線形代数II/抽象線形空間/性質 のバックアップ(No.4)

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線形代数Ⅱ/抽象線形空間?

線形空間の公理から基本的な定理を導く

以下に示すようなほぼ自明に見える線形空間の性質を、 公理から導かれる定理として証明できる。

  • ゼロ元はただ1つだけ存在する
  • 逆元はただ1つだけ存在する
  • 引き算を定義できる
  • \bm x-\bm x=\bm 0
  • \bm a+\bm b=\bm a+\bm c → \bm b=\bm c
  • -\bm 0=\bm 0
  • -(-\bm x)=\bm x
  • (-\bm x)=(-1)\bm x
  • 0\bm x = \bm 0

線形空間の公理

&math( &\forall \bm x,\forall \bm y\in V, & \bm x+\bm y&=\bm y+\bm x &&\to ベクトル和に対する交換則 \\ &\forall \bm x,\forall \bm y,\forall \bm z\in V, & (\bm x+\bm y)+\bm z&=\bm x+(\bm y+\bm z) &&\to ベクトル和に対する結合則 \\ &\forall \bm x\in V,\exists\bm 0\in V, & \bm x+\bm 0&=\bm x &&\to ゼロ元の存在\\ &1\in K, \forall \bm x\in V, & 1\bm x&=\bm x &&\to 1倍\\ &\forall \bm x\in V,\exists (-\bm x)\in V, & \bm x+(-\bm x)&=\bm 0&&\to 逆元の存在\\ &\forall a,\forall b\in K, \forall \bm x\in V, & (a+b)\bm x&=a\bm x+b\bm x &&\to 分配則(1)\\ &\forall a\in K, \forall \bm x,\forall \bm y\in V, & a(\bm x+\bm y)&=a\bm x+a\bm y &&\to 分配則(2)\\ &\forall a,\forall b\in K,\forall \bm x\in V,&a(b\bm x)&=(ab)\bm x&&\to スカラー倍の結合則 );

ゼロ元はただ1つだけ存在する

\bm 0,\bm 0' がどちらもゼロ元であったとすると、

&math( \bm 0&=\bm 0+\bm 0' & & (ゼロ元 \bm 0') \\

    &=\bm 0'+\bm 0 &        & (和の交換則)    \\
    &=\bm 0'       &        & (ゼロ元 \bm 0)

);

逆元はただ1つだけ存在する

\bm x の逆元が、 (-\bm x),(-\bm x)' の2つ存在したとすると、

&math( (-\bm x)&=(-\bm x)+\bm 0 && (ゼロ元) \\

       &=(-\bm x)+\{\bm x+(-\bm x)'\}   && (逆元 (-\bm x)') \\
       &=\{(-\bm x)+\bm x\}+(-\bm x)'   && (和の結合則)     \\
       &=\{\bm x+(-\bm x)\}+(-\bm x)'   && (和の交換則)     \\
       &=\bm 0+(-\bm x)'                && (逆元 (-\bm x))  \\
       &=(-\bm x)'+\bm 0                && (和の交換則)     \\
       &=(-\bm x)'                      && (ゼロ元)

);

引き算

\bm x,\bm y\in V について、 \bm y の逆元を (-\bm y)\in V として、

\bm x-\bm y\equiv \bm x+(-\bm y)\in V

のようにベクトルの引き算を導入する。

当然、 V は引き算について閉じている。

$\bm x-\bm x=\bm 0$

&math( \bm x-\bm x&=\bm x+(-\bm x) && (引き算の定義)\\ &=\bm 0 &&(逆元) );

$\bm a+\bm b=\bm a+\bm c \to \bm b=\bm c$

\bm a+\bm b=\bm a+\bm c の時、両辺から \bm a を引くと、

&math( (左辺)-\bm a&=(\bm b+\bm a)-\bm a && (交換則)\\ &=\bm b+(\bm a-\bm a) && (結合則)\\ &=\bm b+\bm 0 && (引き算の性質) \\ &=\bm b && (ゼロ元) );

同様に (右辺)-\bm a=\bm c となって、

\bm b=\bm c を得る。

$-\bm 0=\bm 0$

&math( \begin{array}{lll} \bm 0+\bm 0=\bm 0 && ゼロ元の定義\\ \bm 0+(-\bm 0)=\bm 0 && 逆元の定義\\ \therefore \bm 0+\bm 0=\bm 0+(-\bm 0) && \\ \bm 0+\bm 0=(-\bm 0)+\bm 0 && 和の交換則\\ \bm0=-\bm 0 && \bm a+\bm b=\bm a+\bm c \to \bm b=\bm c \end{array} );

$-(-x)=x$

&math( &(-\bm x)+(-(-\bm x))=\bm 0 && 逆元の定義 \\ &(-\bm x)+(-(-\bm x))+\bm x=\bm 0+\bm x && 両辺に \bm x を加えた \\ &(-(-\bm x))+\bm x+(-\bm x)=\bm x+\bm 0 && 和の結合則、交換則 \\ &(-(-\bm x))+\bm 0=\bm x && 逆元の性質とゼロ元の性質 \\ &(-(-\bm x))=\bm x && ゼロ元の性質 \\ );

$(-x)=(-1)x$

&math( 2\bm x+(-\bm x)&=(1+1)\bm x+(-\bm x) && (2=1+1)\\ &=(1\bm x+1\bm x)+(-\bm x) && (分配則) \\ &=(1\bm x+\bm x)+(-\bm x) && (1倍) \\ &=1\bm x+\{\bm x+(-\bm x)\} && (結合則) \\ &=1\bm x+\bm 0 && (逆元) \\ &=1\bm x && (ゼロ元) \\ &=\{2+(-1)\}\bm x && (1=2+(-1)) \\ &=2\bm x+(-1)\bm x && (分配則) \\ );

\therefore (-\bm x) = (-1)\bm x

$0x = 0$

0\bm x=\{1+(-1)\}\bm x=\bm x+(-1)\bm x=\bm x+(-\bm x)=\bm 0

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