一次元箱形障壁のトンネル/メモ のバックアップ(No.2)

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トンネル障壁再考

https://m-repo.lib.meiji.ac.jp/dspace/bitstream/10291/5021/1/kyouyoronshu_240_17.pdf

を参考にやってみる。

位置 x_1 から始まる、 厚さ a 高さ V のトンネル障壁の手前で

  \varphi(x)=Ae^{ikx}+Be^{-ikx}   (x<x_1)

直後で、

  \varphi(x)=Ce^{ikx}+De^{-ikx}   (x_1+a<x)

とすると、障壁内での波動関数は

  \kappa=\frac{1}{\hbar}\sqrt{2mV_0-\hbar^2k^2}

を用いて

  \varphi(x)=Ee^{\kappa x}+Fe^{-\kappa x}   x_1<x<x_1+a)

と表せることから、両端でなめらかに接続する条件を次の4つの式で表せる。

 (1) \varphi(x_1)=Ae^{ikx_1}+Be^{-ikx_1}=Ee^{\kappa x_1}+Fe^{-\kappa x_1}

 (2) \varphi'(x_1)=ikAe^{ikx_1}-ikBe^{-ikx_1}=\kappa Ee^{\kappa x_1}-\kappa Fe^{-\kappa x_1}

 (3) \varphi(x_1+a)=Ee^{\kappa (x_1+a)}+Fe^{-\kappa (x_1+a)}=Ce^{ik(x_1+a)}+De^{-ik(x_1+a)}

 (4) &math(\varphi'(x_1+a)=\kappa Ee^{\kappa (x_1+a)}-\kappa Fe^{-\kappa (x_1+a)}

                      =ikCe^{ik(x_1+a)}-ikDe^{-ik(x_1+a)});

この4つから E,F を消去し、 C,D A,B で表す。

(2) に \lambda=\kappa/k を導入すると、

  iAe^{ikx_1}-iBe^{-ikx_1}=\lambda Ee^{\kappa x_1}-\lambda Fe^{-\kappa x_1}

(1) と合わせて、

 &math( \begin{pmatrix} 1&1\\ i&-i\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix}Ae^{ikx_1}\\Be^{-ikx_1}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1&1\\ \lambda&-\lambda\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix}Ee^{\kappa x_1}\\Fe^{-\kappa x_1}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1&1\\ \lambda&-\lambda\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix}e^{\kappa x_1}&\\&e^{-\kappa x_1}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}E\\F\end{pmatrix} );

(4) に \lambda=\kappa/k を導入すると、

 &math(\lambda Ee^{\kappa (x_1+a)}-\lambda Fe^{-\kappa (x_1+a)} =iCe^{ik(x_1+a)}-iDe^{-ik(x_1+a)});

(3) と合わせて、

 &math( \begin{pmatrix} 1&1\\ \lambda&-\lambda\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} Ee^{\kappa (x_1+a)}\\Fe^{-\kappa (x_1+a)} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1&1\\ i&-i\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e^{\kappa (x_1+a)}&\\&e^{-\kappa (x_1+a)} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}E\\F\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1&1\\ \lambda&-\lambda\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} Ce^{ik(x_1+a)}\\De^{-ik(x_1+a)}\\ \end{pmatrix} );

したがって、

 &math( \begin{pmatrix}E\\F\end{pmatrix}&= \begin{pmatrix}e^{\kappa x_1}&\\&e^{-\kappa x_1}\end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} 1&1\\ \lambda&-\lambda\\ \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} 1&1\\ i&-i\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix}Ae^{ikx_1}\\Be^{-ikx_1}\end{pmatrix} \\&= \begin{pmatrix} e^{\kappa (x_1+a)}&\\&e^{-\kappa (x_1+a)} \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} 1&1\\ \lambda&-\lambda\\ \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} 1&1\\ i&-i\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} Ce^{ik(x_1+a)}\\De^{-ik(x_1+a)}\\ \end{pmatrix} );

ここから、

 &math( &\begin{pmatrix} Ce^{ik(x_1+a)}\\De^{-ik(x_1+a)}\\ \end{pmatrix}

\\&= \begin{pmatrix} 1&1\\ i&-i\\ \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} 1&1\\ \lambda&-\lambda\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e^{\kappa (x_1+a)}&\\&e^{-\kappa (x_1+a)} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}e^{\kappa x_1}&\\&e^{-\kappa x_1}\end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} 1&1\\ \lambda&-\lambda\\ \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} 1&1\\ i&-i\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix}Ae^{ikx_1}\\Be^{-ikx_1}\end{pmatrix}

\\&= \frac{1}{4i\lambda} \begin{pmatrix}

  • i&-1\\
  • i&1\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&1\\ \lambda&-\lambda\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e^{\kappa a}&\\&e^{-\kappa a} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}
  • \lambda&-1\\
  • \lambda&1\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&1\\ i&-i\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix}Ae^{ikx_1}\\Be^{-ikx_1}\end{pmatrix}

\\&= \frac{1}{4i\lambda} \begin{pmatrix}

  • (i+\lambda)e^{\kappa a}&-(i-\lambda)e^{-\kappa a}\\
  • (i-\lambda)e^{\kappa a}&-(i+\lambda)e^{-\kappa a}\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix}
  • (i+\lambda)&i-\lambda\\ i-\lambda&-(i+\lambda)\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix}Ae^{ikx_1}\\Be^{-ikx_1}\end{pmatrix}

\\&= \frac{1}{4i\lambda} \begin{pmatrix} (i+\lambda)^2e^{\kappa a}-(i-\lambda)^2e^{-\kappa a}& (1+\lambda^2)e^{\kappa a}-(1+\lambda^2)e^{-\kappa a}\\

  • (1+\lambda^2)e^{\kappa a}+(1+\lambda^2)e^{-\kappa a}&
  • (i+\lambda)^2e^{\kappa a}+(i-\lambda)^2e^{-\kappa a}\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix}Ae^{ikx_1}\\Be^{-ikx_1}\end{pmatrix} );

ここで、

 &math( \alpha&=\frac{1}{4i\lambda}\Big[(i+\lambda)^2e^{\kappa a}-(i-\lambda)^2e^{-\kappa a}\Big] =\frac{-\overline X}{2i\lambda} );

 &math( Y=\frac{1}{4\lambda}\big[(1+\lambda^2)e^{\kappa a}-(1+\lambda^2)e^{-\kappa a}\big] =\frac{1+\lambda^2}{2\lambda}\sinh \kappa a );

と置けば、

 &math( \begin{pmatrix}Ce^{ik(x_1+a)}\\De^{-ik(x_1+a)}\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \alpha&-iY\\ iY&\overline\alpha \end{pmatrix} \begin{pmatrix}Ae^{ikx_1}\\Be^{-ikx_1}\end{pmatrix}\\ );

を得る。

以前の結果から、 |X|^2=4\lambda^2(1+Y^2) すなわち、

  |\alpha|^2=1+Y^2

  \left|\frac{\alpha}{\sqrt{1+Y^2}}\right|^2=1

である。そこで、

  r=|R|=\frac{Y}{\sqrt{1+Y^2}}

  \frac{\alpha}{\sqrt{1+Y^2}}=e^{i\theta}

と置けば、

 &math( \begin{pmatrix}Ce^{ik(x_1+a)}\\De^{-ik(x_1+a)}\end{pmatrix}=\frac{1}{\sqrt{1-r^2}} \begin{pmatrix} e^{i\theta}&-ir\\ ir&e^{-i\theta} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}Ae^{ikx_1}\\Be^{-ikx_1}\end{pmatrix}\\ );

トンネル問題を考え、 A=1, D=0 の下にこれを解けば

  B=R=r\,e^{i2kx_1+i(\theta-\pi/2)}  → 反射波

 &math( Ce^{ik(x_1+a)}&=\frac{1}{\sqrt{1-r^2}}\left( e^{ikx_1+i\theta}-r^2\,e^{ikx_1+i\theta} \right)\\ &=\frac{1}{\sqrt{1-r^2}}e^{ikx_1+i\theta}\left( 1-r^2 \right)\\ &=\sqrt{1-r^2}\,e^{ikx_1+i\theta} );

  C=T=\sqrt{1-r^2}\,e^{-ikL+i\theta}  → 透過波

となる。

r=|R| であり、 \theta は反射波の位相の進みを表す。

これだけだと苦労した意味があまりないので、 トンネル障壁が複数ある場合について考える。

2重トンネル

厚さ a の障壁が b だけ間を置いて連続して2つあるとする。

障壁前を A,B 、障壁の間を C,D 、障壁の後を E,F で表せば、

 &math( &\begin{pmatrix}Ce^{ika}\\De^{-ika}\end{pmatrix}=\frac{1}{\sqrt{1-r^2}} \begin{pmatrix} e^{i\theta}&-ir\\ ir&e^{-i\theta} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}\\ );

 &math( &\begin{pmatrix}Ee^{ik(2a+b)}\\Fe^{-ik(2a+b)}\end{pmatrix}=\frac{1}{\sqrt{1-r^2}} \begin{pmatrix} e^{i\theta}&-ir\\ ir&e^{-i\theta} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}Ce^{ik(a+b)}\\De^{-ik(a+b)}\end{pmatrix}\\ );

より、

 &math( \begin{pmatrix}Ee^{ik(2a+b)}\\Fe^{-ik(2a+b)}\end{pmatrix} &= \frac{1}{1-r^2} \begin{pmatrix} e^{i\theta}&-ir\\ ir&e^{-i\theta} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}e^{ikb}&\\&e^{-ikb}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} e^{i\theta}&-ir\\ ir&e^{-i\theta} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}\\ &= \frac{1}{1-r^2} \begin{pmatrix} e^{ikb+i\theta}&-ire^{-ikb}\\ ire^{ikb}&e^{-ikb-i\theta} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e^{i\theta}&-ir\\ ir&e^{-i\theta} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}\\ &= \frac{1}{1-r^2} \begin{pmatrix} e^{ikb+2i\theta}+r^2e^{-ikb}&

  • ire^{ikb+i\theta}-ire^{-ikb-i\theta}\\ ire^{ikb+i\theta}+ire^{-ikb-i\theta}& r^2e^{ikb}+e^{-ikb-2i\theta} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}\\ );

A=1,F=0 と置くと、

 &math( |B|^2 &=r^2\left|\frac{e^{ikb+i\theta}+e^{-ikb-i\theta}}{r^2e^{ikb+i\theta}+e^{-ikb-i\theta}}\right|^2\\ &=\frac{4r^2\cos^2(kb+\theta)}{(1+r^2)^2\cos^2(kb+\theta)+(1-r^2)^2\sin^2(kb+\theta)}\\ );

より、透過率は

 &math( |E|^2=1-|B|^2 &=\frac{(1+r^2)^2\cos^2(kb+\theta)+(1-r^2)^2\sin^2(kb+\theta)-4r^2\cos^2(kb+\theta)}{(1+r^2)^2\cos^2(kb+\theta)+(1-r^2)^2\sin^2(kb+\theta)}\\ &=\frac{(1-r^2)^2}{(1+r^2)^2\cos^2(kb+\theta)+(1-r^2)^2\sin^2(kb+\theta)}\\ );

となる。

この値は反射率が高く r\sim 1 である場合にも、 \cos^2(kb+\theta)=0 すなわち kb+\theta=\pi(n+1/2) の条件で透過率が 100% になることを示している。これが共鳴トンネルと呼ばれる現象である。

このとき、2つの障壁に挟まれた井戸の中での確率分布は、

 &math( &\begin{pmatrix}Ce^{ika}\\De^{-ika}\end{pmatrix}=\frac{1}{\sqrt{1-r^2}} \begin{pmatrix} e^{i\theta}&-ir\\ ir&e^{-i\theta} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}A\\0\end{pmatrix}\\ );

より、

 &math( &|\varphi(x)|^2=|Ce^{ikx}+De^{-ikx}|^2\\ &=\frac{1}{1-r^2}\Big[1-r^2

  • ire^{i2k(x-a)+i\theta}
  1. ire^{-i2k(x-a)-i\theta} \Big]\\ &=1+\frac{2r}{1-r^2}\sin\{2k(x-a)+\theta\}\\ );

このとき、

 &math( |\varphi(a)|^2=1+\frac{2r}{1-r^2}\sin\{2k(x-a)+\theta\} );

 &math( |\varphi(a+b)|^2 &=1+\frac{2r}{1-r^2}\sin(2kb+\theta)\\ &=1+\frac{2r}{1-r^2}\sin\{2(kb+\theta)-\theta\}\\ &=1+\frac{2r}{1-r^2}\sin\{2\pi(n+1/2)-\theta\}\\ &=1+\frac{2r}{1-r^2}\sin\theta\\ );

となり、位相 \theta だけ染み出すものの、 ほぼ井戸の両端でゼロになっている。

すなわち、共鳴トンネルの条件は入射波エネルギーが 井戸の準定常状態のエネルギーと一致することが条件となっている。


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