線形代数II/基底の変換 のバックアップの現在との差分(No.9)
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1. はほぼ自明 以下では、&math(\bm x_A); と &math(\bm x_B); との間に成り立つ関係について考える。 2. は、&math(\forall \bm x=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\in \mathbb R^3); を、 ** 基底の変換行列 [#bebc4cfe] &math(\bm x=\bm b_1 x' +\bm b_2 y'+\bm b_3 z'); &math(K); 上の &math(n); 次元線形空間 &math(V); に２つの基底を取る として表せると言う意味。あるいはこれを満たす &math(x',y',z'); を見つけられるという意味。 &math( A=\set{\bm a_1,\bm a_2,\dots,\bm a_n}); &math( \bm x=\begin{pmatrix}\bigg.\bm b_1&\bm b_2&\bm b_3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix} =B\bm x'); &math( B=\set{\bm b_1,\bm b_2,\dots,\bm b_n}); と書き直すと、1. より &math(B); は正則行列であるから、どんな &math(\bm x); を与えられたとしても &math(\bm x'=B^{-1}\bm x); とすれば &math(\bm x'); を見つけられることが分かる。 これらの基底に対するベクトル &math(\bm x\in V); の表現 &math(\bm x_{ A}, \bm x_{ B}\in K^n); は、 すなわち、&math(\mathbb R^3); のベクトル &math(\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}); の、 基底 &math(\bm b_1,\bm b_2,\bm b_3); に対する数ベクトル表現は、 (1) &math( \bm x=\begin{pmatrix}\bm a_1&\bm a_2&\dots&\bm a_n\end{pmatrix}\bm x_{ A} ); &math(\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\bm b_1&\bm b_2&\bm b_3\end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}); (2) &math( \bm x=\begin{pmatrix}\bm b_1&\bm b_2&\dots&\bm b_n\end{pmatrix}\bm x_{ B} ); と書けることが分かる。 の関係を満たす。図に表わせば、 実は上記の議論は線形独立な任意の &math(\bm b_1,\bm b_2,\bm b_3); にあてはまる。 &attachref(基底の変換.png,,30%); ** 基底の変換行列 [#bebc4cfe] &math(\bm x_{ A}\to \bm x); および &math(\bm x\to \bm x_{ B}); はともに 線形写像（同型写像）となるから、その合成写像 &math(\bm x_{ A}\to \bm x_{ B}); も線形写像（同型写像）である。 &math(n); 次元線形空間 &math(V); に２つの基底を取る ** 数ベクトルの線形写像は行列のかけ算で表せる [#tbc1674c] &math(\widetilde A=\set{\bm a_1,\bm a_2,\dots,\bm a_n}); 一般に、数ベクトルから数ベクトルへの線形写像 &math(T:K^n\to K^m); は &math(m\times n); 行列のかけ算の形で表せる。 &math(\widetilde B=\set{\bm b_1,\bm b_2,\dots,\bm b_n}); なぜなら、 これらの基底に対するベクトル &math(\bm x\in V); の表現 &math(\bm x_{\widetilde A}, \bm x_{\widetilde B}\in K^n); は、 &math(\bm x=\sum_{i=1}^n x_i\bm e_i); (1) &math( \bm x\\ =\begin{pmatrix}\bm a_1&\bm a_2&\dots&\bm a_n\end{pmatrix}\bm x_{\widetilde A} ); とすると、&math(T); が線形写像であることから、 (2) &math( =\begin{pmatrix}\bm b_1&\bm b_2&\dots&\bm b_n\end{pmatrix}\bm x_{\widetilde B} &math( T\bm x&=T\Bigg(\sum_{i=1}^n x_i\bm e_i\Bigg)\\ &=\sum_{i=1}^n \hspace{3mm} x_i\hspace{-5mm}\underbrace{T\bm e_i}_{m次数ベクトル}\\ &=\underbrace{\Bigg( T\bm e_1\ T\bm e_2\ \dots\ T\bm e_n \Bigg)}_{m\times n行列} \bm x\\ &=A_T\bm x ); の関係を満たす。図に表わせば、 ** そこで、 [#u953e345] &attachref(基底の変換.png,,50%); ある &math(n); 次正方行列 &math(P_{ B\to A}); を用いて、 &math(\bm x_{\widetilde A}\to \bm x); および &math(\bm x\to \bm x_{\widetilde B}); はともに 線形写像となるから、その合成写像 &math(\bm x_{\widetilde A}\to \bm x_{\widetilde B}); も線形写像である。 (3) &math(\bm x_{ B}=P_{ B\to A}\bm x_{ A}); 線形代数I において &math(K^n\to K^n); の線形変換は &math(n\times n); 行列の積で表せることを学んだ。 すなわち、ある行列 &math(P_{\widetilde B\to \widetilde A}); を用いて、 (3) &math(\bm x_{\widetilde B}=P_{\widetilde B\to \widetilde A}\bm x_{\widetilde A}); と表せる。 このとき、&math(P_{\widetilde B\to \widetilde A}); を 基底 &math(\widetilde B); から 基底 &math(\widetilde A); への基底の変換行列と呼ぶ。 このとき、&math(P_{ B\to A}); を 基底 &math( B); から 基底 &math( A); への基底の変換行列と呼ぶ。 ** 変換の向き [#ma60dc7d] 「変換の向きは逆じゃないの？」というのは正しい感覚。 上記を良く読んで「変換の向きは逆じゃないの？」と思うのは正しい感覚。 どうしてこの向きかというと、 (2) に (3) を代入して、 &math( \bm x=\begin{pmatrix}\bm b_1&\bm b_2&\dots&\bm b_n\end{pmatrix}P_{\widetilde B\to \widetilde A}\bm x_{\widetilde A} &math( \bm x=\begin{pmatrix}\bm b_1&\bm b_2&\dots&\bm b_n\end{pmatrix}P_{ B\to A}\bm x_{ A} ); と (1) とを比べると、 (4) &math( \begin{pmatrix}\bm a_1&\bm a_2&\dots&\bm a_n\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}\bm b_1&\bm b_2&\dots&\bm b_n\end{pmatrix}P_{\widetilde B\to \widetilde A} \begin{pmatrix}\bm b_1&\bm b_2&\dots&\bm b_n\end{pmatrix}P_{ B\to A} ); となり、&math(\widetilde B); の基底ベクトルを並べて右から &math(P_{\widetilde B\to \widetilde A}); を掛けることで &math(\widetilde A); の基底ベクトルが得られる。 となり、&math(P_{ B\to A}); は基底 &math( B); を基底 &math( A); に変換する。 こう書けば変換の向きは正しく思えるはず。 数ベクトル表現を変換する (3) と、基底を変換する (4) とをしっかり区別して覚えよう。 ** 変換行列 $P_{\widetilde B\to \widetilde A}$ の具体的な形 [#d7adb478] ** 具体例 [#d7adb478] 変換行列の列ベクトルを次のように置けば、 上記の例であれば &math(P_{B\to A}=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}); と置いて、 &math(P_{\widetilde B\to \widetilde A}=\begin{pmatrix}\bm p_1&\bm p_2&\dots&\bm p_n\end{pmatrix}); &math( \Big(\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}\ \begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}\Big) &= \Big(\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}\ \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\Big) \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\\ &= \Big(a\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}+c\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\ \ b\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}+d\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\Big)\\ ); (4) より、 すなわち、 &math( \bm a_i= \begin{pmatrix}\bm b_1&\bm b_2&\dots&\bm b_n\end{pmatrix}\bm p_i &math( \begin{cases} \begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix} =a\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}+c\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix} =b\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}+d\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix} \end{cases} ); 一方、&math(\bm a_i); の &math(\widetilde B); に対する表現 &math(\bm a_{i\widetilde B}); は &math(a=1, c=-1, b=-1/2, d=2); &math( \bm a_i= \begin{pmatrix}\bm b_1&\bm b_2&\dots&\bm b_n\end{pmatrix}\bm a_{i\widetilde B} したがって、 &math(P_{B\to A}=\begin{pmatrix}1&-1/2\\-1&2\end{pmatrix}); 上の例で言えば、 &math(\bm x_B=P_{B\to A}\bm x_A); &math( \begin{pmatrix}1/2\\1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1&-1/2\\-1&2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix} ); であるから、 であり、確かに成り立っている。 &math(\bm p_i=\bm a_{i\widetilde B}); すなわち、 ** $P_{B\to A}$ の求め方 [#yf460a50] &math(P_{\widetilde B\to \widetilde A}=\begin{pmatrix}\bm a_{1\widetilde B}&\bm a_{2\widetilde B}&\dots&\bm a_{n\widetilde B}\end{pmatrix}); 基底 &math(A); の &math(k); 番目の基底ベクトル &math(\bm a_k); の &math(B); に対する表現 &math((\bm a_k)_B); を考えるとわかりやすい。 となる。 &math((\bm a_k)_A=\bm e_k); なので（ただし &math(\bm e_k); は &math(k); 番目の基本ベクトル）、 &math(P_{B\to A}=\Bigg(\,\bm p_1\ \bm p_2\ \cdots\ \bm p_n\,\Bigg)); と置けば、 &math((\bm a_k)_B=P_{B\to A}(\bm a_k)_A=P_{B\to A}\bm e_k=\bm p_k); したがって、 &math(P_{B\to A}=\Bigg((\bm a_1)_B\ (\bm a_2)_B\ \cdots\ (\bm a_n)_B\Bigg)); となって、&math(P_{B\to A}); は 基底 &math(A); の基底ベクトルの基底 &math(B); に対する表現を並べて作った行列となる。 上の例ならば、 &math({\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}\!}_B=\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}); &math({\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}\!}_B=\begin{pmatrix}1/2\\1\end{pmatrix}); となって、確かに正しい。 ** 正則性 [#p6b07f11] 当然、逆写像も線形写像であるから、 &math(\bm x_{\widetilde A}=P_{\widetilde A\to \widetilde B}\bm x_{\widetilde B}); &math(\bm x_{ A}=P_{ A\to B}\bm x_{ B}); であり、 &math(P_{\widetilde A\to \widetilde B}=P_{\widetilde B\to \widetilde A}^{-1}); &math(P_{ A\to B}=P_{ B\to A}^{-1}); の関係がある。すなわち、基底の変換行列は正則行列である。 * 例 [#cd58eba3] &math(\mathbb R^2); に、２つの基底を取る。 &math( \bm a_1=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}, \bm a_2=\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix} ); &math( \bm b_1=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}, \bm b_2=\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix} ); &math(\bm a_1,\bm a_2); を &math(\bm b_1,\bm b_2); で展開すれば、 &math(\bm a_1=\frac{1}{3}\bm b_1+\frac{1}{3}\bm b_2); → &math(\bm a_{1B}=\begin{pmatrix}1/3\\1/3\end{pmatrix}); &math(\bm a_2=-\bm b_1+\bm b_2); → &math(\bm a_{2B}=\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}); ２つの式をまとめると、 &math( \begin{pmatrix}\bm a_1&\bm a_2\end{pmatrix}&= \begin{pmatrix}\bm b_1&\bm b_2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1/3&-1\\1/3&1\end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix}\bm b_1&\bm b_2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\bm a_{1B}&\bm a_{2B}\end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix}\bm b_1&\bm b_2\end{pmatrix}P_{B\to A} ); この表式を用いて、 &math( \bm x&=\begin{pmatrix}\bm a_1&\bm a_2\end{pmatrix}\bm x_A\\ &=\begin{pmatrix}\bm b_1&\bm b_2\end{pmatrix}P_{B\to A}\bm x_A\\ &=\begin{pmatrix}\bm b_1&\bm b_2\end{pmatrix}\bm x_B\\ ); すなわち、 &math( \bm x_B=P_{B\to A}\bm x_A=\begin{pmatrix}1/3&-1\\1/3&1\end{pmatrix}\bm x_A ); * 演習 [#b5b7ccac] &math(P^2[x]); に２つの基底 ~ &math(A=\{1, x, x^2\}); と~ &math(B=\{1, 1+x, 1+x+x^2\}); を取る。 (1) &math(A); から &math(B); への変換行列 &math(P_{A\to B});、 &math(B); から &math(A); への変換行列 &math(P_{B\to A}); を求めよ。 (2) &math(\bm x_A=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}); に対応する &math(\bm x,\bm x_B); を求めよ。 (3) &math(\bm x_B=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}); に対応する &math(\bm x,\bm x_A); を求めよ。 ** 解答 [#c6ad9c4a] (1) &math( \Bigg( 1 \hspace{5mm} 1+x \hspace{5mm} 1+x+x^2 \Bigg) = \Bigg( 1 \hspace{5mm} x \hspace{5mm} x^2 \Bigg) \underbrace{ \begin{pmatrix} a&b&c\\d&e&f\\g&h&i \end{pmatrix} }_{P_{A\to B}} ); より、 &math(P_{A\to B}=\begin{pmatrix} 1&1&1\\ 0&1&1\\ 0&0&1\\ \end{pmatrix}); また、 &math( \Bigg( 1 \hspace{5mm} x \hspace{5mm} x^2 \Bigg) = \Bigg( 1 \hspace{5mm} 1+x \hspace{5mm} 1+x+x^2 \Bigg) \underbrace{ \begin{pmatrix} a&b&c\\d&e&f\\g&h&i \end{pmatrix} }_{P_{B\to A}} ); より、 &math(P_{B\to A}=\begin{pmatrix} 1&-1&0\\ 0&1&-1\\ 0&0&1\\ \end{pmatrix}); あるいは、&math( P_{B\to A}=P_{A\to B}^{-1} ); から求めても良い。 (2) &math( \bm x&= \Bigg( 1 \hspace{5mm} x \hspace{5mm} x^2 \Bigg)\bm x_A= 1+2x+3x^2 ); &math( \bm x_B&=P_{B\to A}\bm x_A\\ &=\begin{pmatrix} 1&-1&0\\ 0&1&-1\\ 0&0&1\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -1\\ -1\\ 3\\ \end{pmatrix} ); 検算： &math(\bm x&=\Bigg( 1 \hspace{5mm} 1+x \hspace{5mm} 1+x+x^2 \Bigg)\bm x_B =1+2x+3x^2 ); (3) &math(\bm x&= \Bigg( 1 \hspace{5mm} 1+x \hspace{5mm} 1+x+x^2 \Bigg)\bm x_B= 6+5x+3x^2 ); &math(\bm x_A&=P_{A\to B}\bm x_B\\ &=\begin{pmatrix} 1&1&1\\ 0&1&1\\ 0&0&1\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 6\\ 5\\ 3\\ \end{pmatrix} ); ~ [[前の単元 ＜＜＜>線形代数II/線形写像・像・核・階数]] [[線形代数II]] [[＞＞＞ 次の単元>線形代数II/線形写像の行列表現と階数]] * 質問・コメント [#ca406670] #article_kcaptcha **無題 [#kbc28954] >[[いつもお世話になっております]] (&timetag(2019-05-24T04:02:36+09:00, 2019-05-24 (金) 13:02:36);)~ ~ (3)~ 最後から2行目の数式~ \bm x_A &= P_{A \to B} \bm x_B \\~ かと。~ // - ありがとうございます、おっしゃるとおりでした。 -- [[武内（管理人）]] &new{2019-06-04 (火) 21:23:55}; #comment_kcaptcha **変換の向き [#m0e8fbfe] >[[南]] (&timetag(2018-12-25T08:39:52+09:00, 2018-12-25 (火) 17:39:52);)~ ~ 変換の向き、の節に書かれている~ “基底を変換する (3) と、数ベクトル表現を変換する (4) とをしっかり区別して覚えよう。”~ の式番号があべこべになっているかと思います。~ // - ご指摘ありがとうございます。その通りでしたので修正いたしました。 -- [[武内（管理人）]] &new{2018-12-25 (火) 17:54:06}; - 訂正していただき恐縮なのですが、まだあべこべになっているかと思います。初学者にとって誤解しやすい部分ですので、再度ご確認いただければ幸いです。 -- [[南]] &new{2019-01-11 (金) 13:51:01}; - どうもすみません。全然直っていませんでしたね・・・今回こそは直ったと思います。 -- [[武内（管理人）]] &new{2019-01-11 (金) 21:03:14}; #comment_kcaptcha **変換行列の具体的な形ー一般にはの部分 [#c5576967] >[[濱口数馬]] (&timetag(2015-11-15T09:47:44+09:00, 2015-11-15 (日) 18:47:44);)~ ~ 確認計算の2列目は、-1／2, 2では? // #comment_kcaptcha
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