線形代数II/抽象線形空間/性質 のバックアップソース(No.1)

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[[線形代数Ⅱ/抽象線形空間]]

* 群の公理からいくつか簡単な定理を導く [#dd385483]

** ゼロ元はただ1つだけ存在する [#j804864f]

&math(\bm 0,\bm 0'); がどちらもゼロ元であったとすると、

&math(
\bm 0&=\bm 0+\bm 0' &        & (ゼロ元 \bm 0') \\
     &=\bm 0'+\bm 0 &        & (和の交換則)    \\
     &=\bm 0'       &        & (ゼロ元 \bm 0)
);

より、&math(\bm 0=\bm 0'); が導かれる。

** 逆元はただ1つだけ存在する [#k19f92fe]

&math(\bm x); の逆元が、&math((-\bm x),(-\bm x)'); の2つ存在したとすると、

&math(
(-\bm x)&=(-\bm x)+\bm 0                 && (ゼロ元)         \\
        &=(-\bm x)+\{\bm x+(-\bm x)'\}   && (逆元 (-\bm x)') \\
        &=\{(-\bm x)+\bm x\}+(-\bm x)'   && (和の結合則)     \\
        &=\{\bm x+(-\bm x)\}+(-\bm x)'   && (和の交換則)     \\
        &=\bm 0+(-\bm x)'                && (逆元 (-\bm x))  \\
        &=(-\bm x)'+\bm 0                && (和の交換則)     \\
        &=(-\bm x)'                      && (ゼロ元)
);

** 引き算 [#ce28fbed]

&math(\bm x,\bm y\in V); について、&math(\bm y); の逆元を &math((-\bm y)); 
とするとき、

&math(\bm x-\bm y\equiv \bm x+(-\bm y));

として、ベクトルの引き算を導入できる。

** x-x=0 [#f412ef86]

&math(\bm x-\bm x=\bm x+(-\bm x)=\bm 0);

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