線形代数II/基底の変換のバックアップソース(No.2)

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[[線形代数Ⅱ]]

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* 基底の変換 [#lb2f5ba0]

次の３つのベクトルは &math(\mathbb R^3); の基底を為す。

&math(
\bm b_1=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix},
\bm b_2=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix},
\bm b_3=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}
);

これは、次の２つが成り立つという意味だった。

+ &math(\bm b_1,\bm b_2,\bm b_3); は線形独立である
+ &math(\bm b_1,\bm b_2,\bm b_3); は &math(\mathbb R^3); を張る

1. はほぼ自明(ですよね?)

2. を確かめよう

&math(\forall \bm x=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\in \mathbb R^3);

に対して、

&math(\bm x=\bm b_1 x' +\bm b_2 y'+\bm b_3 z');

を満たす &math(x',y',z'); を見つけられるかがここでの問題。

&math(
\bm x=\begin{pmatrix}\bigg.\bm b_1&\bm b_2&\bm b_3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix}
=B\bm x');

1. より &math(B); は正則であるから、&math(\bm x'=B^{-1}\bm x); とすればよい。

上記により、&math(\mathbb R^3); のベクトル &math(\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}); の、
基底 &math(\bm b_1,\bm b_2,\bm b_3); に対する数ベクトル表現は、

&math(\begin{pmatrix}\bm b_1&\bm b_2&\bm b_3\end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix});

である。

&math(\mathbb R^3); のベクトル &math(\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}); という書き方は、

基本ベクトル &math(
\bm e_1=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix},
\bm e_2=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix},
\bm e_3=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}
); に対する数値表現と見なせる。

一方、行列 &math(B=\begin{pmatrix}\bigg.\bm b_1&\bm b_2&\bm b_3\end{pmatrix}); は、
ベクトル &math(\bm b_1&\bm b_2&\bm b_3); の、&math(\bm e_1&\bm e_2&\bm e_3); に対する
数値表現を行列として並べた物となる。

** 基底の変換行列 [#nfca15f3]

線形空間 &math(V); に２つの基底、
&math(\mathcal A=\set{\bm a_1, \bm a_2, \dots, \bm a_n}); および &math(\mathcal B=\set{\bm b_1, \bm b_2, \dots, \bm b_n}); 
があるとする。(&math(n=\dim V);)

&math(\forall\bm x\in V); の~
&math(\mathcal A); に対する数値表現 &math(\bm x_{\mathcal A}); と~
&math(\mathcal B); に対する数値表現 &math(\bm x_{\mathcal B}); との間には、

&math(\bm x_{\mathcal B}=A_{\mathcal B}^{-1}\bm x_{\mathcal A});

の関係がある。ただし、

&math(B_{\mathcal A}); は &math(n\times n); 行列で、~
&math(\mathcal B); の基底ベクトルそれぞれに対して基底 &math(\mathcal A); での数値表現を作り、
それらを横に並べた行列である。

この &math(B_{\mathcal A}); を、基底 &math(\mathcal A); から基底 &math(\mathcal B); への
基底の変換行列と呼ぶ。

&math(
\bm x&=\big(\bm a_1\ \bm a_2\ \dots\ \bm a_n\big)\bm x_{\mathcal A}\\
&=\big(\bm b_1\ \bm b_2\ \dots\ \bm b_n\big)\bm x_{\mathcal B}\\
);

&math(
\bm b_i=\big(\bm a_1\ \bm a_2\ \dots\ \bm a_n\big)\bm b_{i\mathcal A}
);
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