解析力学/ポアソン括弧式 のバックアップ(No.1)

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ポアソン括弧式

位置と運動量で表される任意の物理量 $F(q_1,q_2,\dots,q_n,p_1,p_2,\dots,p_n,t)$ について、

$$ \begin{aligned} \dot F &=\sum_{i=1}^n \Big[\frac{\partial F}{\partial q_i}\dot q_i+\frac{\partial F}{\partial p_i}\dot p_i\Big]+\frac{\partial F}{\partial t}\\ &=\sum_{i=1}^n \Big[\frac{\partial F}{\partial q_i}\frac{\partial H}{\partial p_i}-\frac{\partial F}{\partial p_i}\frac{\partial H}{\partial q_i}\Big]+\frac{\partial F}{\partial t}\\ \end{aligned} $$

が成り立つ。そこで、

$$ \sum_{i=1}^n \Big[\frac{\partial F}{\partial q_i}\frac{\partial H}{\partial p_i}-\frac{\partial F}{\partial p_i}\frac{\partial H}{\partial q_i}\Big]=\big\{F,H\big\} $$

と書き、この演算をポアソン括弧式と呼ぶ。

ポアソン括弧式を用いれば、

$$ \begin{aligned} \dot F=\big\{F,H\big\}+\frac{\partial F}{\partial t} \end{aligned} $$

と書ける。

保存量

ある物理量 $F$ が陽に時間に依存しておらず、$\frac{\partial F}{\partial t}=0$ なおかつ $\big\{F,H\big\}=0$ を満たせば、その $F$ は運動の保存量である。

特に、$\big\{H,H\big\}=0$ は常に真であるから、$\frac{\partial H}{\partial t}=0$ であるとき $H$ は保存量である。

ポアソン括弧式の共変性

正準変換の前後で正準方程式が成り立っていることからすぐに導かれる。

$$ \begin{aligned} \dot F &=\big\{F,H\big\}_{q,p}+\frac{\partial F}{\partial t}\\ &=\big\{F,H'\big\}_{Q,P}+\frac{\partial F}{\partial t}\\ \end{aligned} $$

正準方程式をポアソン括弧式で書く

$$ \dot q_i=\big\{q_i,H\big\} $$ $$ \dot p_i=\big\{p_i,H\big\} $$

はそれぞれ、

$$ \dot q_i=\sum_{j=1}^n \Big[\underbrace{\frac{\partial q_i}{\partial q_j}}_{\delta_{ij}}\frac{\partial H}{\partial p_j}-\cancel\frac{\partial q_i}{\partial p_j}\frac{\partial H}{\partial q_j}\Big]=\frac{\partial H}{\partial p_i} $$ $$ \dot p_i=\sum_{j=1}^n \Big[\cancel\frac{\partial p_i}{\partial q_j}\frac{\partial H}{\partial p_j}-\underbrace{\frac{\partial p_i}{\partial p_j}}_{\delta_{ij}}\frac{\partial H}{\partial q_j}\Big]=-\frac{\partial H}{\partial q_i} $$

のように、正準方程式と同値になる。

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