線形代数II/抽象線形空間/性質 のバックアップ(No.1)

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線形代数Ⅱ/抽象線形空間?

群の公理からいくつか簡単な定理を導く

ゼロ元はただ1つだけ存在する

\bm 0,\bm 0' がどちらもゼロ元であったとすると、

&math( \bm 0&=\bm 0+\bm 0' & & (ゼロ元 \bm 0') \\

    &=\bm 0'+\bm 0 &        & (和の交換則)    \\
    &=\bm 0'       &        & (ゼロ元 \bm 0)

);

より、 \bm 0=\bm 0' が導かれる。

逆元はただ1つだけ存在する

\bm x の逆元が、 (-\bm x),(-\bm x)' の2つ存在したとすると、

&math( (-\bm x)&=(-\bm x)+\bm 0 && (ゼロ元) \\

       &=(-\bm x)+\{\bm x+(-\bm x)'\}   && (逆元 (-\bm x)') \\
       &=\{(-\bm x)+\bm x\}+(-\bm x)'   && (和の結合則)     \\
       &=\{\bm x+(-\bm x)\}+(-\bm x)'   && (和の交換則)     \\
       &=\bm 0+(-\bm x)'                && (逆元 (-\bm x))  \\
       &=(-\bm x)'+\bm 0                && (和の交換則)     \\
       &=(-\bm x)'                      && (ゼロ元)

);

引き算

\bm x,\bm y\in V について、 \bm y の逆元を (-\bm y) とするとき、

\bm x-\bm y\equiv \bm x+(-\bm y)

として、ベクトルの引き算を導入できる。

x-x=0

\bm x-\bm x=\bm x+(-\bm x)=\bm 0


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