一次元箱形障壁のトンネル/メモ のバックアップ(No.3)

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トンネル障壁再考

https://m-repo.lib.meiji.ac.jp/dspace/bitstream/10291/5021/1/kyouyoronshu_240_17.pdf

を参考にやってみる。

位置 x_1 から始まる、 厚さ a 高さ V のトンネル障壁の手前で

  \varphi(x)=Ae^{ikx}+Be^{-ikx}   (x<x_1)

直後で、

  \varphi(x)=Ce^{ikx}+De^{-ikx}   (x_1+a<x)

とすると、障壁内での波動関数は

  \kappa=\frac{1}{\hbar}\sqrt{2mV_0-\hbar^2k^2}

を用いて

  \varphi(x)=Ee^{\kappa x}+Fe^{-\kappa x}   x_1<x<x_1+a)

と表せることから、両端でなめらかに接続する条件を次の4つの式で表せる。

 (1) \varphi(x_1)=Ae^{ikx_1}+Be^{-ikx_1}=Ee^{\kappa x_1}+Fe^{-\kappa x_1}

 (2) \varphi'(x_1)=ikAe^{ikx_1}-ikBe^{-ikx_1}=\kappa Ee^{\kappa x_1}-\kappa Fe^{-\kappa x_1}

 (3) \varphi(x_1+a)=Ee^{\kappa (x_1+a)}+Fe^{-\kappa (x_1+a)}=Ce^{ik(x_1+a)}+De^{-ik(x_1+a)}

 (4) &math(\varphi'(x_1+a)=\kappa Ee^{\kappa (x_1+a)}-\kappa Fe^{-\kappa (x_1+a)}

                      =ikCe^{ik(x_1+a)}-ikDe^{-ik(x_1+a)});

この4つから E,F を消去し、 C,D A,B で表す。

(2) に \lambda=\kappa/k を導入すると、

  iAe^{ikx_1}-iBe^{-ikx_1}=\lambda Ee^{\kappa x_1}-\lambda Fe^{-\kappa x_1}

(1) と合わせて、

 &math( \begin{pmatrix} 1&1\\ i&-i\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix}Ae^{ikx_1}\\Be^{-ikx_1}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1&1\\ \lambda&-\lambda\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix}Ee^{\kappa x_1}\\Fe^{-\kappa x_1}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1&1\\ \lambda&-\lambda\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix}e^{\kappa x_1}&\\&e^{-\kappa x_1}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}E\\F\end{pmatrix} );

(4) に \lambda=\kappa/k を導入すると、

 &math(\lambda Ee^{\kappa (x_1+a)}-\lambda Fe^{-\kappa (x_1+a)} =iCe^{ik(x_1+a)}-iDe^{-ik(x_1+a)});

(3) と合わせて、

 &math( \begin{pmatrix} 1&1\\ \lambda&-\lambda\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} Ee^{\kappa (x_1+a)}\\Fe^{-\kappa (x_1+a)} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1&1\\ i&-i\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e^{\kappa (x_1+a)}&\\&e^{-\kappa (x_1+a)} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}E\\F\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1&1\\ \lambda&-\lambda\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} Ce^{ik(x_1+a)}\\De^{-ik(x_1+a)}\\ \end{pmatrix} );

したがって、

 &math( \begin{pmatrix}E\\F\end{pmatrix}&= \begin{pmatrix}e^{\kappa x_1}&\\&e^{-\kappa x_1}\end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} 1&1\\ \lambda&-\lambda\\ \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} 1&1\\ i&-i\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix}Ae^{ikx_1}\\Be^{-ikx_1}\end{pmatrix} \\&= \begin{pmatrix} e^{\kappa (x_1+a)}&\\&e^{-\kappa (x_1+a)} \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} 1&1\\ \lambda&-\lambda\\ \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} 1&1\\ i&-i\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} Ce^{ik(x_1+a)}\\De^{-ik(x_1+a)}\\ \end{pmatrix} );

ここから、

 &math( &\begin{pmatrix} Ce^{ik(x_1+a)}\\De^{-ik(x_1+a)}\\ \end{pmatrix}

\\&= \begin{pmatrix} 1&1\\ i&-i\\ \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} 1&1\\ \lambda&-\lambda\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e^{\kappa (x_1+a)}&\\&e^{-\kappa (x_1+a)} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}e^{\kappa x_1}&\\&e^{-\kappa x_1}\end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} 1&1\\ \lambda&-\lambda\\ \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} 1&1\\ i&-i\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix}Ae^{ikx_1}\\Be^{-ikx_1}\end{pmatrix}

\\&= \frac{1}{4i\lambda} \begin{pmatrix}

  • i&-1\\
  • i&1\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&1\\ \lambda&-\lambda\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e^{\kappa a}&\\&e^{-\kappa a} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}
  • \lambda&-1\\
  • \lambda&1\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&1\\ i&-i\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix}Ae^{ikx_1}\\Be^{-ikx_1}\end{pmatrix}

\\&= \frac{1}{4i\lambda} \begin{pmatrix}

  • (i+\lambda)e^{\kappa a}&-(i-\lambda)e^{-\kappa a}\\
  • (i-\lambda)e^{\kappa a}&-(i+\lambda)e^{-\kappa a}\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix}
  • (i+\lambda)&i-\lambda\\ i-\lambda&-(i+\lambda)\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix}Ae^{ikx_1}\\Be^{-ikx_1}\end{pmatrix}

\\&= \frac{1}{4i\lambda} \begin{pmatrix} (i+\lambda)^2e^{\kappa a}-(i-\lambda)^2e^{-\kappa a}& (1+\lambda^2)e^{\kappa a}-(1+\lambda^2)e^{-\kappa a}\\

  • (1+\lambda^2)e^{\kappa a}+(1+\lambda^2)e^{-\kappa a}&
  • (i+\lambda)^2e^{\kappa a}+(i-\lambda)^2e^{-\kappa a}\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix}Ae^{ikx_1}\\Be^{-ikx_1}\end{pmatrix} );

ここで、

 &math( \alpha&=\frac{1}{4i\lambda}\Big[(i+\lambda)^2e^{\kappa a}-(i-\lambda)^2e^{-\kappa a}\Big] =\frac{-\overline X}{2i\lambda} );

 &math( Y=\frac{1}{4\lambda}\big[(1+\lambda^2)e^{\kappa a}-(1+\lambda^2)e^{-\kappa a}\big] =\frac{1+\lambda^2}{2\lambda}\sinh \kappa a );

と置けば、

 &math( \begin{pmatrix}Ce^{ik(x_1+a)}\\De^{-ik(x_1+a)}\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \alpha&-iY\\ iY&\overline\alpha \end{pmatrix} \begin{pmatrix}Ae^{ikx_1}\\Be^{-ikx_1}\end{pmatrix}\\ );

を得る。

以前の結果から、 |X|^2=4\lambda^2(1+Y^2) すなわち、

  |\alpha|^2=1+Y^2

  \left|\frac{\alpha}{\sqrt{1+Y^2}}\right|^2=1

である。そこで、

  r=|R|=\frac{Y}{\sqrt{1+Y^2}}

  \frac{\alpha}{\sqrt{1+Y^2}}=e^{i\theta}

と置けば、

 &math( \begin{pmatrix}Ce^{ik(x_1+a)}\\De^{-ik(x_1+a)}\end{pmatrix}=\frac{1}{\sqrt{1-r^2}} \begin{pmatrix} e^{i\theta}&-ir\\ ir&e^{-i\theta} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}Ae^{ikx_1}\\Be^{-ikx_1}\end{pmatrix}\\ );

トンネル問題を考え、 A=1, D=0 の下にこれを解けば

  B=R=r\,e^{i2kx_1+i(\theta-\pi/2)}  → 反射波

 &math( Ce^{ik(x_1+a)}&=\frac{1}{\sqrt{1-r^2}}\left( e^{ikx_1+i\theta}-r^2\,e^{ikx_1+i\theta} \right)\\ &=\frac{1}{\sqrt{1-r^2}}e^{ikx_1+i\theta}\left( 1-r^2 \right)\\ &=\sqrt{1-r^2}\,e^{ikx_1+i\theta} );

  C=T=\sqrt{1-r^2}\,e^{-ikL+i\theta}  → 透過波

となる。

r=|R| であり、 \theta は反射波の位相の進みを表す。

これだけだと苦労した意味があまりないので、 トンネル障壁が複数ある場合について考える。

2重トンネル

厚さ a の障壁が b だけ間を置いて連続して2つあるとする。

障壁前を A,B 、障壁の間を C,D 、障壁の後を E,F で表せば、

 &math( &\begin{pmatrix}Ce^{ika}\\De^{-ika}\end{pmatrix}=\frac{1}{\sqrt{1-r^2}} \begin{pmatrix} e^{i\theta}&-ir\\ ir&e^{-i\theta} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}\\ );

 &math( &\begin{pmatrix}Ee^{ik(2a+b)}\\Fe^{-ik(2a+b)}\end{pmatrix}=\frac{1}{\sqrt{1-r^2}} \begin{pmatrix} e^{i\theta}&-ir\\ ir&e^{-i\theta} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}Ce^{ik(a+b)}\\De^{-ik(a+b)}\end{pmatrix}\\ );

より、

 &math( \begin{pmatrix}Ee^{ik(2a+b)}\\Fe^{-ik(2a+b)}\end{pmatrix} &= \frac{1}{1-r^2} \begin{pmatrix} e^{i\theta}&-ir\\ ir&e^{-i\theta} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}e^{ikb}&\\&e^{-ikb}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} e^{i\theta}&-ir\\ ir&e^{-i\theta} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}\\ &= \frac{1}{1-r^2} \begin{pmatrix} e^{ikb+i\theta}&-ire^{-ikb}\\ ire^{ikb}&e^{-ikb-i\theta} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e^{i\theta}&-ir\\ ir&e^{-i\theta} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}\\ &= \frac{1}{1-r^2} \begin{pmatrix} e^{ikb+2i\theta}+r^2e^{-ikb}&

  • ire^{ikb+i\theta}-ire^{-ikb-i\theta}\\ ire^{ikb+i\theta}+ire^{-ikb-i\theta}& r^2e^{ikb}+e^{-ikb-2i\theta} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}\\ );

A=1,F=0 と置くと、

 &math( |B|^2 &=r^2\left|\frac{e^{ikb+i\theta}+e^{-ikb-i\theta}}{r^2e^{ikb+i\theta}+e^{-ikb-i\theta}}\right|^2\\ &=\frac{4r^2\cos^2(kb+\theta)}{(1+r^2)^2\cos^2(kb+\theta)+(1-r^2)^2\sin^2(kb+\theta)}\\ );

より、透過率は

 &math( |E|^2=1-|B|^2 &=\frac{(1+r^2)^2\cos^2(kb+\theta)+(1-r^2)^2\sin^2(kb+\theta)-4r^2\cos^2(kb+\theta)}{(1+r^2)^2\cos^2(kb+\theta)+(1-r^2)^2\sin^2(kb+\theta)}\\ &=\frac{(1-r^2)^2}{(1+r^2)^2\cos^2(kb+\theta)+(1-r^2)^2\sin^2(kb+\theta)}\\ &=\frac{1}{\left(\frac{1+r^2}{1-r^2}\right)^2\cos^2(kb+\theta)+\sin^2(kb+\theta)}\\ &=\frac{1}{\left[\left(\frac{1+r^2}{1-r^2}\right)^2-1\right]\cos^2(kb+\theta)+1}\\ );

となる。

この値は反射率が高く r\sim 1 である場合にも、 \cos^2(kb+\theta)=0 すなわち kb+\theta=\pi(n+1/2) の条件で透過率が 100% になることを示している。これが共鳴トンネルと呼ばれる現象である。

このとき、2つの障壁に挟まれた井戸の中での確率分布は、

 &math( &\begin{pmatrix}Ce^{ika}\\De^{-ika}\end{pmatrix}=\frac{1}{\sqrt{1-r^2}} \begin{pmatrix} e^{i\theta}&-ir\\ ir&e^{-i\theta} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}A\\0\end{pmatrix}\\ );

より、

 &math( &|\varphi(x)|^2=|Ce^{ikx}+De^{-ikx}|^2\\ &=\frac{1}{1-r^2}\Big[1-r^2

  • ire^{i2k(x-a)+i\theta}
  1. ire^{-i2k(x-a)-i\theta} \Big]\\ &=1+\frac{2r}{1-r^2}\sin\{2k(x-a)+\theta\}\\ );

このとき、

 &math( |\varphi(a)|^2=1+\frac{2r}{1-r^2}\sin\{\theta\} );

 &math( |\varphi(a+b)|^2 &=1+\frac{2r}{1-r^2}\sin(2kb+\theta)\\ &=1+\frac{2r}{1-r^2}\sin\{2(kb+\theta)-\theta\}\\ &=1+\frac{2r}{1-r^2}\sin\{2\pi(n+1/2)-\theta\}\\ &=1+\frac{2r}{1-r^2}\sin\theta\\ );

となり、位相 \theta だけ染み出すものの、 ほぼ井戸の両端でゼロになっている。

すなわち、共鳴トンネルは入射波エネルギーが 井戸の準定常状態のエネルギーと一致することが条件となっている。

k n 番目の共振波長を k_n に近いと近似してみると、

 &math( |E|^2 &=\frac{1}{\left[\left(\frac{1+r^2}{1-r^2}\right)^2-1\right]\sin^2(b(k-k_n))+1}\\ &\sim\frac{1}{\left(\frac{1-r^2}{2br}\right)^{-2}(k-k_n)^2+1}\\ );

のようにローレンツ型の共振特性が得られる。

このときの半値幅は、&math( \Delta k=\frac{1-r^2}{br} ); となる。

反射率が高く r\sim 1 のとき、

  \Delta k\sim\frac{1}{b}(障壁1つあたりの透過率)^2

また、

 &math( k-k_n&=\sqrt{2m\varepsilon/\hbar^2}-k_n\\ &=k_n\left(\sqrt{1+(\varepsilon-\varepsilon_n)/\varepsilon_n}-1\right)\\ &=k_n\big\{1+(\varepsilon-\varepsilon_n)/2\varepsilon_n-1\big\}\\ &=\frac{k_n}{2\varepsilon_n}(\varepsilon-\varepsilon_n)\\ );

より、

 &math( |E|^2 &\sim\frac{1}{\left(\frac{1-r^2}{2r}\frac{2\varepsilon_n}{k_nb}\right)^{-2}(\varepsilon-\varepsilon_n)^2+1}\\ );

として、エネルギー表示においてもやはりローレンツ型の表示が可能である。

このときのエネルギー幅は、&math( \Delta E =\frac{1-r^2}{br}\frac{2\varepsilon_n}{k_n} =\frac{1-r^2}{br}\sqrt{\frac{2\hbar^2\varepsilon_n}{m}} ); で、反射率が高いときには (1-r^2)/r はほぼ透過率と等しくなるから、

 &math(\Delta E =\frac{2\varepsilon_n}{k_nb}(障壁1つあたりの透過率)^2 =\sqrt{\frac{2\hbar^2\varepsilon_n}{b^2m}}(障壁1つあたりの透過率)^2 );

となる。

これらのローレンツ型の式は、あくまで k \varepsilon が共振点から離れていないことを前提としており、 r k 依存性や、 \sin(bk-bk_n)\sim b(k-k_n) などの1次近似の範囲内でのみ成立することに注意が必要である。

 &math( (障壁1つあたりの透過率)=\frac{4\epsilon(V_0-\epsilon)}{V_0^2}\exp\left[-2a\sqrt{\frac{2m}{\hbar^2}(V_0-\varepsilon)}\right] );

なので、エネルギーが高くなればエネルギー幅は広くなる。

非対称2重トンネル

 &math( \begin{pmatrix}Ee^{ik(a+b+a')}\\Fe^{-ik(a+b+a')}\end{pmatrix} &= \frac{1}{\sqrt{1-r^2}\sqrt{1-r'^2}} \begin{pmatrix} e^{i\theta}&-ir\\ ir&e^{-i\theta} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}e^{ikb}&\\&e^{-ikb}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} e^{i\theta'}&-ir'\\ ir'&e^{-i\theta'} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}\\ &= \frac{1}{\sqrt{1-r^2}\sqrt{1-r'^2}} \begin{pmatrix} e^{ikb+i\theta}&-ire^{-ikb}\\ ire^{ikb}&e^{-ikb-i\theta} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e^{i\theta'}&-ir'\\ ir'&e^{-i\theta'} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}\\ &= \frac{1}{\sqrt{1-r^2}\sqrt{1-r'^2}} \begin{pmatrix} e^{ikb+i(\theta+\theta')}+rr'e^{-ikb}&

  • ir'e^{ikb+i\theta}-ire^{-ikb-i\theta'}\\ ire^{ikb+i\theta'}+ir'e^{-ikb-i\theta}& rr'e^{ikb}+e^{-ikb-i(\theta+\theta')} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}\\ );

A=1,F=0 と置いて、

 &math( |B|^2 &=\left|\frac{ire^{ikb+i\theta'}+ir'e^{-ikb-i\theta}}{rr'e^{ikb}+e^{-ikb-i(\theta+\theta')}} \right|^2\\ &=\left|\frac{re^{ikb+i(\theta+\theta')/2}+r'e^{-ikb-i(\theta+\theta')/2}} {rr'e^{ikb+i(\theta+\theta')/2}+e^{-ikb-i(\theta+\theta')/2}} \right|^2\\ &=\frac{(r+r')^2\cos^2\{kb+(\theta+\theta')/2\}+(r-r')^2\sin^2\{kb+(\theta+\theta')/2\}} {(rr'+1)^2\cos^2\{kb+(\theta+\theta')/2\}+(rr'-1)^2\sin^2\{kb+(\theta+\theta')/2\}}\\ &=\frac{\{(r+r')^2-(r-r')^2\}\cos^2\{kb+(\theta+\theta')/2\}+(r-r')^2} {\{(rr'+1)^2-(rr'-1)^2\}\cos^2\{kb+(\theta+\theta')/2\}+(rr'-1)^2}\\ &=\frac{4rr'\cos^2\{kb+(\theta+\theta')/2\}+(r-r')^2} {4rr'\cos^2\{kb+(\theta+\theta')/2\}+(1-rr')^2}\\ );

 &math( |E|^2=1-|B|^2 &=\frac{(1-rr')^2-(r-r')^2} {4rr'\cos^2\{kb+(\theta+\theta')/2\}+(1-rr')^2}\\ &=\frac{1-2rr'+r^2r'^2-r^2+2rr'-r'^2} {4rr'\cos^2\{kb+(\theta+\theta')/2\}+(1-rr')^2}\\ &=\frac{(1-r^2)(1-r'^2)}{(1-rr')^2}\frac{1} {\left\{\frac{1-rr'}{2\sqrt{rr'}}\right\}^{-2}\cos^2\{kb+(\theta+\theta')/2\}+1}\\ );

この関数は kb+(\theta+\theta')/2=\pi(n+1/2) の時に最大値

  \frac{(1-r^2)(1-r'^2)}{(1-rr')^2}

を取る。このとき、

 &math( |\varphi(a)|^2=1+\frac{2r}{1-r^2}\sin\{\theta\} );

 &math( |\varphi(a+b)|^2 &=1+\frac{2r}{1-r^2}\sin\theta'\\ );

であり、ピーク幅は、

 &math( \frac{1-rr'}{b\sqrt{rr'}} );

となる。両側の反射率の相乗平均を取って r_\mathrm{mean}=\sqrt{rr'} とすると、

 &math( \Delta k=\frac{1-r_\mathrm{mean}^2}{br_\mathrm{mean}} );

となり、対称な場合の結果と一致する。

対称2重トンネルの結果が、

 &math( \Delta k=\frac{1}{b}(壁1枚の透過率)^2 );

だったのに、

 &math( \Delta k\ne\frac{1}{b}(壁1の透過率)(壁2の透過率) );

なのは興味深い。

むしろ、対称な時を

 &math( \Delta k=\frac{1}{b}\Big[1-(壁1枚の反射率)^2\Big] );

と書き、非対称なときに

 &math( \Delta k=\frac{1}{b}\Big[1-(壁1の反射率)(壁2の反射率)\Big] );

と書けることが本質であるということか?

左右対称3重トンネル

 &math( &\begin{pmatrix}Ge^{ik(2a'+2b+a)}\\He^{-ik(2a'+2b+a)}\end{pmatrix}\\ &= \frac{1}{\sqrt{1-r^2}(1-r'^2)} \begin{pmatrix} e^{i\theta'}&-ir'\\ ir'&e^{-i\theta'} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}e^{ikb}&\\&e^{-ikb}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} e^{i\theta}&-ir\\ ir&e^{-i\theta} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}e^{ikb}&\\&e^{-ikb}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} e^{i\theta'}&-ir'\\ ir'&e^{-i\theta'} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}\\ &= \frac{1}{\sqrt{1-r^2}(1-r'^2)} \begin{pmatrix} e^{i\theta'}&-ir'\\ ir'&e^{-i\theta'} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}e^{ikb}&\\&e^{-ikb}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} e^{ikb+i(\theta+\theta')}+rr'e^{-ikb}&

  • ir'e^{ikb+i\theta}-ire^{-ikb-i\theta'}\\ ire^{ikb+i\theta'}+ir'e^{-ikb-i\theta}& rr'e^{ikb}+e^{-ikb-i(\theta+\theta')} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}\\ &= \frac{1}{\sqrt{1-r^2}(1-r'^2)} \begin{pmatrix} e^{i\theta'}&-ir'\\ ir'&e^{-i\theta'} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e^{2ikb+i(\theta+\theta')}+rr'&
  • ir'e^{2ikb+i\theta}-ire^{-i\theta'}\\ ire^{i\theta'}+ir'e^{-2ikb-i\theta}& rr'+e^{-2ikb-i(\theta+\theta')} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}\\ &= \frac{1}{\sqrt{\dots}(\dots)} \begin{pmatrix} e^{2ikb+i(\theta+2\theta')}+r'^2e^{-2ikb-i\theta}+2rr'e^{i\theta'}&
  • ir'e^{2ikb+i(\theta+\theta')}-ir(1+r'^2)
  • ir'e^{-2ikb-i(\theta+\theta')}\\ ir'e^{2ikb+i(\theta+\theta')}+ir(1+r'^2)+ir'e^{-2ikb-i(\theta+\theta')}& e^{-2ikb-i(\theta+2\theta')}+r'^2e^{2ikb+i\theta}+2rr'e^{-i\theta'} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}\\ );

A=1,H=0 と置いて、

 &math( |B|^2 &=\left|\frac{ir'e^{2ikb+i(\theta+\theta')}+ir(1+r'^2)+ir'e^{-2ikb-i(\theta+\theta')}} {e^{-2ikb-i(\theta+2\theta')}+r'^2e^{2ikb+i\theta}+2rr'e^{-i\theta'}}\right|^2\\ &=\frac{\big\{2r'\cos(2kb+\theta+\theta')+r(1+r'^2)\big\}^2} {\left|e^{-2ikb-i(\theta+\theta')}+r'^2e^{2ikb+i(\theta+\theta')}+2rr'\right|^2}\\ &=\frac{\big\{2r'\cos(2kb+\theta+\theta')+r(1+r'^2)\big\}^2} {\left|(1+r'^2)\cos(2kb+\theta+\theta')+2rr'+i(1-r'^2)\sin(kb+\theta+\theta')\right|^2}\\ &=\frac{\big\{2r'\cos(2kb+\theta+\theta')+r(1+r'^2)\big\}^2} {\big\{(1+r'^2)\cos(2kb+\theta+\theta')+2rr'\big\}^2+(1-r'^2)^2\sin^2(kb+\theta+\theta')}\\ &=\frac{\big\{2r'\cos(2kb+\theta+\theta')+r(1+r'^2)\big\}^2} {\big\{(1+r'^2)\cos(2kb+\theta+\theta')+2rr'\big\}^2+(1-r'^2)^2-(1-r'^2)^2\cos^2(kb+\theta+\theta')}\\ );

 &math( (分母) =&(1+r'^2)^2\cos^2(2kb+\theta+\theta')+4rr'(1+r'^2)\cos(2kb+\theta+\theta')+4r^2r'^2+\\ &\ \ \ \ (1-r'^2)^2-(1-r'^2)^2\cos^2(kb+\theta+\theta')\\ =&4r'^2\cos^2(2kb+\theta+\theta')+4rr'(1+r'^2)\cos(2kb+\theta+\theta')+4r^2r'^2+(1-r'^2)^2\\ =&\big\{2r'^2\cos^2(2kb+\theta+\theta')+r(1+r'^2)\big\}^2-r^2(1+r'^2)^2+4r^2r'^2+(1-r'^2)^2\\ =&\big\{2r'^2\cos^2(2kb+\theta+\theta')+r(1+r'^2)\big\}^2-r^2(1-r'^2)^2+(1-r'^2)^2\\ =&\big\{2r'^2\cos^2(2kb+\theta+\theta')+r(1+r'^2)\big\}^2+(1-r^2)(1-r'^2)^2\\ );

 &math( |E'|^2=1-|B|^2 &=\frac{(1-r^2)(1-r'^2)^2} {\big\{2r'\cos(2kb+\theta+\theta')+r(1+r'^2)\big\}^2+(1-r^2)(1-r'^2)^2}\\ &=\frac{1} {\frac{4r'^2}{(1-r^2)(1-r'^2)^2}\big\{\cos(2kb+\theta+\theta')+\frac{r(1+r'^2)}{2r'}\big\}^2+1}\\ );

透過確率が1になるのは

 &math( \cos(2kb+\theta+\theta')=-\frac{r(1+r'^2)}{2r'} );

\frac{r(1+r'^2)}{2r'}<1 r<\frac{2r'}{1+r'^2} だから、 両側に比べてそこそこ中央が通りやすければ解がある。

その周辺に於いて、

 &math( |E'|^2 &=\frac{1} {\frac{4r'^2}{(1-r^2)(1-r'^2)^2}4b^2\left[1-\left(\frac{r(1+r'^2)}{2r'}\right)^2\right](k-k_n)^2+1}\\ &=\frac{1} {4b^2\frac{4r'^2-r^2(1+r'^2)^2}{(1-r^2)(1-r'^2)^2}(k-k_n)^2+1}\\ &=\frac{1} {4b^2\frac{(2r'-r-rr'^2)(2r'+r+rr'^2)}{(1-r^2)(1-r'^2)^2}(k-k_n)^2+1}\\ );

だから、ピーク幅は

 &math( \Delta k=\frac{\sqrt{(1-r^2)}(1-r'^2)}{b\sqrt{(2r'-r-rr'^2)(2r'+r+rr'^2)}} );

となる。


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