線形独立、基底及び次元 のバックアップの現在との差分(No.1)

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* 目次 [#rfb40a80]
#contents
&katex();

* 線形結合・一次独立・従属 [#n644d790]

線形代数I で学んだ 線形結合・一次独立・従属の概念を、
一般の線形空間について同じように考えることができる。
復習: &math(
\begin{pmatrix}1\\2\\3\\4\end{pmatrix},\ 
\begin{pmatrix}2\\2\\3\\4\end{pmatrix},\ 
\begin{pmatrix}1\\2\\3\\3\end{pmatrix}
); は一次独立か?

&math(\bm v_1,\bm v_2,\dots,\bm v_m\in V); の線形結合:~
&math(\sum_{i=1}^m c_i\bm v_i=c_1\bm v_1+c_2\bm v_2+\dots+c_m\bm v_m);
線形代数I で学んだ 線形結合・一次独立・従属の概念を一般の線形空間でも定義できる

&math(\bm v_1,\bm v_2,\dots,\bm v_m\in V); が「一次独立である」とは、
$\bm v_1,\bm v_2,\dots,\bm v_m\in V$ の線形結合とは:
>$\sum_{i=1}^m c_i\bm v_i=c_1\bm v_1+c_2\bm v_2+\dots+c_m\bm v_m$

>&math(\sum_{i=1}^m c_i\bm v_i=c_1\bm v_1+c_2\bm v_2+\dots+c_m\bm v_m=\bm 0); から &math(c_1=c_2=\dots=c_m=0); を導けること
$\bm v_1,\bm v_2,\dots,\bm v_m\in V$ が「一次独立である」とは:

&math(\bm v_1,\bm v_2,\dots,\bm v_m\in V); が一次独立では無いとき、一次従属と言う
>$\sum_{i=1}^m c_i\bm v_i=\bm 0$ から $c_1=c_2=\dots=c_m=0$ を導けること

問:実数を係数とする2次以下の &math(x); の多項式の集合について考える~
&math(x^2+3x-2, -x^2+2x, 3x^2); は線形独立か?
$c_1=c_2=\dots=c_m=0$ 以外でも成り立つなら「一次従属である」という

答:&math(a(x^2+3x-2)+b(-x^2+2x)+c(3x^2)=0); とすると、
&math((a-b+3c)x^2+(3a+2b)x+(-2a)=0);~
すなわち、&math(a-b+3c=0,3a+2b=0,-2a=0); となり、
これを満たす &math(a,b,c); は &math(\{a,b,c\}=\{0,0,0\}); しか存在しない。~
したがって、線形独立である
問:

* 張る空間・生成元・部分空間 [#p7f650df]
>実数を係数とする2次以下の $x$ の多項式からなる線形空間 $P^2[x]$ を考える~
>$x^2+3x-2,\ -x^2+2x,\ 3x^2$ は線形独立か?

&math(\bm v_1,\bm v_2,\dots,\bm v_m\in V); の張る空間とは、~
&math(V'=\set{v=\sum_{i=1}^m c_i\bm v_i}\in V|c_1,c_2,\dots,\c_m\in K); として定義され、~
&math(V'=\big<\bm v_1,\bm v_2,\dots,\bm v_m\big>); と表わされる。
答:

このような &math(V'); は和、スカラー倍に対して閉じており、線形空間となる。
>$a(x^2+3x-2)+b(-x^2+2x)+c(3x^2)=0$ とすると、
>$(a-b+3c)x^2+(3a+2b)x+(-2a)=0=0x^2+0x+0$
>
>ここに現れた等号は、「左辺の多項式と右辺の多項式が等しい」という意味であるから、
左辺と右辺とで、対応する次数にかかる係数がすべて等しくなければならない。
>
>すなわち、$a-b+3c=0,3a+2b=0,-2a=0$ となり、
これを満たす $a,b,c$ は $(a,b,c)=(0,0,0)$ しか存在しない。
>
>したがって、与えられた3つのベクトルは線形独立である

&math(\bm v_1,\bm v_2,\dots,\bm v_m\in V); を &math(V'); の生成元という。
演習:

一般に、&math(V'\subset V); が線形空間となるとき、&math(V'); は &math(V); の部分空間である、という。
>$P^2[x]$ において次のベクトルは線形独立か?
>
>[1] $2x^2+1,\ 2x-1,\ x^2+x$  
>[2] $x^2+x+1,\ x-4,\ x^2+2x$ 
>[3] $x+1,\ x-1$ 

多くの場合、~
-1つのベクトルで生成される空間は直線的である &math(V'=\{s\bm a|\bm a\in V,s\in K\});
-1つのベクトルで生成される空間は平面的である &math(V'=\{s\bm a+t\bm b|\bm a,\bm b\in V,s,t\in K\});
-1つのベクトルで生成される空間は空間的である &math(V'=\{s\bm a+t\bm b+\u\bm c|\bm a,\bm b,\bm c\in V,s,t,u\in K\});
この演習の答えは [[線形代数II/演習1]] にある。

ただし、&math(\bm a,\bm b,\bm c); が一次従属である場合にはその限りではない!
* 張る空間・生成元・部分空間 [#p7f650df]

&math(\big<\bm a,2\bm a\big>=\set{s\bm a+t(2\bm a)|s,t\in K}=\set{(s+2t)\bm a|s,t\in K}=\set{s\bm a|s\in K}=\big<\bm a\big>);
$\bm v_1,\bm v_2,\dots,\bm v_m\in V$ の「張る空間」は次のように定義され、
>$W\equiv\set{\bm v=\sum_{i=1}^m c_i\bm v_i| c_1,c_2,\dots,c_m\in K}$

* 基底・次元 [#t268fa3f]
$W=\big[\bm v_1,\bm v_2,\dots,\bm v_m\big]$ と書く。(< > で括る流儀もある)

一次独立な &math(\bm v_1,\bm v_2,\dots,\bm v_m\in V); が &math(V); を張るとき、
&math(\bm v_1,\bm v_2,\dots,\bm v_m\in V); は &math(V); の基底である、と言う。
これは 「$\bm v_1,\bm v_2,\dots,\bm v_m$ の一次結合で表せるベクトルの集合」 と同義である。

例:2次以下の &math(x); の多項式の集合を &math(V); とするとき、
&math(\bm b_1=x,\bm b_2= 3x^2+1,\bm b_3=\bm 2\in V); は &math(V); を張り、
また、一次独立であるから、&math(V); の基底となる
このような $W$ は和、スカラー倍に対して閉じており、それ自身も線形空間となる。~
すなわち $W$ は $V$ の部分空間を為す。

ある空間 &math(V); について基底の取り方には任意性があるが、
どのように基底を取ったとしても、同じ空間の基底を構成するベクトルの数は等しくなることを後に証明する。
>$\bm v_1 = \sum_{i=1}^m c_{1i}\bm v_i\in W$、$\bm v_2 = \sum_{i=1}^m c_{2i}\bm v_i\in W$ のとき、
>$k\bm v_1 = \sum_{i=1}^m (kc_{1i})\bm v_i\in W$、$(\bm v_1+\bm v_2) = \sum_{i=1}^m (c_{1i}+c_{2i})\bm v_i\in W$

基底を構成するベクトルの数を線形空間の次元と呼ぶ。
$\bm v_1,\bm v_2,\dots,\bm v_m\in W\subset V$ を $W$ の「生成元」という。

* 同型な線形空間 [#hb28464c]
例:

|実数を係数とする3次以下の &math(x); の多項式|3次実数ベクトル|
|&math(V=\set{ax^3+bx+c\|a,b,c\in \mathbb R}); |&math(\mathbb R^3=\set{(a,b,c)\|a,b,c\in \mathbb R});|
|&math((a_1x^3+b_1x+c_1)+(a_2x^3+b_2x+c_2)\\=(a_1+a_2)x^3+(b_1+b_2)x+(c_1+c_2));|&math((a_1,b_1,c_1)+(a_2,b_2,c_2)=(a_1+a_2,b_1+b_2,c_1+c_2));|
|&math(k(ax^3+bx+c)=(ka)x^3+(kb)x+(kc));|&math(k(a,b,c)=(ka,kb,kc));|
$$
\begin{aligned}
W_1&=\big[\,(1,1,-1)\,\big]\hspace{3cm}\leftarrow\mathrm{(1,1,-1)により張られる空間}\\
&\equiv\big\{\,a(1,1,-1)\in\mathbb R^3\,|\,a\in\mathbb R\big\}
\hspace{4.3mm}\leftarrow\mathrm{その定義}\\
\end{aligned}
$$

すごく似ている。
とするとき、$(2,2,-2),\,(-5,-5,5)\in W_1$ であるが、$(2,2,2)\notin W_1$

こういう時、&math(V); と &math(\mathbb R^3); は「同型である」、と言う。
$$
W_1=\big[\,(1,1,-1)\,\big]=\big[\,(2,2,-2)\,\big]
$$

以下で同型を定義する。
であることもすぐに分かるが、さらには

** 写像 [#h358e130]
$$
\begin{aligned}
W_1&=\big[\,(1,1,-1),(2,2,-2)\,\big]\\
&\equiv\big\{\,a(1,1,-1)+b(2,2,-2)\in\mathbb R^3\,|\,a,b\in\mathbb R\big\}
\end{aligned}
$$

&math(T); は線形空間 &math(V); から &math(V'); への写像であるとする。~
すなわち &math(T); は、任意の &math(\bm v\in(V)); に対して、ただ1つの &math(\bm v'\in V'); を &math(\bm v'=T(\bm v)); として定める。
となることにも注意せよ。一方、

** 線形写像 [#ibeddaa7]
$$
W_1\neq W_2=\big[\,(1,1,-1),(2,2,2)\,\big]
$$

&math(T); が次の2つの条件を満たすとき、&math(T); は線形である、と言う。
- &math(T(\bm x+\bm y)=T(\bm x)+T(\bm y));
- &math(T(c\bm x)=cT(\bm x));
である。実際、$W_1\subset W_2$ であるが $W_2\not\subset W_1$ である。

ここで、
左辺の和やスカラー倍が &math(V); で定義された演算であるのに対して、~
右辺の和やスカラー倍は &math(V'); で定義された演算であることに注意せよ。
----

(すなわち &math(V); と &math(V'); は同じスカラーの上に定義されている)
多くの場合、~
-1つのベクトルにより張られる空間 $W_1=\big[\bm a\big]$ は直線的である~
    ←→ 直線の方程式 $\set{\bm p=s\bm a|s\in \mathbb R}$
-2つのベクトルにより張られる空間 $W_2=\big[\bm a,\bm b\big]$ は平面的である~
    ←→ 平面の方程式 $\set{\bm p=s\bm a+t\bm b|s,t\in \mathbb R}$ 
-3つのベクトルにより張られる空間 $W_3=\big[\bm a,\bm b, \bm c\big]$ は空間的である~
    ←→ 空間の方程式 $\set{\bm p=s\bm a+t\bm b+u\bm c|s,t,u\in \mathbb R}$ 

上の例で言えば、
ただし %%%$\bm a,\bm b,\bm c$ が一次従属だと、その限りではない!%%%

&math(T(ax^2+bx+c)=(a,b,c)); は &math(V\rightarrow\mathbb R^3); の線形写像である。
線形空間の次元を考えるには、空間を張るベクトルの数に加えて、
それらが一次独立であることが重要。

*** 練習 [#j3e80a73]
* 4-2 基底・次元 [#t268fa3f]

問:&math(T); が線形写像であれば、&math(T(\bm 0)=\bm 0); となることを示せ。
$\bm v_1,\bm v_2,\dots,\bm v_m\in V$ が $V$ の生成元で、%%%なおかつ一次独立である%%%とき、~
$\bm v_1,\bm v_2,\dots,\bm v_m\in V$ は $V$ の「基底」である、という。

答:&math(T(\bm 0)=T(0\bm 0)=0T(\bm 0)=\bm 0);
基底を構成するベクトルの数を線形空間の「次元」と呼ぶ。

** 1対1写像(単写) [#f9291c06]
基底の例:
- $\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\in \mathbb R^2$
- $\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\in \mathbb R^2$
- $x^2+3x-2,\ -x^2+2x,\ 3x^2\in P^2[x]$

&math(T(ax^2+bx+c)=(a,b,0)); も &math(V\rightarrow\mathbb R^3); の線形写像である、
が、&math(T(ax^2+bx+c)=T(ax^2+bx+c')=(a,b,0)); となる。
ある空間 $V$ について、基底の取り方には任意性があるが、
「次元」は一意に決まる。

このように、一般の写像では異なるベクトルが同じ値に移される場合がある。
このことは、

&math(\bm x\ne \bm y); であれば必ず &math(T(\bm x)\ne T(\bm y)); であるとき、
&math(T); は1対1写像である、あるいは、単写である、と言う。
- $n$ 個のベクトルにより張られる空間から、$n$ を越える個数の線形独立なベクトルを取り出せない

&attachref(写像.png,,50%);
ことから導かれるが、この証明は省略する。 → [[(この証明)>線形代数II/線形独立、基底及び次元/次元の一意性]]

1対1という言葉の意味:1対nはそもそも写像にならない。n対1になっていないことを示している。
*** 演習: [#y0a3eb13]

** 上への写像(全写) [#u804c5ca]
(1) $V=\set{\bm x=(x,y,z)\in \mathbb R^3 | x+y+2z=0}$ は
$\mathbb R^3$ の部分空間となる。$V$ の基底を1つ定めよ。

任意の &math(v'\in V'); に対して、そこに移ってくる &math(V); の元を見つけられる時、
上への写像、あるいは、全写であるという。
(2) 「複素数の集合 $\mathbb C$」を「実数 $\mathbb R$上の線形空間」と考えて、基底を1つ定めよ。

例えば、&math(T(ax^2+bx+c)=(a,b,c)); は &math(V\rightarrow\mathbb R^3); への全写であるが、~
&math(T(ax^2+bx+c)=(0,a,b,c)); は &math(V\rightarrow\mathbb R^4); への全写ではない。
* 列ベクトル表示(数ベクトル表現) [#b391d31c]

「上へ」というのは、&math(T); により &math(V); 全体を移したときにできる「像」
(しばしば &math(T(V)=\set{T(\bm v)\in V'|\bm v\in V}); と書かれる) が、
&math(V'); の真上に、全体を覆い尽くすように被さるため。
** 準備 [#rca6d364]

&attachref(上への写像.png,,50%);
定理:

** 上への1対1写像(全単写) [#x5e3aeb2]
$\bm v_1,\bm v_2,\dots,\bm v_n\in V$ を $V$ の基底とすれば、
$\forall \bm x\in V$ はこれらの一次結合として一意に表される。

単写かつ全写であることを言う。
証明:

このときに限り、「逆写像 &math(T^{-1});」が定義できる。
基底は $V$ を張るから、$\bm x$ を基底の一次結合として表せることは証明不要。

- 1対1でないと、ある &math(v'\in V'); に複数の &math(v\in V); が対応してしまう
- 上への写像でないと、ある &math(v'\in V'); に対応する &math(v\in V); が存在しない場合がある
その表し方が「一意に決まること」を証明する。

*** 練習 [#cdc16e96]
もし、

問:逆写像 &math(T^{-1}); は線形写像であることを示せ
$$
\bm x=\sum x_i\bm v_i=\sum x_i'\bm v_i
$$

答:
&math(\bm X=T(\bm x), \bm Y=T(\bm Y)); とすると、
&math(\bm x=T^{-1}(\bm X),\bm y=T^{-1}(\bm Y));
であれば、これを変形して、

一方、
$$
\sum (x_i-x_i')\bm v_i=\bm 0
$$

&math(T(\bm x+\bm y)=T(\bm x)+T(\bm y)=X+Y); 
基底の線形独立性から、

の両辺に &math(T^{-1}); を作用させると
$$
x_1-x_1'=x_2-x_2'=\dots=x_n-x_n'=0
$$

&math(\bm x+\bm y=T^{-1}(X)+T^{-1}(Y)=T^{-1}(X+Y)); 
として一意性が示される。

また、
** 数ベクトル空間との1対1対応 [#k774687f]

&math(T(k\bm x)=kT(\bm x)=kX); 
上記の線形結合を、行列のかけ算と同様の表示を使って

の両辺に &math(T^{-1}); を作用させると
$$
\bm x=\Big(\bm v_1\ \bm v_2\ \dots\ \bm v_n\Big)
\underbrace{\begin{pmatrix}
x_1\\ x_2\\\vdots\\x_n
\end{pmatrix}}_{\bm x'}=\Big(\bm v_1\ \bm v_2\ \dots\ \bm v_n\Big)\bm x'
$$

&math(k\bm x=kT^{-1}(X)=T^{-1}(kX)); 
の形に書けば、

となって、 &math(T^{-1}); が線形であることが示された。
$\forall \bm x\in V$ に対して、対応する $n$ 次元列ベクトル
$\bm x'=\begin{pmatrix}x_1\\ x_2\\\vdots\\x_n\end{pmatrix} \in \mathbb R^n$
が1つ決まることになる。

** 同型 [#j11499b9]
逆に、$\forall \bm x'\in \mathbb R^n$ に対して、
$\bm x=\big(\bm v_1\ \bm v_2\ \dots\ \bm v_n\big)\bm x' \in V$ が1つ決まるから、

&math(V); と &math(V'); との間に上への1対1写像 &math(T); が存在する時、
&math(V); と &math(V'); は同型であるといい、~
&math(V\simeq V'); と書く。
線形空間 $V$ の元1つ1つと $\mathbb R^n$ の元1つ1つとの間に
1対1の対応が付くことになる。

またこのとき、&math(T); を同型写像と呼ぶ。
$\bm x'$ を、基底 $\bm v_1,\bm v_2,\dots,\bm v_n$ に対する 
$\bm x$ の「列ベクトル表示」という。~
(列ベクトル表示は基底の取り方に依存することに注意せよ)

これは上で述べた2つの写像が「似ている」ことを数学的に表わした物。~
同型写像によって、2つの空間はすべて1対1に対応することになる。
この対応関係は ベクトル和 や スカラー倍 に対しても保存されることから、
すべての $K$ 上の $n$ 次元線形空間 $V$ は、
同じ次元を持つ数ベクトル空間 $K^n$ と強い類似性を持つことが分かる。

&math(T(ax^2+bx+c)=(a,c,b)); とか、~
&math(T(ax^2+bx+c)=(a+b,a-b,c)); とかも同型写像になる。
同型である2つの線形空間の間の同型写像は一意には決まらないことに注意が必要。
こういう時、$V$ と $K^n$ は「同型である」、と言う。

線形空間の「同型」は同値関係の公理を満たす。すなわち、
以下で同型を厳密に定義する。

+ &math(V\simeq V);   : 反射律
+ &math(V\simeq V'\to V'\simeq V); : 対称律
+ &math(V\simeq V' \wedge V'\simeq V''\to V\simeq V''); : 推移律
例:

同型の線形空間は構造が似ているため、一方を調べればもう一方のことが分かる。~
特に、&math(\mathbb R^n); への同型が分かればほぼすべて分かったも同然!となる。
実数を係数とする2次以下の $x$ の多項式からなる線形空間

** 例 [#f06ed7b5]
$$
P^2[x]=\{ax^2+bx+c|a,b,c\in \mathbb R\}
$$

&math(V\to V'); の同型写像を &math(T(\bm x)); とする。
に、基底 $\bm e_1=x^2-1,\bm e_2=x+1,\bm e_3=1$ を取る。

&math(\bm a, \bm b, \bm c\in V); が線形独立であれば、~
&math(T(\bm a), T(\bm b), T(\bm c\)in V'); も線形独立である。~
任意の $\bm x=ax^2+bx+c\in P^2[x]$ に対して、

対偶を証明する。
$\bm x'=\begin{pmatrix}a\\b\\a-b+c\end{pmatrix}$ と取れば、
$\bm x=\begin{pmatrix}\bm e_1&\bm e_2&\bm e_3\end{pmatrix}\bm x'$ が成り立ち、

もし &math(T(\bm a), T(\bm b), T(\bm c\)in V'); が線形従属であれば、
すべてがゼロではない3つのスカラー &math(\alpha,\beta,\gamma); に対して
基底 $\{\bm e_i\}$ に対する $\bm x$ の数ベクトル表現 $\bm x'\in \mathbb R^3$ がただ一つ求まることになる。

&math(\alpha T(\bm a)+\beta T(\bm b)+\gamma T(\bm c\)=\bm 0);
逆に、任意の $\bm x'=\begin{pmatrix}a'\\b'\\c'\end{pmatrix}\in \mathbb R^3$ に対して、

が成立する。&math(T); は線形なので、
$$
\bm x=ax^2+bx+(-a+b+c)\in P^2[x]
$$

&math((左辺)=T(\alpha \bm a+\beta \bm b+\gamma bm c\)=\bm 0);
が求まる。

ここで、
$\bm x=ax^2+bx+c\in P^2[x]$, $\bm y=a'x^2+b'x+c'\in P^2[x]$ の数ベクトル表現は

$\bm x'=\begin{pmatrix}a\\b\\a-b+c\end{pmatrix}$,
$\bm y'=\begin{pmatrix}a'\\b'\\a'-b'+c'\end{pmatrix}$

&math(\therefore T^{-1}(\bm 0)=\bm 0);
なので、

- $k\bm x$ のベクトル表現が $k\bm x'$ となること、
- $\bm x+\bm y$ のベクトル表現が $\bm x'+\bm y'$ となること、

を、容易に確認できる。

* 4-2 線形独立、基底及び次元 [#mceb0c53]
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あるベクトル &math(\bm v\in V); をベクトル &math(a_1,a_2,\dots,a_l); 
の一次結合で表せる場合と、表せない場合がある。
* 質問・コメント [#jf7db8ee]

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