線形代数II/基底の変換 のバックアップソース(No.16)

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#contents
#mathjax

* 基底の変換 [#lb2f5ba0]

** 基底の変換行列 [#bebc4cfe]

&math(K); 上の &math(n); 次元線形空間 &math(V); に2つの基底を取る

&math( A=\set{\bm a_1,\bm a_2,\dots,\bm a_n});

&math( B=\set{\bm b_1,\bm b_2,\dots,\bm b_n});

これらの基底に対するベクトル &math(\bm x\in V); の表現 
&math(\bm x_{ A}, \bm x_{ B}\in K^n); は、

(1) &math(
\bm x=\begin{pmatrix}\bm a_1&\bm a_2&\dots&\bm a_n\end{pmatrix}\bm x_{ A}
);

(2) &math(
\bm x=\begin{pmatrix}\bm b_1&\bm b_2&\dots&\bm b_n\end{pmatrix}\bm x_{ B}
);

の関係を満たす。図に表わせば、

&attachref(基底の変換.png,,50%);

&math(\bm x_{ A}\to \bm x); および &math(\bm x\to \bm x_{ B}); はともに
線形写像となるから、その合成写像 &math(\bm x_{ A}\to \bm x_{ B}); 
も線形写像である。

線形代数I において &math(K^n\to K^n); の線形変換は &math(n\times n); 行列の積で表せることを学んだ。
すなわち、ある &math(n); 次正方行列 &math(P_{ B\to  A}); を用いて、

(3) &math(\bm x_{ B}=P_{ B\to  A}\bm x_{ A});

と表せる。

このとき、&math(P_{ B\to  A}); を 
基底 &math( B); から 基底 &math( A); への基底の変換行列と呼ぶ。

** 変換の向き [#ma60dc7d]

上記を良く読んで「変換の向きは逆じゃないの?」と思うのは正しい感覚。

どうしてこの向きかというと、

(2) に (3) を代入して、

&math(
\bm x=\begin{pmatrix}\bm b_1&\bm b_2&\dots&\bm b_n\end{pmatrix}P_{ B\to  A}\bm x_{ A}
);

と (1) とを比べると、

(4) &math(
\begin{pmatrix}\bm a_1&\bm a_2&\dots&\bm a_n\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}\bm b_1&\bm b_2&\dots&\bm b_n\end{pmatrix}P_{ B\to  A}
);

となり、&math(P_{ B\to  A}); は基底 &math( B); を基底 &math( A); に変換する。

基底を変換するのと、数ベクトル表現を変換するのとを区別して覚えよう。

** 変換行列 $P_{ B\to  A}$ の具体的な形 [#d7adb478]

変換行列の列ベクトルを次のように置く。

&math(P_{ B\to  A}=\begin{pmatrix}\bm p_1&\bm p_2&\dots&\bm p_n\end{pmatrix});

(4) を列ベクトルごとに見れば、

&math(
\bm a_i=
\begin{pmatrix}\bm b_1&\bm b_2&\dots&\bm b_n\end{pmatrix}\bm p_i
);

一方、&math(\bm a_i); の &math( B); に対する表現 &math(\bm a_{i B}); は

&math(
\bm a_i=
\begin{pmatrix}\bm b_1&\bm b_2&\dots&\bm b_n\end{pmatrix}\bm a_{i B}
);

だったから、

&math(\bm p_i=\bm a_{i B});

すなわち、

&math(P_{ B\to  A}=\begin{pmatrix}\bm a_{1 B}&\bm a_{2 B}&\dots&\bm a_{n B}\end{pmatrix});

となる。

基底 &math(B); から &math(A); への変換行列 &math(P_{B\to A}); は、
基底 &math(B); に対する基底 &math(A); の表現ベクトル &math(\bm a_{iB}); 
を並べて作った行列になる。

** 正則性 [#p6b07f11]

当然、逆写像も線形写像であるから、

&math(\bm x_{ A}=P_{ A\to  B}\bm x_{ B});

であり、

&math(P_{ A\to  B}=P_{ B\to  A}^{-1});

の関係がある。すなわち、基底の変換行列は正則行列である。

* 例 [#cd58eba3]

&math(\mathbb R^2); に、2つの基底を取る。

&math(
\bm a_1=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix},
\bm a_2=\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}
);

&math(
\bm b_1=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix},
\bm b_2=\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}
);

&math(\bm a_1,\bm a_2); を &math(\bm b_1,\bm b_2); で展開すれば、

&math(\bm a_1=\frac{1}{3}\bm b_1+\frac{1}{3}\bm b_2); 
→ &math(\bm a_{1B}=\begin{pmatrix}1/3\\1/3\end{pmatrix});

&math(\bm a_2=-\bm b_1+\bm b_2);
→ &math(\bm a_{2B}=\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix});

2つの式をまとめると、

&math(
\begin{pmatrix}\bm a_1&\bm a_2\end{pmatrix}&=
\begin{pmatrix}\bm b_1&\bm b_2\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1/3&-1\\1/3&1\end{pmatrix}\\
&=\begin{pmatrix}\bm b_1&\bm b_2\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}\bm a_{1B}&\bm a_{2B}\end{pmatrix}\\
&=\begin{pmatrix}\bm b_1&\bm b_2\end{pmatrix}P_{B\to A}
);

この表式を用いて、

&math(
\bm x&=\begin{pmatrix}\bm a_1&\bm a_2\end{pmatrix}\bm x_A\\
&=\begin{pmatrix}\bm b_1&\bm b_2\end{pmatrix}P_{B\to A}\bm x_A\\
&=\begin{pmatrix}\bm b_1&\bm b_2\end{pmatrix}\bm x_B\\
);

すなわち、

&math(
\bm x_B=P_{B\to A}\bm x_A=\begin{pmatrix}1/3&-1\\1/3&1\end{pmatrix}\bm x_A
);

* 演習 [#b5b7ccac]

&math(\mathbb R^3); に2つの基底 
&math(A=\Big\{
\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}
\Big\});
と
&math(B=\Big\{
\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}
\Big\});
を取る。

(1) &math(A); から &math(B); への変換行列 &math(P_{A\to B});、
&math(B); から &math(A); への変換行列 &math(P_{B\to A}); を求めよ。

(2) &math(\big(\bm a_1\ \bm a_2\ \bm a_3\big)=\big(\bm b_1\ \bm b_2\ \bm b_3\big)P_{B\to A});
および &math(\bm x_B=P_{B\to A}\bm x_A); を確かめよ。

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* 質問・コメント [#ca406670]

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