ベリー位相・ベリー接続・ベリー曲率 のバックアップ(No.8)

更新


量子力学Ⅰ

目次

Berry 位相・Berry 接続・Berry 曲率

このページは バンド理論の勉強 の元になった 2020年の若林先生の授業内容を元に書いたものですが、私の理解が足りない部分につて後から勉強しなおした結果、内容は大幅に再構成されています。そのため内容には誤りが多いかもしれません。ご容赦ください。

一次摂動に関しては EMANの物理学・量子力学・摂動論 が大変参考になりました。

波動関数の位相とパラメータ依存性

一般に固有値問題を解いて得られる固有ベクトルにはその係数が自由パラメータとして残る。 だからシュレーディンガー方程式を解いて得られた波動関数に任意の複素数をかけてもシュレーディンガー方程式の解となる。

ただし量子力学では固有関数を規格化するため、この条件から係数の絶対値が決まる。 そして位相だけが自由に選べる。一方、観測可能な物理量は波動関数の位相の選び方によらないことが知られている。

特に、LCOA 近似の上では波数 $\bm k$ を含むハミルトニアンを解いて得られる 異なるパラメータ $\bm k$ に対する解ごとに好き放題に位相を選んだとしても何ら問題ない。

そのように任意に取られた位相を持つ波動関数から、位相に影響されない物理量が出てくるあたりの話について議論するのが以下の話なんじゃないかな(急に弱気)。

何らかの方法で固有値と固有関数、特に波動関数の位相までをパラメータに依存する形で定めたものを次のように書こう。

$$ \hat H(\bm q)\,|\psi_{\bm q}^{(n)}\rangle=\varepsilon_{\bm q}^{(n)}\,|\psi_{\bm q}^{(n)}\rangle $$

$(n)$ は $n$ 番目のバンド、つまり小さいほうから $n$ 番目の固有値であることを表す。

上で述べたのは、これにパラメータ $\bm q$ ごとに適当な位相 $\varphi(\bm q)$ を掛けて、

$$ |\tilde\psi_{\bm q}^{(n)}\rangle=e^{-i\varphi(\bm q)}|\psi_{\bm q}^{(n)}\rangle $$

のように決めた $|\tilde\psi_{\bm q}^{(n)}\rangle$ も、$|\psi_{\bm q}^{(n)}\rangle$ と同様に正しい波動関数である、ということだ。

一次摂動のおさらい

基本的に普通の摂動論なのだけれど、通常まるっきり重要視されない 摂動後の波動関数の、元の波動関数と同じ成分の位相変化 に注目したいのでさらっと目を通してほしい。

ハミルトニアンに小さな摂動項が追加された時に固有値及び固有関数がどのように変化するかを考える。

$$ \hat H\to\hat H+\delta\hat H $$

$\hat H$ の $n$ 番目の固有値を $\varepsilon^{(n)}$、固有関数を $|\psi^{(n)}\rangle$ と書くことにして、

$$ (\hat H+\delta\hat H)(|\psi^{(n)}\rangle+|\delta\psi^{(n)}\rangle)= (\varepsilon^{(n)}+\delta\varepsilon^{(n)}) (|\psi^{(n)}\rangle+|\delta\psi^{(n)}\rangle) $$

二次の微少量を無視すると $\hat H|\psi^{(n)}\rangle=\varepsilon^{(n)}|\psi^{(n)}\rangle$ に注意して、

$$ \hat H|\delta\psi^{(n)}\rangle+\delta\hat H|\delta\psi^{(n)}\rangle= \varepsilon^{(n)}|\delta\psi^{(n)}\rangle+\delta\varepsilon^{(n)}|\psi^{(n)}\rangle $$

$\langle\psi^{(n')}|$ をかけると、 $\langle\psi^{(n')}|\hat H=\langle\psi^{(n')}|\varepsilon^{(n')}$ に注意して、

$$ \varepsilon^{(n')}\langle\psi^{(n')}|\delta\psi^{(n)}\rangle+ \underbrace{\langle\psi^{(n')}|\delta\hat H|\psi^{(n)}\rangle}_{\delta H_{n'n}}= \varepsilon^{(n)}\langle\psi^{(n')}|\delta\psi^{(n)}\rangle+\delta\varepsilon^{(n)}\underbrace{\langle\psi^{(n')}|\psi^{(n)}\rangle}_{\delta_{n'n}} $$

この式は $n'=n$ では、

$$ \delta\varepsilon^{(n)}=\delta H_{nn} $$

$n'\ne n$ では、

$$ \langle\psi^{(n')}|\delta\psi^{(n)}\rangle=\frac{-\delta H_{n'n}}{\varepsilon^{(n')}-\varepsilon^{(n)}} $$

を表す。したがって、

$$ |\delta\psi^{(n)}\rangle=\langle\psi^{(n)}|\delta\psi^{(n)}\rangle\cdot|\psi^{(n)}\rangle+\sum_{n'\ne n}\frac{-\delta H_{n'n}}{\varepsilon^{(n')}-\varepsilon^{(n)}}\cdot|\psi^{(n')}\rangle $$

と表せることになる。右辺第1項は、$|\delta\psi^{(n)}\rangle$ の $|\psi^{(n)}\rangle$ 成分がまだ求まっていないため形式的にこう書いただけであまり意味がない表記になっている。

ここではこの係数 $\langle\psi^{(n)}|\delta\psi^{(n)}\rangle$ が必ず純虚数になることを指摘しておく。

というのも、あるベクトル $\bm v$ がそのノルムを変えずに $\bm v+\delta\bm v$ になったとすると、2次の微少量を無視して

$$ \begin{aligned} &\|\bm v\|^2=\|\bm v+\delta\bm v\|^2=\\ &\|\bm v\|^2+\text{Re}\,(\bm v,\delta\bm v)+\cancel{\|\delta\bm v\|^2} \end{aligned} $$

が成り立たなければならないから、$\text{Re}\,(\bm v,\delta\bm v)=0$ すなわち $\delta\bm v$ の $\bm v$ 成分は純虚数でなければならないのだ。

そこで $-i\langle\psi^{(n)}|\delta\psi^{(n)}\rangle=\delta A$ と書くと、一次近似の範囲で

$$ \begin{aligned} |\psi^{(n)}\rangle+|\delta\psi^{(n)}\rangle &=(1+i\delta A)\cdot|\psi^{(n)}\rangle+\sum_{n'\ne n}\frac{-\delta H_{n'n}}{\varepsilon^{(n')}-\varepsilon^{(n)}}\cdot|\psi^{(n')}\rangle\\ &=e^{i\delta A}\cdot|\psi^{(n)}\rangle+\sum_{n'\ne n}\frac{-\delta H_{n'n}}{\varepsilon^{(n')}-\varepsilon^{(n)}}\cdot|\psi^{(n')}\rangle\\ \end{aligned} $$

となる。

すなわち摂動項の導入による $|\psi^{(n)}\rangle$ 成分の変化は位相の回転として表せる。

Adiabatic dynamics (断熱的運動)と Berry 接続

https://www.sci.hokudai.ac.jp/~ishikawa/ryoushirikigaku4.pdf#page=227 を参考にしながら、気になる部分を直しながら)

ハミルトニアンがゆっくりと時間変化するパラメータ $\bm q(t)$ を含んでいるとする。

$$ i\hbar\frac{\partial}{\partial t}|\psi\rangle=\hat H(\bm q(t))|\psi\rangle $$

十分にゆっくりなため、各時刻ごとに固有値問題が解けて、

$$ \hat H(\bm q(t))\,|u^{(n)}_{\bm q(t)}\rangle=\varepsilon^{(n)}_{\bm q(t)}\,|u^{(n)}_{\bm q(t)}\rangle $$

を満たすものとする(ここが断熱近似)。

これらの正規直交固有関数は時刻 $t$ の近辺で

$$ |u^{(n)}_{\bm q(t)}(t+\delta t)\rangle= e^{-i\varepsilon^{(n)}_{\bm q(t)}(t+\delta t)/\hbar}|u^{(n)}_{\bm q(t)}\rangle= e^{-i\varepsilon^{(n)}_{\bm q(t)}\delta t/\hbar}|u^{(n)}_{\bm q(t)}(t)\rangle $$

のように時間発展するため、この固有関数を使って時間変化する任意の波動関数を

$$ |\psi(t)\rangle=\sum_nc^{(n)}(t)e^{-i\int^t \varepsilon^{(n)}_{\bm q(t')}dt'/\hbar}\,|u^{(n)}_{\bm q(t)}\rangle $$

と展開した時の $c^{(n)}(t)$ の変化を求めたい。シュレーディンガー方程式に代入し、

$$ \begin{aligned} i\hbar\frac{\partial}{\partial t}|\psi(t)\rangle=i\hbar\sum_n\Big[ &\dot c^{(n)}(t)e^{-i\int^t \varepsilon^{(n)}_{\bm q(t')}dt'/\hbar}\,|u^{(n)}_{\bm q(t)}\rangle\\ &+\cancel{(1/i\hbar)c^{(n)}(t)\varepsilon^{(n)}_{\bm q(t)}e^{-i\int^t \varepsilon^{(n)}_{\bm q(t')}dt'/\hbar}\,|u^{(n)}_{\bm q(t)}\rangle}\\ &+c^{(n)}(t)e^{-i\int^t \varepsilon^{(n)}_{\bm q(t')}dt'/\hbar}\,\bm\nabla_{\bm q(t)}|u^{(n)}_{\bm q(t)}\rangle\cdot \dot \bm q(t)\\ &\hspace{-15mm}=\sum_n\cancel{c^{(n)}(t)\varepsilon^{(n)}_{\bm q(t')}e^{-i\int^t \varepsilon^{(n)}_{\bm q(t')}dt'/\hbar}\,|u^{(n)}_{\bm q(t)}\rangle} \end{aligned} $$

$\langle u^{(n)}_{\bm q(t)}|$ をかけ $i\hbar e^{-i\int^t \varepsilon^{(n)}_{\bm q(t')}dt'/\hbar}$ で割ると、

$$ \begin{aligned} &\dot c^{(n)}(t)=-\sum_{n'}c^{(n')}(t)e^{-i\int^t (\varepsilon^{(n')}_{\bm q(t')}-\varepsilon^{(n)}_{\bm q(t')})dt'/\hbar}\, \langle u^{(n)}_{\bm q(t)}|\underbrace{\bm\nabla_{\bm q(t)}|u^{(n')}_{\bm q(t)}\rangle\cdot d\bm q(t)}_{\text{この部分}}/dt \end{aligned} $$

を得る。「この部分」はハミルトニアン中のパラメータ $\bm q$ が微少量 $d\bm q$ だけ変化したときの波動関数 $|u^{(n')}_{\bm q(t)}\rangle$ の変化であるから摂動を使ってこれを評価できて、

$$ \bm\nabla_{\bm q}|\psi_{\bm q}^{(n)}\rangle\cdot d\bm q(t)= \underbrace{\langle\psi_{\bm q}^{(n)}|\bm\nabla_{\bm q}|\psi_{\bm q}^{(n)}\rangle}_{=\,i\bm A}\cdot d\bm q(t)\ |\psi_{\bm q}^{(n)}\rangle+ \sum_{n'\ne n}- \frac{\langle\psi_{\bm q}^{(n')}| \bm\nabla_{\bm q}\hat H(\bm q)\, |\psi_{\bm q}^{(n)}\rangle\cdot d\bm q(t)}{\varepsilon_{\bm q}^{(n')}-\varepsilon_{\bm q}^{(n)}}\ |\psi_{\bm q}^{(n')}\rangle $$

と書ける。ここで、上の摂動論のおさらいでやったように

$$ \bm A=-i\langle\psi_{\bm q}^{(n)}|\bm\nabla_{\bm q}|\psi_{\bm q}^{(n)}\rangle $$

は実ベクトルとなり、これが「Berry 接続」と呼ばれる。

得られた形を上記の式へ代入すると、

$$ \begin{aligned} \dot c^{(n)}(t) =&c^{(n)}(t)\, i\bm A^{(n)}_{\bm q(t)}\cdot \dot \bm q(t)\\ &+\sum_{n'\ne n}c^{(n')}(t)e^{-i\int^t (\varepsilon^{(n')}_{\bm q(t')}-\varepsilon^{(n)}_{\bm q(t')})dt'/\hbar}\, \frac{\langle u^{(n)}_{\bm q(t)}|\bm\nabla_{\bm q(t)}\hat H(\bm q(t))|u^{(n')}_{\bm q(t)}\rangle}{\varepsilon_{\bm q}^{(n)}-\varepsilon_{\bm q}^{(n')}}\cdot \dot \bm q(t) \end{aligned} $$

を得る。右辺第1項は $n$ 番目の準位にいた電子がそのまま $n$ 番目に居続けるときの位相の変化を表しており、第2項以降は他の準位から $n$ 番目の準位に遷移してくる確率と、その位相を表している。

Berry 位相

もし準位間遷移がないと仮定すると1項目だけ考えれば良く、このとき

$$ \frac{\dot c^{(n)}(t)}{c^{(n)}(t)} =\,i\bm A^{(n)}_{\bm q(t)}\cdot \dot \bm q(t) $$

両辺積分すれば、

$$ c^{(n)}(t)=c^{(n)}(t_0)\,e^{i\int_{t_0}^t \bm A^{(n)}_{\bm q(t)}\cdot \dot\bm q(t)dt} $$

ここで出てくる、ある $\bm q_1$ から $\bm q_2$ へのある決まった経路に沿った積分

$$ \begin{aligned} \gamma&=\int_{\bm t_1}^{\bm t_2} \bm A^{(n)}(\bm q)\cdot \dot\bm q(t)\, dt\\ &=\int_{\bm q_1}^{\bm q_2} \bm A^{(n)}(\bm q)\cdot d\bm q \end{aligned} $$

は「Berry 位相」と呼ばれる。これは断熱過程の始点と終点とにおける波動関数の位相差(時間経過による差である $-\int^t \varepsilon^{(n)}_{\bm q(t')}dt'/\hbar$ を除いた分)を表す。

式の形からも分かるとおり Berry 位相は経路のみで決まり、変化速度 $\dot\bm q(t)$ によらず定義される。 これは「十分にゆっくり」変化させる断熱近似の特徴でもある。

特に $\bm q_1$ と $\bm q_2$ とが同じ物理状態を表すとき($\bm q_1=\bm q_2$ のとき、あるいは、$\bm q_1\ne \bm q_2$ ではあっても対称性等により同じと見なせるとき)、Berry 位相は「同じ波動関数」同士の位相の差を表すことになる。(もしかすると、そういうときだけ Berry 位相と呼ばれるのかもしれないのだけれどよくわかっていない)

例:グラフェンの $K$ 状態の周りの電子

グラフェンの $K$ 点回りの波動方程式の解は

$$\bm k=\begin{pmatrix}k\cos\phi\\k\sin\phi\end{pmatrix}$$

と置いたときに

$$ \Phi_{\bm k}=\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}e^{i\phi}\\1\end{pmatrix} $$

と表された。

$\phi\to\phi+2\pi$ のように $\bm k$ がK点周りを一周したとき、 上記の表式では

$$ \frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}e^{i\phi+2\pi}\\1\end{pmatrix} =\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}e^{i\phi}\\1\end{pmatrix} $$

となって波動関数は位相を含めて元に戻る。

これに位相 $e^{-i\phi/2}$ を掛けると($\varphi(\bm k)=\phi/2$)、

$$ \tilde\Phi_{\bm k}=\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}e^{i\phi/2}\\e^{-i\phi/2}\end{pmatrix} $$

となって、こちらは

$$ \frac{1}{\sqrt 2}\begin{pmatrix} e^{i(\phi+2\pi)/2}\\e^{-i(\phi+2\pi)/2} \end{pmatrix}=\frac{1}{\sqrt 2}\begin{pmatrix} {}-e^{i\phi/2}\\-e^{-i\phi/2} \end{pmatrix} $$

のように一周回ると符号が反転してしまう。

これ、$k,\phi$ をパラメータとして見れば、同一の物理状態を表す異なるパラメータ $\phi,\phi+2\pi$ に対する解が異なる位相を持つ、という話で、ベクトル $\bm k$ をパラメータとして見れば連続的に動かして同じパラメータに戻ってきたときに異なる位相を持つ、という話になる。

また、その位相差は当然のことながら(?)固有関数の位相の取り方次第で変わってくるものである。というのもわかる。

例:マグネティックモノポールとスピンの系(1)

原点に大きさ $M$ のマグネティックモノポールの存在を仮定し、

$$ \bm B=\frac{M}{r^2}\frac{\bm r}{r} $$

$\bm r=(r,\theta,\phi)$ に大きさ $s$ のスピンを置く。

$$ \bm s=s\bm\sigma $$

相互作用を表すハミルトニアンは $r,\theta,\phi$ をパラメータとして含み、

$$ \begin{aligned} \hat H(r,\theta,\phi) &=-\bm B\cdot\hat\bm s\\ &=-\underbrace{\frac{sM}{r^2}}_{\varepsilon_0}\Big(\frac{\bm r}{r}\Big)\cdot\hat\bm\sigma\\ &=-\varepsilon_0(\hat\sigma_x\sin\theta\cos\phi+\hat\sigma_y\sin\theta\sin\phi+\hat\sigma_z\cos\theta)\\ &=-\varepsilon_0\begin{pmatrix} \cos\theta&\sin\theta e^{-i\phi}\\ \sin\theta e^{-i\phi}&-\cos\theta \end{pmatrix} \end{aligned} $$

これを解くと、

$$ \varepsilon^{(1)}=+\varepsilon_0, \ \psi^{(1)}=\begin{pmatrix} \sin(\theta/2) e^{-i\phi}\\ {}-\cos(\theta/2) \end{pmatrix} $$

$$ \varepsilon^{(2)}=-\varepsilon_0, \ \psi^{(2)}=\begin{pmatrix} \cos(\theta/2)\\ \sin(\theta/2) e^{i\phi} \end{pmatrix} $$

が求まるが、この波動関数は $\theta=0$ において

$$ \psi^{(1)}=\begin{pmatrix} 0\\-1 \end{pmatrix}, \ \psi^{(2)}=\begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} $$

であるのに対して、 $\theta=\pi$ においては

$$ \psi^{(1)}=\begin{pmatrix} e^{-i\phi}\\0 \end{pmatrix}, \ \psi^{(2)}=\begin{pmatrix} 0\\e^{i\phi} \end{pmatrix} $$

となって、波動関数の位相が $\phi$ によって異なる値を取るような解となっている。

$$ \begin{cases} r_x=r\sin\theta\cos\phi\\ r_y=r\sin\theta\sin\phi\\ r_z=r\cos\theta\\ \end{cases} $$

の値は $\theta=\pi$ において $\phi$ が異なっても等しいから、 $\theta=\pi$ においては $\phi$ が異なっても物理的には同一の系を表す。

実際、得られる解は位相を除いて等しい。

これも同様に、$\theta,\phi$ をパラメータとして見れば、同一の物理状態を表す異なるパラメータ $\phi,\phi'$ に対する解が異なる位相を持つ、という話で、ベクトル $\bm r$ をパラメータとして見れば連続的に動かして同じパラメータに戻ってきたときに異なる位相を持ちうる、という話になる。

Berry 曲率

始点と終点とが一致する場合の Berry 位相は周回積分として表されるが、

$$ \gamma=\oint_C \bm A\cdot d\bm q $$

これは電磁気学で出てくる

$$ (\text{磁束})=\oint_C (\text{ベクトルポテンシャル})\cdot d\bm r $$

とクリソツだなあ、などと思いつつ、ストークスの定理を使って、

$$ \begin{aligned} \gamma&=\oint_C \bm A\cdot d\bm q\\ &=\int_S(\underbrace{\bm\nabla\times A}_{=\,\bm\Omega})\cdot d\bm S\\ &=\int_S\bm\Omega\cdot d\bm S\\ \end{aligned} $$

と書き直すと、ここに出てくる Berry 曲率

$$\Omega=\bm\nabla\times A$$

は電磁気学における磁束密度に相当する量となる。

ベリー曲率 $\bm \Omega$磁束密度 $\bm B$
ベリー接続 $\bm A$ベクトルポテンシャル $\bm A$
ベリー位相 $\gamma$磁束 $N$

磁束密度のない場所では必ず磁束がゼロになるのと同様に、 Berry 曲率がゼロであれば Berry 位相も必ずゼロになる。

Berry 曲率のゲージ不変性

http://mercury.yukawa.kyoto-u.ac.jp/~bussei.kenkyu/wp/wp-content/uploads/6300-072210.pdf#page=4 を参考に、

波動関数に異なるゲージを適用して、

$$ |\tilde\psi_{\bm p}\rangle=e^{i\varphi(\bm p)}|\psi_{\bm p}\rangle $$

としたものに対して Berry 接続を計算すると、

$$ \tilde\bm A=-i\langle\tilde\psi_{\bm p}|\bm\nabla_{\bm p}|\tilde\psi_{\bm p}\rangle=\bm A+\bm\nabla_{\bm p}\,\varphi(\bm p) $$

であるから、Berry 位相は

$$ \begin{aligned} \tilde\gamma&=\int_{\bm p_1}^{\bm p_2}\tilde\bm A\cdot d\bm p\\ &=\int_{\bm p_1}^{\bm p_2}\bm A\cdot d\bm p+\int_{\varphi(\bm p_1)}^{\varphi(\bm p_2)}d\varphi\\ &=\gamma+\varphi(\bm p_1)-\varphi(\bm p_2) \end{aligned} $$

となって、正しく $\varphi(\bm p)$ 分の位相差を反映する。

一方で Berry 曲率は

$$ \begin{aligned} \tilde\bm\Omega=\bm\nabla_{\bm p}\times\tilde \bm A=\bm\nabla_{\bm p}\times\bm A=\bm\Omega \end{aligned} $$

となって、Berry 曲率はゲージ不変量であることがわかる。

具体的な表式

Berry 曲率の具体的な形としては例えば、

$$ \begin{aligned} \Omega_z &=\frac{\partial A_y}{\partial q_x}-\frac{\partial A_x}{\partial q_y}\\ &=i\frac{\partial}{\partial q_x}\Big(\langle\psi_{\bm q}^{(n)}|\frac{\partial}{\partial q_y}|\psi_{\bm q}^{(n)}\rangle\Big)- i\frac{\partial}{\partial q_y}\Big(\langle\psi_{\bm q}^{(n)}|\frac{\partial}{\partial q_x}|\psi_{\bm q}^{(n)}\rangle\Big)\\ &=i\langle\tfrac{\partial\psi_{\bm q}^{(n)}}{\partial q_x}|\tfrac{\partial\psi_{\bm q}^{(n)}}{\partial q_y}\rangle+ \cancel{i\langle\psi_{\bm q}^{(n)}|\frac{\partial^2}{\partial q_x\partial q_y}|\psi_{\bm q}^{(n)}\rangle}- \cancel{i\langle\psi_{\bm q}^{(n)}|\frac{\partial^2}{\partial q_y\partial q_x}|\psi_{\bm q}^{(n)}\rangle}- i\langle\tfrac{\partial\psi_{\bm q}^{(n)}}{\partial q_y}|\tfrac{\partial\psi_{\bm q}^{(n)}}{\partial q_x}\rangle\\ \bigg(&=\Big(i\langle\bm\nabla_{\bm q}\psi_{\bm q}^{(n)}|\times|\bm\nabla_{\bm q}\psi_{\bm q}^{(n)}\rangle\Big)_z\bigg)\\ &=-2\,\text{Im}\,\langle\tfrac{\partial\psi_{\bm q}^{(n)}}{\partial q_x}|\tfrac{\partial\psi_{\bm q}^{(n)}}{\partial q_y}\rangle\\ \end{aligned} $$

などとなる。

$$ \langle\tfrac{\partial\psi_{\bm q}^{(n)}}{\partial q_x}|\tfrac{\partial\psi_{\bm q}^{(n)}}{\partial q_y}\rangle= \sum_{n'} \langle\tfrac{\partial\psi_{\bm q}^{(n)}}{\partial q_x}|\psi_{\bm q}^{(n')}\rangle \langle\psi_{\bm q}^{(n')}|\tfrac{\partial\psi_{\bm q}^{(n)}}{\partial q_y}\rangle $$

の形に上で求めた

$$ \bm\nabla_{\bm q}|\psi_{\bm q}^{(n)}\rangle= {}-i\bm A\ |\psi_{\bm q}^{(n)}\rangle+ \sum_{n'\ne n}- \frac{\langle\psi_{\bm q}^{(n')}| \bm\nabla_{\bm q}\hat H(\bm q)\,|\psi_{\bm q}^{(n)}\rangle}{\varepsilon_{\bm q}^{(n')}-\varepsilon_{\bm q}^{(n)}}\ |\psi_{\bm q}^{(n')}\rangle $$

を入れると、

$$ \langle\tfrac{\partial\psi_{\bm q}^{(n)}}{\partial q_x}|\tfrac{\partial\psi_{\bm q}^{(n)}}{\partial q_y}\rangle= \underbrace{A_xA_y}_{\text{実数}}+ \sum_{n'\ne n} \frac{\langle\psi_{\bm q}^{(n)}| \tfrac{\partial}{\partial x}\hat H(\bm q)\,|\psi_{\bm q}^{(n')}\rangle\langle\psi_{\bm q}^{(n')}| \tfrac{\partial}{\partial y}\hat H(\bm q)\,|\psi_{\bm q}^{(n)}\rangle}{\big(\varepsilon_{\bm q}^{(n')}-\varepsilon_{\bm q}^{(n)}\big)^2} $$

より、

$$ \Omega_z=-2\,\text{Im}\,\sum_{n'\ne n} \frac{\langle\psi_{\bm q}^{(n)}| \tfrac{\partial}{\partial x}\hat H(\bm q)\,|\psi_{\bm q}^{(n')}\rangle\langle\psi_{\bm q}^{(n')}| \tfrac{\partial}{\partial y}\hat H(\bm q)\,|\psi_{\bm q}^{(n)}\rangle}{\big(\varepsilon_{\bm q}^{(n')}-\varepsilon_{\bm q}^{(n)}\big)^2} $$

を得る。

また、この節の初めの式のカッコで括った行から、

$$ \bm\Omega^{(n)}(\bm q)=i\langle\bm\nabla_{\bm q}\psi_{\bm q}^{(n)}|\times|\bm\nabla_{\bm q}\psi_{\bm q}^{(n)}\rangle $$

と書けることもわかる(https://kats.issp.u-tokyo.ac.jp/kats/semicon3/note/note7.pdf#page=9 にこの形があった)。

Berry 位相の重要性

なぜ Berry 位相が重要かというと、 $\bm q$ として $\bm k$ を取るとき、

$$ \bm\nabla_{\bm k} \hat H $$

は群速度 $v_g=\frac{\partial\omega}{\partial k}=\frac1\hbar\frac{\partial E}{\partial k}$ に相当する演算子

$$ \hat\bm v_g=\frac{1}{\hbar}\bm\nabla_{\bm k}\hat H $$

に $\hbar$ をかけたものとなる。

逆に、群速度と関連する「電流」などを求めようとすると、その過程で Berry 位相が出てくるため学んでおく必要がある。ということなのだと思う(とても弱気)。

例:マグネティックモノポールとスピンの系(2)

上記の例について、

Berry 接続:

$$ \begin{aligned} A_\theta^{(1)} &=i\langle\psi^{(1)}|\frac{\partial}{\partial\theta}|\psi^{(1)}\rangle\\ &=i\begin{pmatrix} \sin(\theta/2) e^{i\phi}& {}-\cos(\theta/2)\rule{0pt}{10pt} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \cos(\theta/2) e^{-i\phi}/2\\ \sin(\theta/2)/2 \end{pmatrix}\\ &=0\hspace{5mm}(\,=A_\theta^{(2)}) \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} A_\phi^{(1)} &=i\langle\psi^{(1)}|\frac{\partial}{\partial\phi}|\psi^{(1)}\rangle\\ &=i\begin{pmatrix} \sin(\theta/2) e^{i\phi}& \cos(\theta/2)\rule{0pt}{10pt} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} {}-i\sin(\theta/2) e^{-i\phi}\\ 0 \end{pmatrix}\\ &=\sin^2\theta/2=\frac{1-\cos\theta}2\hspace{5mm}(\,=-A_\phi^{(2)}) \end{aligned} $$

Berry 曲率:

$$ \begin{aligned} \Omega_{\theta\phi}^{(1)} &=-2\,\text{Im}\,\langle\tfrac{\partial\psi^{(1)}}{\partial\theta}|\tfrac{\partial\psi^{(1)}}{\partial\phi}\rangle\\ &=-2\,\text{Im}\,\begin{pmatrix} \cos(\theta/2) e^{i\phi}/2&\rule{0pt}{10pt} \sin(\theta/2)/2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} {}-i\sin(\theta/2) e^{-i\phi}\\ 0 \end{pmatrix}\\ &=\frac12\sin\theta\hspace{5mm}(\,=-\Omega_{\theta\phi}^{(2)}) \end{aligned} $$

Berry 位相:($\theta$ を一定にして $\phi$ を1周させる経路)

$$ \begin{aligned} \gamma^{(1)}(\theta)&=\oint_{C(\theta)}\bm A\cdot d\bm q\\ &=\int_0^{2\pi}d\phi\int_0^\theta d\theta'\,\bm\Omega_{\theta'\phi}\\ &=2\pi\int_0^\theta d\theta'\,\frac12\sin\theta\\ &=\pi(1-\cos\theta) \end{aligned} $$

となる。

このとき $\theta$ を $\pi$ にもっていくと $2\pi$ になる。

$$ \lim_{\theta\to\pi}\gamma^{(1)}(\theta)=2\pi $$

Berry 束と Chern 数

一般に、閉じた二次元多様体上でベリー曲率を積分した値は「Berry 束」と呼ばれ(?) 、この値は $2\pi$ の整数倍となることが知られている(Chern の定理?)。

上の例で $\theta\to\pi$ は積分範囲がパラメータ空間全域にわたっており、この条件が満たされている。(二次元系において「閉じた二次元多様体」はパラメータ空間全体を覆うものしかないということ(?))

また、この「整数値」を Chern 数と呼ぶ。

上記の例では Chern 数は 1 である。

Block 波状態に適用する

$n$ 番目のバンドにある波数 $\bm k$ の Block 波状態:

$$ \psi_{\bm k}^{(n)}(\bm r)=e^{i\bm k\cdot\bm r}\underbrace{u_{\bm k}^{(n)}(\bm r)}_{\text{周期関数}} $$

シュレーディンガー方程式:

$$ \begin{aligned} \hat H\psi_{\bm k}^{(n)}(\bm r) &=\Big[-\frac{\hbar^2}{2m}\bm\nabla^2+V(\bm r)\Big]e^{i\bm k\cdot\bm r}u_{\bm k}^{(n)}(\bm r)\\ &=e^{i\bm k\cdot\bm r}\underbrace{\Big[\frac{1}{2m}\big(-i\hbar\bm\nabla+\hbar\bm k\big)^2+V(\bm r)\Big]}_{\hat H_{\bm k}}u_{\bm k}^{(n)}(\bm r)\\ &=e^{i\bm k\cdot\bm r}\cdot\varepsilon_{\bm k}^{(n)}u_{\bm k}^{(n)}(\bm r)\\ \end{aligned} $$

より、

$$ \hat H_{\bm k}u_{\bm k}^{(n)}(\bm r)=\varepsilon_{\bm k}^{(n)}u_{\bm k}^{(n)}(\bm r) $$

すなわち、$u_{\bm k}^{(n)}(\bm r)$ に対するハミルトニアンはパラメータ $\bm k$ を含んだ $\hat H_{\bm k}$ となる。で、$\hat H_{\bm k}$ の形は $\hbar\bm k$ のところを $e\bm A$ (この $A$ はベクトルポテンシャル)に読み替えると磁場があるときのハミルトニアンになることに注目しよう。→ 電磁気学/電磁ポテンシャルの導入#k13bd197

$$ \bm A^{(n)}(\bm k)=i\langle u_{\bm k}^{(n)}|\bm\nabla_{\bm k}u_{\bm k}^{(n)}\rangle $$

$$ \bm \Omega^{(n)}(\bm k)=\bm\nabla_{\bm k}\times\bm A^{(n)}(\bm k) $$

$$ \begin{aligned} \gamma^{(n)} &=\oint\bm A^{(n)}(\bm k)\cdot d\bm k\\ &=\int_S\bm \Omega^{(n)}(\bm k)\cdot d\bm S\\ \end{aligned} $$

ブリルアンゾーン(B.Z.)の周囲を回る周回経路の Berry 位相は Berry 曲率を閉じた二次元多様体全域で面積分したものとみなすことができ、Chern 数で表される。

$$ \begin{aligned} \gamma^{(n)}_{\text{B.Z.}} &=\int_{B.Z.}\bm \Omega^{(n)}(\bm k)\cdot d\bm S=2\pi\times(\text{Chern数})\\ \end{aligned} $$

Berry 曲率と時間・空間反転対称性

http://mercury.yukawa.kyoto-u.ac.jp/~bussei.kenkyu/wp/wp-content/uploads/6300-072210.pdf#page=7 を参考に、

Block 状態

$$ \psi^{(n)}_{\bm k}(\bm r)=e^{i\bm k\cdot\bm r}u^{(n)}_{\bm k}(\bm r) $$

を考える。

系が空間反転対称性を持つ場合、$\bm r\to-\bm r$ と置き換えた

$$ \psi^{(n)}_{\bm k}(-\bm r)=e^{-i\bm k\cdot\bm r}u^{(n)}_{\bm k}(-\bm r) $$

もシュレーディンガー方程式を満たすが、これは波数 $-\bm k$ に属する状態であるから

$$ \psi^{(n)}_{\bm k}(-\bm r)=e^{-i\bm k\cdot\bm r}u^{(n)}_{\bm k}(-\bm r)\propto e^{-i\bm k\cdot\bm r}u^{(n)}_{-\bm k}(\bm r)=\psi^{(n)}_{-\bm k}(\bm r) $$

の関係がある。縮退がない場合、この係数(位相差)が1となるゲージを取れば

$$ u^{(n)}_{\bm k}(-\bm r)=u^{(n)}_{-\bm k}(\bm r) $$

が言え、このとき Berry 曲率は

$$ \begin{aligned} \bm\Omega^{(n)}(\bm k) &=-i\bm\nabla_{\bm k}\times\langle u_{\bm k}^{(n)}|\bm\nabla_{\bm k}|u_{\bm k}^{(n)}\rangle\\ &=-i\bm\nabla_{\bm k}\times\langle u_{-\bm k}^{(n)}|\bm\nabla_{\bm k}|u_{-\bm k}^{(n)}\rangle\\ &=-i\bm\nabla_{-\bm k}\times\langle u_{-\bm k}^{(n)}|\bm\nabla_{-\bm k}|u_{-\bm k}^{(n)}\rangle=\bm\Omega^{(n)}(-\bm k)\\ \end{aligned} $$

となる。そこで Berry 曲率はゲージ不変量であることから、系が空間反転対称性を持つ場合には一般に

$$ \bm\Omega^{(n)}(\bm k)=\bm\Omega^{(n)}(-\bm k) $$

となることが結論できる。*1$\int u_{-\bm k}^*(-\bm r)\bm\nabla_\bm ku_{-\bm k}(-\bm r)d^3\bm r=\int u_{-\bm k}^*(\bm r)\bm\nabla_\bm ku_{-\bm k}(\bm r)d^3\bm r$ は正しいんだっけ???

一方、系が時間反転対称性を持つ場合、$i\to-i$ と置き換えた

$$ \psi^{(n)*}_{\bm k}(\bm r)=e^{-i\bm k\cdot\bm r}u^{(n)*}_{\bm k}(\bm r) $$

もシュレーディンガー方程式を満たすが、これはやはり波数 $-\bm k$ に属する状態であるから

$$ \psi^{(n)*}_{\bm k}(\bm r)=e^{-i\bm k\cdot\bm r}u^{(n)*}_{\bm k}(\bm r)\propto e^{-i\bm k\cdot\bm r}u^{(n)}_{-\bm k}(\bm r)=\psi^{(n)}_{-\bm k}(\bm r) $$

の関係がある。縮退がない場合、この係数(位相差)が1となるゲージを取れば

$$ u^{(n)*}_{\bm k}(\bm r)=u^{(n)}_{-\bm k}(\bm r) $$

が言え、このとき Berry 曲率は

$$ \begin{aligned} \bm\Omega^{(n)}(\bm k) &=-i\bm\nabla_{\bm k}\times\langle u_{\bm k}^{(n)}|\bm\nabla_{\bm k}|u_{\bm k}^{(n)}\rangle\\ &=-i\bm\nabla_{\bm k}\times\langle u_{-\bm k}^{(n)*}|\bm\nabla_{\bm k}|u_{-\bm k}^{(n)*}\rangle\\ &=-i\bm\nabla_{\bm k}\times(\langle u_{-\bm k}^{(n)}|\bm\nabla_{\bm k}|u_{-\bm k}^{(n)}\rangle)^*\\ &=+i\bm\nabla_{\bm k}\times\langle u_{-\bm k}^{(n)}|\bm\nabla_{\bm k}|u_{-\bm k}^{(n)}\rangle\\ &=+i\bm\nabla_{-\bm k}\times\langle u_{-\bm k}^{(n)}|\bm\nabla_{-\bm k}|u_{-\bm k}^{(n)}\rangle=-\bm\Omega^{(n)}(-\bm k)\\ \end{aligned} $$

となる。3行目から4行目では $\langle u_{-\bm k}^{(n)}|\bm\nabla_{\bm k}|u_{-\bm k}^{(n)}\rangle$ が純虚数になることを使った。Berry 曲率はゲージ不変量であるから、系が時間反転対称性を持つ場合には一般に

$$ \bm\Omega^{(n)}(\bm k)=-\bm\Omega^{(n)}(-\bm k) $$

となることが結論できる。

したがって、もし系が空間反転対称性と時間反転対称性との両方を持つ場合には、

$$ \bm\Omega^{(n)}(\bm k)=0 $$

となることが結論できる。

Zak 位相

始点と終点が同じとなる「周回積分」ではなく、ある $\bm k$ から隣のブリルアンゾーンの対応する $\bm k+\bm G$ まで Berry 接続を線積分した値は Zak 位相と呼ばれる。$\bm k$ と $\bm k+\bm G$ は物理的には同じ状態であるから、両者に対する波動関数は位相以外同一のものとなるが、その位相差が Zak 位相である。

上で見た通り Berry 曲率 $\bm\Omega$ には

  • 系が空間反転対称性($\bm r\to-\bm r$ に対して対称)を持つと $\bm\Omega(-\bm k)=\bm\Omega(\bm k)$
  • 系が時間反転対称性($i\to-i$ に対して対称)を持つと $\bm\Omega(-\bm k)=-\bm\Omega(\bm k)$

という性質があるため、時間反転と空間反転との両方に対称性を持つような普通の物質の中では $\bm\Omega=0$ になり、Berry 位相はゼロになる(磁束密度がゼロの時の磁束に対応)。

一方、そのような場合にも Berry 接続自体は有限になり、Zak 位相が有限となる場合が生じる(磁場がなくてもベクトルポテンシャルは存在する可能性あり)。

この議論は磁場がない空間でもベクトルポテンシャルは有限になっており、その空間での波動関数に影響を及ぼしうるというアハラノフ=ボーム効果(AB 効果)のアナロジーとして理解できるとのこと。


*1 $\int u_{-\bm k}^*(-\bm r)\bm\nabla_\bm ku_{-\bm k}(-\bm r)d^3\bm r=\int u_{-\bm k}^*(\bm r)\bm\nabla_\bm ku_{-\bm k}(\bm r)d^3\bm r$ は正しいんだっけ???

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