmatrix}\bm x_{\comment{widetilde} A} );

(2) &math( \bm x=\begin{pmatrix}\bm b_1&\bm b_2&\dots&\bm b_n\end{pmatrix}\bm x_{\comment{widetilde} B} );

の関係を満たす。図に表わせば、

基底の変換.png

\bm x_{\comment{widetilde} A}\to \bm x および \bm x\to \bm x_{\comment{widetilde} B} はともに 線形写像となるから、その合成写像 \bm x_{\comment{widetilde} A}\to \bm x_{\comment{widetilde} B} も線形写像である。

線形代数I において K^n\to K^n の線形変換は n\times n 行列の積で表せることを学んだ。 すなわち、ある行列 P_{\comment{widetilde} B\to \comment{widetilde} A} を用いて、

(3)  \bm x_{\comment{widetilde} B}=P_{\comment{widetilde} B\to \comment{widetilde} A}\bm x_{\comment{widetilde} A}

と表せる。

このとき、 P_{\comment{widetilde} B\to \comment{widetilde} A} を 基底 \comment{widetilde} B から 基底 \comment{widetilde} A への基底の変換行列と呼ぶ。

変換の向き

上記を良く読んで「変換の向きは逆じゃないの?」と思うのは正しい感覚。

どうしてこの向きかというと、

(2) に (3) を代入して、

&math( \bm x=\begin{pmatrix}\bm b_1&\bm b_2&\dots&\bm b_n\end{pmatrix}P_{\comment{widetilde} B\to \comment{widetilde} A}\bm x_{\comment{widetilde} A} );

と (1) とを比べると、

(4) &math( \begin{pmatrix}\bm a_1&\bm a_2&\dots&\bm a_n\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}\bm b_1&\bm b_2&\dots&\bm b_n\end{pmatrix}P_{\comment{widetilde} B\to \comment{widetilde} A} );

となり、 \comment{widetilde} B の基底ベクトルを並べて右から P_{\comment{widetilde} B\to \comment{widetilde} A} を掛けることで \comment{widetilde} A の基底ベクトルが得られる。

こう書けば変換の向きは正しく思えるはず。

変換行列 $P_{\comment{widetilde} B\to \comment{widetilde} A}$ の具体的な形

変換行列の列ベクトルを次のように置く。

P_{\comment{widetilde} B\to \comment{widetilde} A}=\begin{pmatrix}\bm p_1&\bm p_2&\dots&\bm p_n\end{pmatrix}

(4) を列ベクトルごとに見れば、

&math( \bm a_i= \begin{pmatrix}\bm b_1&\bm b_2&\dots&\bm b_n\end{pmatrix}\bm p_i );

一方、 \bm a_i \comment{widetilde} B に対する表現 \bm a_{i\comment{widetilde} B}

&math( \bm a_i= \begin{pmatrix}\bm b_1&\bm b_2&\dots&\bm b_n\end{pmatrix}\bm a_{i\comment{widetilde} B} );

だったから、

\bm p_i=\bm a_{i\comment{widetilde} B}

すなわち、

P_{\comment{widetilde} B\to \comment{widetilde} A}=\begin{pmatrix}\bm a_{1\comment{widetilde} B}&\bm a_{2\comment{widetilde} B}&\dots&\bm a_{n\comment{widetilde} B}\end{pmatrix}

となる。

正則性

当然、逆写像も線形写像であるから、

\bm x_{\comment{widetilde} A}=P_{\comment{widetilde} A\to \comment{widetilde} B}\bm x_{\comment{widetilde} B}

であり、

P_{\comment{widetilde} A\to \comment{widetilde} B}=P_{\comment{widetilde} B\to \comment{widetilde} A}^{-1}

の関係がある。すなわち、基底の変換行列は正則行列である。

\mathbb R^2 に、2つの基底を取る。

&math( \bm a_1=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}, \bm a_2=\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix} );

&math( \bm b_1=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}, \bm b_2=\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix} );

\bm a_1,\bm a_2 \bm b_1,\bm b_2 で展開すれば、

\bm a_1=\frac{1}{3}\bm b_1+\frac{1}{3}\bm b_2 \bm a_{1B}=\begin{pmatrix}1/3\\1/3\end{pmatrix}

\bm a_2=-\bm b_1+\bm b_2 \bm a_{2B}=\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}

2つの式をまとめると、

&math( \begin{pmatrix}\bm a_1&\bm a_2\end{pmatrix}&= \begin{pmatrix}\bm b_1&\bm b_2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1/3&-1\\1/3&1\end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix}\bm b_1&\bm b_2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\bm a_{1B}&\bm a_{2B}\end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix}\bm b_1&\bm b_2\end{pmatrix}P_{B\to A} );

この表式を用いて、

&math( \bm x&=\begin{pmatrix}\bm a_1&\bm a_2\end{pmatrix}\bm x_A\\ &=\begin{pmatrix}\bm b_1&\bm b_2\end{pmatrix}P_{B\to A}\bm x_A\\ &=\begin{pmatrix}\bm b_1&\bm b_2\end{pmatrix}\bm x_B\\ );

すなわち、

&math( \bm x_B=P_{B\to A}\bm x_A=\begin{pmatrix}1/3&-1\\1/3&1\end{pmatrix}\bm x_A );

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