一次元箱形障壁のトンネル/メモ のバックアップの現在との差分(No.3)
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* トンネル障壁再考 [#na9b6dec] * 目次 [#r99b81c6] #contents &katex(); * １次元トンネル現象再考 [#na9b6dec] https://m-repo.lib.meiji.ac.jp/dspace/bitstream/10291/5021/1/kyouyoronshu_240_17.pdf を参考にやってみる。 位置 &math(x_1); から始まる、 厚さ &math(a); 高さ &math(V); のトンネル障壁の手前で １次元のポテンシャルエネルギーを、 トンネル障壁部分以外で 0、 トンネル障壁部分で &math(V); となるような、 矩形障壁のモデルを考え、 &math(x); が負の無限大から正方向へ振幅１の平面波が入射する条件を考える。 &math(\varphi(x)=Ae^{ikx}+Be^{-ikx}); &math((x<x_1)); ** 距離 $d$ の伝播 [#zd6b101c] 直後で、 ポテンシャルエネルギー &math(V(x)=0); の領域における解は &math(\varphi(x)=Ce^{ikx}+De^{-ikx}); &math((x_1+a<x)); &math(\varphi(x)=A e^{ikx}+B e^{-ikx}); とすると、障壁内での波動関数は と置ける。このとき、&math(x=x_1); および &math(x=x_1+d); での波動関数を &math(\kappa=\frac{1}{\hbar}\sqrt{2mV_0-\hbar^2k^2}); &math(\varphi(x_1)=\underbrace{Ae^{ikx_1}}_{A_1}+\underbrace{Be^{-ikx_1}}_{B_1}); を用いて &math(\varphi(x_1+d)=\underbrace{Ae^{ik(x_1+d)}}_{A_2}+\underbrace{Be^{-ik(x_1+d)}}_{B_2}); &math(\varphi(x)=Ee^{\kappa x}+Fe^{-\kappa x}); &math(x_1<x<x_1+a)); と書こう。&math(A_1,B_1);, &math(A_2,B_2); はそれぞれ &math(x=x_1, x=x_1+d); における、波数 &math(k); の成分と波数 &math(-k); の成分の値である。 と表せることから、両端でなめらかに接続する条件を次の４つの式で表せる。 上式から、 (1) &math(\varphi(x_1)=Ae^{ikx_1}+Be^{-ikx_1}=Ee^{\kappa x_1}+Fe^{-\kappa x_1}); &math( \begin{cases} A_2=e^{ikd}A_1\\ B_2=e^{-ikd}B_1\\ \end{cases} ); (2) &math(\varphi'(x_1)=ikAe^{ikx_1}-ikBe^{-ikx_1}=\kappa Ee^{\kappa x_1}-\kappa Fe^{-\kappa x_1}); の関係があり、これを (3) &math(\varphi(x_1+a)=Ee^{\kappa (x_1+a)}+Fe^{-\kappa (x_1+a)}=Ce^{ik(x_1+a)}+De^{-ik(x_1+a)}); &math( \begin{pmatrix} A_2\\ B_2\\ \end{pmatrix}= \underbrace{ \begin{pmatrix} e^{ikd}&\\ &e^{-ikd}\\ \end{pmatrix}}_{d\,進んだことによる変化} \begin{pmatrix} A_1\\ B_1\\ \end{pmatrix} ); (4) &math(\varphi'(x_1+a)=\kappa Ee^{\kappa (x_1+a)}-\kappa Fe^{-\kappa (x_1+a)} =ikCe^{ik(x_1+a)}-ikDe^{-ik(x_1+a)}); と書けることが分かる。 この４つから &math(E,F); を消去し、&math(C,D); を &math(A,B); で表す。 ** トンネル障壁 [#zb0d98bc] (2) に &math(\lambda=\kappa/k); を導入すると、 位置 &math(x_1); から始まる、 厚さ &math(a); 高さ &math(V); のトンネル障壁を考える。 &math(iAe^{ikx_1}-iBe^{-ikx_1}=\lambda Ee^{\kappa x_1}-\lambda Fe^{-\kappa x_1}); 障壁の直前・直後の &math(k); 成分、&math(-k); 成分の値を &math(A,B); および &math(C,D); とする。 (1) と合わせて、 すなわち、障壁前後の波動関数を、 障壁前： &math(\varphi(x)=Ae^{ik(x-x_1)}+Be^{-ik(x-x_1)}); &math(x<x_1); 障壁後： &math(\varphi(x)=Ce^{ik(x-x_1-a)}+De^{-ik(x-x_1-a)}); &math(x_1+a<x); と置いたことになる。 障壁内での波動関数は &math(\kappa=\frac{1}{\hbar}\sqrt{2mV_0-\hbar^2k^2}); および障壁入射直後の &math(\kappa,-\kappa); 成分 &math(E,F); を用いて &math(\varphi(x)=Ee^{\kappa (x-x_1)}+Fe^{-\kappa (x-x_1)}); &math(x_1<x<x_1+a)); と表せるから、両端で障壁内外の波動関数がなめらかに接続する条件を次の４つの式で表せる。 (1) &math(\varphi(x_1)=A+B=E+F); (2) &math(\varphi'(x_1)=ikA-ikB=\kappa E-\kappa F); (3) &math(\varphi(x_1+a)=Ee^{\kappa a}+Fe^{-\kappa a}=C+D); (4) &math(\varphi'(x_1+a)=\kappa Ee^{\kappa a}-\kappa Fe^{-\kappa a}=ikC-ikD); (1), (2) より、 &math( \begin{pmatrix} 1&1\\ i&-i\\ ik&-ik \end{pmatrix} \begin{pmatrix}Ae^{ikx_1}\\Be^{-ikx_1}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1&1\\ \lambda&-\lambda\\ \kappa&-\kappa \end{pmatrix} \begin{pmatrix}Ee^{\kappa x_1}\\Fe^{-\kappa x_1}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1&1\\ \lambda&-\lambda\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix}e^{\kappa x_1}&\\&e^{-\kappa x_1}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}E\\F\end{pmatrix} ); (4) に &math(\lambda=\kappa/k); を導入すると、 &math(\lambda Ee^{\kappa (x_1+a)}-\lambda Fe^{-\kappa (x_1+a)} =iCe^{ik(x_1+a)}-iDe^{-ik(x_1+a)}); (3) と合わせて、 (3), 42) より、 &math( \begin{pmatrix} 1&1\\ \lambda&-\lambda\\ e^{\kappa a}&e^{-\kappa a}\\ \kappa e^{\kappa a}&-\kappa e^{-\kappa a}\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix}E\\F\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} Ee^{\kappa (x_1+a)}\\Fe^{-\kappa (x_1+a)} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1&1\\ i&-i\\ \kappa&-\kappa\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e^{\kappa (x_1+a)}&\\&e^{-\kappa (x_1+a)} e^{\kappa a}\\ &e^{-\kappa a}\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix}E\\F\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1&1\\ \lambda&-\lambda\\ ik&-ik \end{pmatrix} \begin{pmatrix} Ce^{ik(x_1+a)}\\De^{-ik(x_1+a)}\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix}C\\D\end{pmatrix} ); したがって、 &math( \begin{pmatrix}E\\F\end{pmatrix}&= \begin{pmatrix}e^{\kappa x_1}&\\&e^{-\kappa x_1}\end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} \begin{pmatrix}C\\D\end{pmatrix}= \underbrace{\begin{pmatrix} 1&1\\ \lambda&-\lambda\\ \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} ik&-ik \end{pmatrix}^{-1}}_{k,-k 成分に変換} \underbrace{\begin{pmatrix} 1&1\\ i&-i\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix}Ae^{ikx_1}\\Be^{-ikx_1}\end{pmatrix} \\&= \begin{pmatrix} e^{\kappa (x_1+a)}&\\&e^{-\kappa (x_1+a)} \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} \kappa&-\kappa\\ \end{pmatrix}}_{\varphi,\varphi' に変換} \underbrace{\begin{pmatrix} e^{\kappa a}\\ &e^{-\kappa a}\\ \end{pmatrix}}_{a だけ伝播} \underbrace{\begin{pmatrix} 1&1\\ \lambda&-\lambda\\ \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} \kappa&-\kappa \end{pmatrix}^{-1}}_{\kappa,-\kappa 成分に変換} \underbrace{\begin{pmatrix} 1&1\\ i&-i\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} Ce^{ik(x_1+a)}\\De^{-ik(x_1+a)}\\ \end{pmatrix} ik&-ik \end{pmatrix}}_{\varphi,\varphi'に変換} \begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix} ); ここから、 計算すると、 &math( &\begin{pmatrix} Ce^{ik(x_1+a)}\\De^{-ik(x_1+a)}\\ \end{pmatrix} \\&= \begin{pmatrix}C\\D\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1&1\\ i&-i\\ \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} 1&1\\ \lambda&-\lambda\\ \cosh(a \kappa)+i\frac{k^2-\kappa^2}{2 k \kappa} \sinh(a \kappa )& -i\frac{k^2+\kappa^2}{2 k \kappa} \sinh (a \kappa)\\ i\frac{k^2+\kappa^2}{2 k \kappa} \sinh (a \kappa)& \cosh(a \kappa)-i\frac{k^2-\kappa^2}{2 k \kappa} \sinh(a \kappa )\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e^{\kappa (x_1+a)}&\\&e^{-\kappa (x_1+a)} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}e^{\kappa x_1}&\\&e^{-\kappa x_1}\end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} 1&1\\ \lambda&-\lambda\\ \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} 1&1\\ i&-i\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix}Ae^{ikx_1}\\Be^{-ikx_1}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix} ); \\&= \frac{1}{4i\lambda} \begin{pmatrix} -i&-1\\ -i&1\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&1\\ \lambda&-\lambda\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e^{\kappa a}&\\&e^{-\kappa a} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -\lambda&-1\\ -\lambda&1\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&1\\ i&-i\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix}Ae^{ikx_1}\\Be^{-ikx_1}\end{pmatrix} となる。この行列は \\&= \frac{1}{4i\lambda} &math( \begin{pmatrix} -(i+\lambda)e^{\kappa a}&-(i-\lambda)e^{-\kappa a}\\ -(i-\lambda)e^{\kappa a}&-(i+\lambda)e^{-\kappa a}\\ s&-it\\ it&\overline s \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -(i+\lambda)&i-\lambda\\ i-\lambda&-(i+\lambda)\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix}Ae^{ikx_1}\\Be^{-ikx_1}\end{pmatrix} \\&= \frac{1}{4i\lambda} \begin{pmatrix} (i+\lambda)^2e^{\kappa a}-(i-\lambda)^2e^{-\kappa a}& (1+\lambda^2)e^{\kappa a}-(1+\lambda^2)e^{-\kappa a}\\ -(1+\lambda^2)e^{\kappa a}+(1+\lambda^2)e^{-\kappa a}& -(i+\lambda)^2e^{\kappa a}+(i-\lambda)^2e^{-\kappa a}\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix}Ae^{ikx_1}\\Be^{-ikx_1}\end{pmatrix} ); ここで、 の形をしているが（&math(t>0);）、 &math( \alpha&=\frac{1}{4i\lambda}\Big[(i+\lambda)^2e^{\kappa a}-(i-\lambda)^2e^{-\kappa a}\Big] =\frac{-\overline X}{2i\lambda} |s|^2&=\left|\cosh(a \kappa)+i\frac{k^2-\kappa^2}{2 k \kappa} \sinh(a \kappa)\right|^2\\ &=\cosh^2(a \kappa)+\left\{\frac{k^2-\kappa^2}{2 k \kappa}\right\}^2 \sinh^2(a \kappa)\\ &=1+\frac{4k^2\kappa^2+(k^2-\kappa^2)^2}{4 k^2 \kappa^2} \sinh^2(a \kappa)\\ &=1+\frac{(k^2+\kappa^2)^2}{4 k^2 \kappa^2} \sinh^2(a \kappa)\\ &=1+t^2 ); より、&math(t=\sqrt{|s|^2-1}); の関係がある。 そこで、実数 &math(r,\theta); を &math(\frac{s}{|s|}=e^{i\theta}); &math(r=\frac{t}{|s|}=\frac{\sqrt{|s|^2-1}}{|s|}); （&math(1-r^2=\frac{1}{|s|^2}); となる） として導入すれば、 &math( Y=\frac{1}{4\lambda}\big[(1+\lambda^2)e^{\kappa a}-(1+\lambda^2)e^{-\kappa a}\big] =\frac{1+\lambda^2}{2\lambda}\sinh \kappa a |s|\begin{pmatrix} s/|s|&-it/|s|\\ it/|s|&\overline s/|s| \end{pmatrix}= \frac{1}{\sqrt{1-r^2}}\begin{pmatrix} e^{i\theta}&-ir\\ ir&e^{-i\theta} \end{pmatrix} ); と置けば、 となって、 &math( \begin{pmatrix}Ce^{ik(x_1+a)}\\De^{-ik(x_1+a)}\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \alpha&-iY\\ iY&\overline\alpha \begin{pmatrix}C\\D\end{pmatrix}= \frac{1}{\sqrt{1-r^2}}\begin{pmatrix} e^{i\theta}&-ir\\ ir&e^{-i\theta} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}Ae^{ikx_1}\\Be^{-ikx_1}\end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix} ); を得る。 以前の結果から、&math(|X|^2=4\lambda^2(1+Y^2)); すなわち、 トンネル問題を考え、&math(A=1, D=0); と置けば、 &math(|\alpha|^2=1+Y^2); &math(B=ire^{i\theta}); &math(\left|\frac{\alpha}{\sqrt{1+Y^2}}\right|^2=1); &math(C=\sqrt{1-r^2}e^{i\theta}); である。そこで、 と求まり、 &math(r=|R|=\frac{Y}{\sqrt{1+Y^2}}); 反射率：&math(|B|^2=r^2);~ 透過率：&math(|C|^2=1-r^2=\frac{1}{|s|^2}); &math(\frac{\alpha}{\sqrt{1+Y^2}}=e^{i\theta}); を得る。 と置けば、 ここから、&math(r,\theta); の物理的意味が分かる。 &math( \begin{pmatrix}Ce^{ik(x_1+a)}\\De^{-ik(x_1+a)}\end{pmatrix}=\frac{1}{\sqrt{1-r^2}} \begin{pmatrix} e^{i\theta}&-ir\\ ir&e^{-i\theta} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}Ae^{ikx_1}\\Be^{-ikx_1}\end{pmatrix}\\ ); &math(r); ： &math(r^2); が反射率~ &math(\theta); 障壁通過による位相の進み トンネル問題を考え、&math(A=1, D=0); の下にこれを解けば 以前の結果と比べると &math(t=Y); であり、 &math(B=R=r\,e^{i2kx_1+i(\theta-\pi/2)}); → 反射波 &math(t=\frac{(k^2+\kappa^2)}{2 k \kappa} \sinh(a \kappa)); &math( Ce^{ik(x_1+a)}&=\frac{1}{\sqrt{1-r^2}}\left( e^{ikx_1+i\theta}-r^2\,e^{ikx_1+i\theta} \right)\\ &=\frac{1}{\sqrt{1-r^2}}e^{ikx_1+i\theta}\left( 1-r^2 \right)\\ &=\sqrt{1-r^2}\,e^{ikx_1+i\theta} ); に対して、 &math(C=T=\sqrt{1-r^2}\,e^{-ikL+i\theta}); → 透過波 &math(r^2=\frac{t}{1+t^2}); となる。 &math(r=|R|); であり、&math(\theta); は反射波の位相の進みを表す。 これだけだと苦労した意味があまりないので、 トンネル障壁が複数ある場合について考える。 * ２重トンネル [#u0e0b560] 厚さ &math(a); の障壁が &math(b); だけ間を置いて連続して２つあるとする。 障壁前を &math(A,B);、障壁の間を &math(C,D);、障壁の後を &math(E,F); で表せば、 １つ目の障壁直前を &math(A,B);、２つ目の障壁直後を &math(C,D); とすれば、 &math( &\begin{pmatrix}Ce^{ika}\\De^{-ika}\end{pmatrix}=\frac{1}{\sqrt{1-r^2}} \begin{pmatrix} e^{i\theta}&-ir\\ ir&e^{-i\theta} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}\\ ); &math( &\begin{pmatrix}Ee^{ik(2a+b)}\\Fe^{-ik(2a+b)}\end{pmatrix}=\frac{1}{\sqrt{1-r^2}} \begin{pmatrix} e^{i\theta}&-ir\\ ir&e^{-i\theta} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}Ce^{ik(a+b)}\\De^{-ik(a+b)}\end{pmatrix}\\ ); より、 &math( \begin{pmatrix}Ee^{ik(2a+b)}\\Fe^{-ik(2a+b)}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}C\\D\end{pmatrix} &= \frac{1}{1-r^2} \begin{pmatrix} e^{i\theta}&-ir\\ ir&e^{-i\theta} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}e^{ikb}&\\&e^{-ikb}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} e^{i\theta}&-ir\\ ir&e^{-i\theta} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}\\ &= \frac{1}{1-r^2} \begin{pmatrix} e^{ikb+i\theta}&-ire^{-ikb}\\ ire^{ikb}&e^{-ikb-i\theta} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e^{i\theta}&-ir\\ ir&e^{-i\theta} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}\\ &= \frac{1}{1-r^2} \begin{pmatrix} e^{ikb+2i\theta}+r^2e^{-ikb}& -ire^{ikb+i\theta}-ire^{-ikb-i\theta}\\ ire^{ikb+i\theta}+ire^{-ikb-i\theta}& r^2e^{ikb}+e^{-ikb-2i\theta} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}\\ ); &math(A=1,F=0); と置くと、 &math(A=1,D=0); と置くと、 &math( |B|^2 &=r^2\left|\frac{e^{ikb+i\theta}+e^{-ikb-i\theta}}{r^2e^{ikb+i\theta}+e^{-ikb-i\theta}}\right|^2\\ &=\frac{4r^2\cos^2(kb+\theta)}{(1+r^2)^2\cos^2(kb+\theta)+(1-r^2)^2\sin^2(kb+\theta)}\\ ); より、透過率は &math( |E|^2=1-|B|^2 |C|^2=1-|B|^2 &=\frac{(1+r^2)^2\cos^2(kb+\theta)+(1-r^2)^2\sin^2(kb+\theta)-4r^2\cos^2(kb+\theta)}{(1+r^2)^2\cos^2(kb+\theta)+(1-r^2)^2\sin^2(kb+\theta)}\\ &=\frac{(1-r^2)^2}{(1+r^2)^2\cos^2(kb+\theta)+(1-r^2)^2\sin^2(kb+\theta)}\\ &=\frac{1}{\left(\frac{1+r^2}{1-r^2}\right)^2\cos^2(kb+\theta)+\sin^2(kb+\theta)}\\ &=\frac{1}{\left[\left(\frac{1+r^2}{1-r^2}\right)^2-1\right]\cos^2(kb+\theta)+1}\\ ); となる。 この値は反射率が高く &math(r\sim 1); である場合にも、&math(\cos^2(kb+\theta)=0); すなわち &math(kb+\theta=\pi(n+1/2)); の条件で透過率が 100% になることを示している。これが共鳴トンネルと呼ばれる現象である。 このとき、２つの障壁に挟まれた井戸の中での確率分布は、 このとき、２つの障壁に挟まれた井戸の中での波動関数を &math(\phi(x)=Ee^{ik(x-a)}+Fe^{-ik(x-a)}); と置けば、 &math( &\begin{pmatrix}Ce^{ika}\\De^{-ika}\end{pmatrix}=\frac{1}{\sqrt{1-r^2}} &\begin{pmatrix}E\\F\end{pmatrix} =\frac{1}{\sqrt{1-r^2}} \begin{pmatrix} e^{i\theta}&-ir\\ ir&e^{-i\theta} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}A\\0\end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}= \frac{1}{\sqrt{1-r^2}} \begin{pmatrix} e^{i\theta}\\ir \end{pmatrix} ); より、 &math( &|\varphi(x)|^2=|Ce^{ikx}+De^{-ikx}|^2\\ &|\varphi(x)|^2=|Ee^{ik(x-a)}+Fe^{-ik(x-a)}|^2\\ &=\frac{1}{1-r^2}\Big[1-r^2 -ire^{i2k(x-a)+i\theta} +ire^{-i2k(x-a)-i\theta} \Big]\\ &=1+\frac{2r}{1-r^2}\sin\{2k(x-a)+\theta\}\\ ); このとき、 &math( |\varphi(a)|^2=1+\frac{2r}{1-r^2}\sin\{\theta\} ); &math( |\varphi(a+b)|^2 &=1+\frac{2r}{1-r^2}\sin(2kb+\theta)\\ &=1+\frac{2r}{1-r^2}\sin\{2(kb+\theta)-\theta\}\\ &=1+\frac{2r}{1-r^2}\sin\{2\pi(n+1/2)-\theta\}\\ &=1+\frac{2r}{1-r^2}\sin\theta\\ ); となり、位相 &math(\theta); だけ染み出すものの、 ほぼ井戸の両端でゼロになっている。 すなわち、共鳴トンネルは入射波エネルギーが 井戸の準定常状態のエネルギーと一致することが条件となっている。 &math(k); が &math(n); 番目の共振波長を &math(k_n); に近いと近似してみると、 &math( |E|^2 |C|^2 &=\frac{1}{\left[\left(\frac{1+r^2}{1-r^2}\right)^2-1\right]\sin^2(b(k-k_n))+1}\\ &\sim\frac{1}{\left(\frac{1-r^2}{2br}\right)^{-2}(k-k_n)^2+1}\\ ); のようにローレンツ型の共振特性が得られる。 このときの半値幅は、&math( \Delta k=\frac{1-r^2}{br} ); となる。 反射率が高く &math(r\sim 1); のとき、 &math(\Delta k\sim\frac{1}{b}(障壁１つあたりの透過率)^2); また、 &math( k-k_n&=\sqrt{2m\varepsilon/\hbar^2}-k_n\\ &=k_n\left(\sqrt{1+(\varepsilon-\varepsilon_n)/\varepsilon_n}-1\right)\\ &=k_n\big\{1+(\varepsilon-\varepsilon_n)/2\varepsilon_n-1\big\}\\ &=\frac{k_n}{2\varepsilon_n}(\varepsilon-\varepsilon_n)\\ ); より、 &math( |E|^2 |C|^2 &\sim\frac{1}{\left(\frac{1-r^2}{2r}\frac{2\varepsilon_n}{k_nb}\right)^{-2}(\varepsilon-\varepsilon_n)^2+1}\\ ); として、エネルギー表示においてもやはりローレンツ型の表示が可能である。 このときのエネルギー幅は、&math( \Delta E \Delta \varepsilon =\frac{1-r^2}{br}\frac{2\varepsilon_n}{k_n} =\frac{1-r^2}{br}\sqrt{\frac{2\hbar^2\varepsilon_n}{m}} ); で、反射率が高いときには &math((1-r^2)/r); はほぼ透過率と等しくなるから、 &math(\Delta E &math(\Delta \varepsilon =\frac{2\varepsilon_n}{k_nb}(障壁１つあたりの透過率)^2 =\sqrt{\frac{2\hbar^2\varepsilon_n}{b^2m}}(障壁１つあたりの透過率)^2 ); となる。 これらのローレンツ型の式は、あくまで &math(k); や &math(\varepsilon); が共振点から離れていないことを前提としており、&math(r); の &math(k); 依存性や、 が共振点に非常に近いことを前提としており、&math(r); の &math(k); 依存性や、 &math(\sin(bk-bk_n)\sim b(k-k_n)); などの１次近似の範囲内でのみ成立することに注意が必要である。 &math( (障壁１つあたりの透過率)=\frac{4\epsilon(V_0-\epsilon)}{V_0^2}\exp\left[-2a\sqrt{\frac{2m}{\hbar^2}(V_0-\varepsilon)}\right] ); なので、エネルギーが高くなればエネルギー幅は広くなる。 &math(k); に対する透過率と、その際の &math(|\varphi(x)|^2); の分布をプロットした。 &attachref; 透過率を &math(\varepsilon); に対する分布とすると次のようになる。 &attachref; - 波数あるいはエネルギーが障壁に挟まれた領域のエネルギー準位に一致すると透過率が１になる -- ピークにおいて、障壁内部の確率密度はその両端でほぼゼロになる - ピーク幅はエネルギーが高くなると広くなる * 非対称２重トンネル [#s83e4299] &math( \begin{pmatrix}Ee^{ik(a+b+a')}\\Fe^{-ik(a+b+a')}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}C\\D\end{pmatrix} &= \frac{1}{\sqrt{1-r^2}\sqrt{1-r'^2}} \begin{pmatrix} e^{i\theta}&-ir\\ ir&e^{-i\theta} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}e^{ikb}&\\&e^{-ikb}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} e^{i\theta'}&-ir'\\ ir'&e^{-i\theta'} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}\\ &= \frac{1}{\sqrt{1-r^2}\sqrt{1-r'^2}} \begin{pmatrix} e^{ikb+i\theta}&-ire^{-ikb}\\ ire^{ikb}&e^{-ikb-i\theta} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e^{i\theta'}&-ir'\\ ir'&e^{-i\theta'} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}\\ &= \frac{1}{\sqrt{1-r^2}\sqrt{1-r'^2}} \begin{pmatrix} e^{ikb+i(\theta+\theta')}+rr'e^{-ikb}& -ir'e^{ikb+i\theta}-ire^{-ikb-i\theta'}\\ ire^{ikb+i\theta'}+ir'e^{-ikb-i\theta}& rr'e^{ikb}+e^{-ikb-i(\theta+\theta')} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}\\ ); &math(A=1,F=0); と置いて、 &math(A=1,D=0); と置いて、 &math( |B|^2 &=\left|\frac{ire^{ikb+i\theta'}+ir'e^{-ikb-i\theta}}{rr'e^{ikb}+e^{-ikb-i(\theta+\theta')}} \right|^2\\ &=\left|\frac{re^{ikb+i(\theta+\theta')/2}+r'e^{-ikb-i(\theta+\theta')/2}} {rr'e^{ikb+i(\theta+\theta')/2}+e^{-ikb-i(\theta+\theta')/2}} \right|^2\\ &=\frac{(r+r')^2\cos^2\{kb+(\theta+\theta')/2\}+(r-r')^2\sin^2\{kb+(\theta+\theta')/2\}} {(rr'+1)^2\cos^2\{kb+(\theta+\theta')/2\}+(rr'-1)^2\sin^2\{kb+(\theta+\theta')/2\}}\\ &=\frac{\{(r+r')^2-(r-r')^2\}\cos^2\{kb+(\theta+\theta')/2\}+(r-r')^2} {\{(rr'+1)^2-(rr'-1)^2\}\cos^2\{kb+(\theta+\theta')/2\}+(rr'-1)^2}\\ &=\frac{4rr'\cos^2\{kb+(\theta+\theta')/2\}+(r-r')^2} {4rr'\cos^2\{kb+(\theta+\theta')/2\}+(1-rr')^2}\\ ); &math( |E|^2=1-|B|^2 |C|^2=1-|B|^2 &=\frac{(1-rr')^2-(r-r')^2} {4rr'\cos^2\{kb+(\theta+\theta')/2\}+(1-rr')^2}\\ &=\frac{1-2rr'+r^2r'^2-r^2+2rr'-r'^2} {4rr'\cos^2\{kb+(\theta+\theta')/2\}+(1-rr')^2}\\ &=\frac{(1-r^2)(1-r'^2)}{(1-rr')^2}\frac{1} {\left\{\frac{1-rr'}{2\sqrt{rr'}}\right\}^{-2}\cos^2\{kb+(\theta+\theta')/2\}+1}\\ ); この関数は &math(kb+(\theta+\theta')/2=\pi(n+1/2)); の時に最大値 &math(\frac{(1-r^2)(1-r'^2)}{(1-rr')^2}); を取る。このとき、 &math( |\varphi(a)|^2=1+\frac{2r}{1-r^2}\sin\{\theta\} ); &math( |\varphi(a+b)|^2 &=1+\frac{2r}{1-r^2}\sin\theta'\\ ); であり、ピーク幅は、 &math( \frac{1-rr'}{b\sqrt{rr'}} ); となる。両側の反射率の相乗平均を取って &math(r_\mathrm{mean}=\sqrt{rr'}); とすると、 &math( \Delta k=\frac{1-r_\mathrm{mean}^2}{br_\mathrm{mean}} ); となり、対称な場合の結果と一致する。 対称２重トンネルの結果が、 &math( \Delta k=\frac{1}{b}(壁１枚の透過率)^2 ); だったのに、 &math( \Delta k\ne\frac{1}{b}(壁１の透過率)(壁２の透過率) ); なのは興味深い。 むしろ、対称な時を &math( \Delta k=\frac{1}{b}\Big[1-(壁１枚の反射率)^2\Big] ); と書き、非対称なときに &math( \Delta k=\frac{1}{b}\Big[1-(壁１の反射率)(壁２の反射率)\Big] ); と書けることが本質であるということか？ * 左右対称３重トンネル [#d6769b17] &math( &\begin{pmatrix}Ge^{ik(2a'+2b+a)}\\He^{-ik(2a'+2b+a)}\end{pmatrix}\\ &\begin{pmatrix}C\\D\end{pmatrix}\\ &= \frac{1}{\sqrt{1-r^2}(1-r'^2)} \begin{pmatrix} e^{i\theta'}&-ir'\\ ir'&e^{-i\theta'} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}e^{ikb}&\\&e^{-ikb}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} e^{i\theta}&-ir\\ ir&e^{-i\theta} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}e^{ikb}&\\&e^{-ikb}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} e^{i\theta'}&-ir'\\ ir'&e^{-i\theta'} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}\\ &= \frac{1}{\sqrt{1-r^2}(1-r'^2)} \begin{pmatrix} e^{i\theta'}&-ir'\\ ir'&e^{-i\theta'} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}e^{ikb}&\\&e^{-ikb}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} e^{ikb+i(\theta+\theta')}+rr'e^{-ikb}& -ir'e^{ikb+i\theta}-ire^{-ikb-i\theta'}\\ ire^{ikb+i\theta'}+ir'e^{-ikb-i\theta}& rr'e^{ikb}+e^{-ikb-i(\theta+\theta')} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}\\ &= \frac{1}{\sqrt{1-r^2}(1-r'^2)} \begin{pmatrix} e^{i\theta'}&-ir'\\ ir'&e^{-i\theta'} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e^{2ikb+i(\theta+\theta')}+rr'& -ir'e^{2ikb+i\theta}-ire^{-i\theta'}\\ ire^{i\theta'}+ir'e^{-2ikb-i\theta}& rr'+e^{-2ikb-i(\theta+\theta')} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}\\ &= \frac{1}{\sqrt{\dots}(\dots)} \begin{pmatrix} e^{2ikb+i(\theta+2\theta')}+r'^2e^{-2ikb-i\theta}+2rr'e^{i\theta'}& -ir'e^{2ikb+i(\theta+\theta')}-ir(1+r'^2) -ir'e^{-2ikb-i(\theta+\theta')}\\ ir'e^{2ikb+i(\theta+\theta')}+ir(1+r'^2)+ir'e^{-2ikb-i(\theta+\theta')}& e^{-2ikb-i(\theta+2\theta')}+r'^2e^{2ikb+i\theta}+2rr'e^{-i\theta'} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}\\ ); &math(A=1,H=0); と置いて、 &math(A=1,D=0); と置いて、 &math( |B|^2 &=\left|\frac{ir'e^{2ikb+i(\theta+\theta')}+ir(1+r'^2)+ir'e^{-2ikb-i(\theta+\theta')}} {e^{-2ikb-i(\theta+2\theta')}+r'^2e^{2ikb+i\theta}+2rr'e^{-i\theta'}}\right|^2\\ &=\frac{\big\{2r'\cos(2kb+\theta+\theta')+r(1+r'^2)\big\}^2} {\left|e^{-2ikb-i(\theta+\theta')}+r'^2e^{2ikb+i(\theta+\theta')}+2rr'\right|^2}\\ &=\frac{\big\{2r'\cos(2kb+\theta+\theta')+r(1+r'^2)\big\}^2} {\left|(1+r'^2)\cos(2kb+\theta+\theta')+2rr'+i(1-r'^2)\sin(kb+\theta+\theta')\right|^2}\\ &=\frac{\big\{2r'\cos(2kb+\theta+\theta')+r(1+r'^2)\big\}^2} {\big\{(1+r'^2)\cos(2kb+\theta+\theta')+2rr'\big\}^2+(1-r'^2)^2\sin^2(kb+\theta+\theta')}\\ &=\frac{\big\{2r'\cos(2kb+\theta+\theta')+r(1+r'^2)\big\}^2} {\big\{(1+r'^2)\cos(2kb+\theta+\theta')+2rr'\big\}^2+(1-r'^2)^2-(1-r'^2)^2\cos^2(kb+\theta+\theta')}\\ ); &math( (分母) =&(1+r'^2)^2\cos^2(2kb+\theta+\theta')+4rr'(1+r'^2)\cos(2kb+\theta+\theta')+4r^2r'^2+\\ &\ \ \ \ (1-r'^2)^2-(1-r'^2)^2\cos^2(kb+\theta+\theta')\\ =&4r'^2\cos^2(2kb+\theta+\theta')+4rr'(1+r'^2)\cos(2kb+\theta+\theta')+4r^2r'^2+(1-r'^2)^2\\ =&\big\{2r'^2\cos^2(2kb+\theta+\theta')+r(1+r'^2)\big\}^2-r^2(1+r'^2)^2+4r^2r'^2+(1-r'^2)^2\\ =&\big\{2r'^2\cos^2(2kb+\theta+\theta')+r(1+r'^2)\big\}^2-r^2(1-r'^2)^2+(1-r'^2)^2\\ =&\big\{2r'^2\cos^2(2kb+\theta+\theta')+r(1+r'^2)\big\}^2+(1-r^2)(1-r'^2)^2\\ ); &math( |E'|^2=1-|B|^2 |C|^2=1-|B|^2 &=\frac{(1-r^2)(1-r'^2)^2} {\big\{2r'\cos(2kb+\theta+\theta')+r(1+r'^2)\big\}^2+(1-r^2)(1-r'^2)^2}\\ &=\frac{1} {\frac{4r'^2}{(1-r^2)(1-r'^2)^2}\big\{\cos(2kb+\theta+\theta')+\frac{r(1+r'^2)}{2r'}\big\}^2+1}\\ ); 透過確率が１になるのは &math( \cos(2kb+\theta+\theta')=-\frac{r(1+r'^2)}{2r'} ); &math(\frac{r(1+r'^2)}{2r'}<1); は &math(r<\frac{2r'}{1+r'^2}); だから、 両側に比べてそこそこ中央が通りやすければ解がある。 その周辺に於いて、 &math( |E'|^2 |C|^2 &=\frac{1} {\frac{4r'^2}{(1-r^2)(1-r'^2)^2}4b^2\left[1-\left(\frac{r(1+r'^2)}{2r'}\right)^2\right](k-k_n)^2+1}\\ &=\frac{1} {4b^2\frac{4r'^2-r^2(1+r'^2)^2}{(1-r^2)(1-r'^2)^2}(k-k_n)^2+1}\\ &=\frac{1} {4b^2\frac{(2r'-r-rr'^2)(2r'+r+rr'^2)}{(1-r^2)(1-r'^2)^2}(k-k_n)^2+1}\\ ); だから、ピーク幅は &math( \Delta k=\frac{\sqrt{(1-r^2)}(1-r'^2)}{b\sqrt{(2r'-r-rr'^2)(2r'+r+rr'^2)}} ); となる。
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