一次元箱形障壁のトンネル/メモ のバックアップの現在との差分(No.3)

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* トンネル障壁再考 [#na9b6dec]
* 目次 [#r99b81c6]

#contents
&katex();

* 1次元トンネル現象再考 [#na9b6dec]

https://m-repo.lib.meiji.ac.jp/dspace/bitstream/10291/5021/1/kyouyoronshu_240_17.pdf

を参考にやってみる。

位置 &math(x_1); から始まる、
厚さ &math(a); 高さ &math(V); のトンネル障壁の手前で
1次元のポテンシャルエネルギーを、
トンネル障壁部分以外で 0、
トンネル障壁部分で &math(V); となるような、
矩形障壁のモデルを考え、
&math(x); が負の無限大から正方向へ振幅1の平面波が入射する条件を考える。

 &math(\varphi(x)=Ae^{ikx}+Be^{-ikx}); &math((x<x_1));
** 距離 $d$ の伝播 [#zd6b101c]

直後で、
ポテンシャルエネルギー &math(V(x)=0); の領域における解は

 &math(\varphi(x)=Ce^{ikx}+De^{-ikx}); &math((x_1+a<x));
 &math(\varphi(x)=A e^{ikx}+B e^{-ikx});

とすると、障壁内での波動関数は
と置ける。このとき、&math(x=x_1); および &math(x=x_1+d); での波動関数を

 &math(\kappa=\frac{1}{\hbar}\sqrt{2mV_0-\hbar^2k^2});
 &math(\varphi(x_1)=\underbrace{Ae^{ikx_1}}_{A_1}+\underbrace{Be^{-ikx_1}}_{B_1});

を用いて
 &math(\varphi(x_1+d)=\underbrace{Ae^{ik(x_1+d)}}_{A_2}+\underbrace{Be^{-ik(x_1+d)}}_{B_2});

 &math(\varphi(x)=Ee^{\kappa x}+Fe^{-\kappa x}); &math(x_1<x<x_1+a));
と書こう。&math(A_1,B_1);, &math(A_2,B_2); はそれぞれ &math(x=x_1, x=x_1+d); 
における、波数 &math(k); の成分と波数 &math(-k); の成分の値である。

と表せることから、両端でなめらかに接続する条件を次の4つの式で表せる。
上式から、

 (1) &math(\varphi(x_1)=Ae^{ikx_1}+Be^{-ikx_1}=Ee^{\kappa x_1}+Fe^{-\kappa x_1});
 &math(
\begin{cases}
A_2=e^{ikd}A_1\\
B_2=e^{-ikd}B_1\\
\end{cases}
);

 (2) &math(\varphi'(x_1)=ikAe^{ikx_1}-ikBe^{-ikx_1}=\kappa Ee^{\kappa x_1}-\kappa Fe^{-\kappa x_1});
の関係があり、これを

 (3) &math(\varphi(x_1+a)=Ee^{\kappa (x_1+a)}+Fe^{-\kappa (x_1+a)}=Ce^{ik(x_1+a)}+De^{-ik(x_1+a)});
 &math(
\begin{pmatrix}
A_2\\
B_2\\
\end{pmatrix}=
\underbrace{
\begin{pmatrix}
e^{ikd}&\\
&e^{-ikd}\\
\end{pmatrix}}_{d\,進んだことによる変化}
\begin{pmatrix}
A_1\\
B_1\\
\end{pmatrix}
);

 (4) &math(\varphi'(x_1+a)=\kappa Ee^{\kappa (x_1+a)}-\kappa Fe^{-\kappa (x_1+a)}
                       =ikCe^{ik(x_1+a)}-ikDe^{-ik(x_1+a)});
と書けることが分かる。

この4つから &math(E,F); を消去し、&math(C,D); を &math(A,B); で表す。
** トンネル障壁 [#zb0d98bc]

(2) に &math(\lambda=\kappa/k); を導入すると、
位置 &math(x_1); から始まる、
厚さ &math(a); 高さ &math(V); のトンネル障壁を考える。

 &math(iAe^{ikx_1}-iBe^{-ikx_1}=\lambda Ee^{\kappa x_1}-\lambda Fe^{-\kappa x_1});
障壁の直前・直後の &math(k); 成分、&math(-k); 成分の値を 
&math(A,B); および &math(C,D); とする。

(1) と合わせて、
すなわち、障壁前後の波動関数を、

 障壁前: &math(\varphi(x)=Ae^{ik(x-x_1)}+Be^{-ik(x-x_1)});  &math(x<x_1);

 障壁後: &math(\varphi(x)=Ce^{ik(x-x_1-a)}+De^{-ik(x-x_1-a)});  &math(x_1+a<x);

と置いたことになる。

障壁内での波動関数は

 &math(\kappa=\frac{1}{\hbar}\sqrt{2mV_0-\hbar^2k^2});

および障壁入射直後の &math(\kappa,-\kappa); 成分 &math(E,F); を用いて

 &math(\varphi(x)=Ee^{\kappa (x-x_1)}+Fe^{-\kappa (x-x_1)}); &math(x_1<x<x_1+a));

と表せるから、両端で障壁内外の波動関数がなめらかに接続する条件を次の4つの式で表せる。

 (1) &math(\varphi(x_1)=A+B=E+F);

 (2) &math(\varphi'(x_1)=ikA-ikB=\kappa E-\kappa F);

 (3) &math(\varphi(x_1+a)=Ee^{\kappa a}+Fe^{-\kappa a}=C+D);

 (4) &math(\varphi'(x_1+a)=\kappa Ee^{\kappa a}-\kappa Fe^{-\kappa a}=ikC-ikD);

(1), (2) より、
 &math(
\begin{pmatrix}
1&1\\
i&-i\\
ik&-ik
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}Ae^{ikx_1}\\Be^{-ikx_1}\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
1&1\\
\lambda&-\lambda\\
\kappa&-\kappa
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}Ee^{\kappa x_1}\\Fe^{-\kappa x_1}\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1&1\\
\lambda&-\lambda\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}e^{\kappa x_1}&\\&e^{-\kappa x_1}\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}E\\F\end{pmatrix}
);

(4) に &math(\lambda=\kappa/k); を導入すると、

 &math(\lambda Ee^{\kappa (x_1+a)}-\lambda Fe^{-\kappa (x_1+a)}
=iCe^{ik(x_1+a)}-iDe^{-ik(x_1+a)});

(3) と合わせて、

(3), 42) より、
 &math(
\begin{pmatrix}
1&1\\
\lambda&-\lambda\\
e^{\kappa a}&e^{-\kappa a}\\
\kappa e^{\kappa a}&-\kappa e^{-\kappa a}\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}E\\F\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
Ee^{\kappa (x_1+a)}\\Fe^{-\kappa (x_1+a)}
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
1&1\\
i&-i\\
\kappa&-\kappa\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
e^{\kappa (x_1+a)}&\\&e^{-\kappa (x_1+a)}
e^{\kappa a}\\
&e^{-\kappa a}\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}E\\F\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
1&1\\
\lambda&-\lambda\\
ik&-ik
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
Ce^{ik(x_1+a)}\\De^{-ik(x_1+a)}\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}C\\D\end{pmatrix}
);

したがって、

 &math(
\begin{pmatrix}E\\F\end{pmatrix}&=
\begin{pmatrix}e^{\kappa x_1}&\\&e^{-\kappa x_1}\end{pmatrix}^{-1}
\begin{pmatrix}
\begin{pmatrix}C\\D\end{pmatrix}=
\underbrace{\begin{pmatrix}
1&1\\
\lambda&-\lambda\\
\end{pmatrix}^{-1}
\begin{pmatrix}
ik&-ik
\end{pmatrix}^{-1}}_{k,-k 成分に変換}
\underbrace{\begin{pmatrix}
1&1\\
i&-i\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}Ae^{ikx_1}\\Be^{-ikx_1}\end{pmatrix}
\\&=
\begin{pmatrix}
e^{\kappa (x_1+a)}&\\&e^{-\kappa (x_1+a)}
\end{pmatrix}^{-1}
\begin{pmatrix}
\kappa&-\kappa\\
\end{pmatrix}}_{\varphi,\varphi' に変換}
\underbrace{\begin{pmatrix}
e^{\kappa a}\\
&e^{-\kappa a}\\
\end{pmatrix}}_{a だけ伝播}
\underbrace{\begin{pmatrix}
1&1\\
\lambda&-\lambda\\
\end{pmatrix}^{-1}
\begin{pmatrix}
\kappa&-\kappa
\end{pmatrix}^{-1}}_{\kappa,-\kappa 成分に変換}
\underbrace{\begin{pmatrix}
1&1\\
i&-i\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
Ce^{ik(x_1+a)}\\De^{-ik(x_1+a)}\\
\end{pmatrix}
ik&-ik
\end{pmatrix}}_{\varphi,\varphi'に変換}
\begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}
);

ここから、
計算すると、

 &math(
&\begin{pmatrix}
Ce^{ik(x_1+a)}\\De^{-ik(x_1+a)}\\
\end{pmatrix}

\\&=
\begin{pmatrix}C\\D\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
1&1\\
i&-i\\
\end{pmatrix}^{-1}
\begin{pmatrix}
1&1\\
\lambda&-\lambda\\
 \cosh(a \kappa)+i\frac{k^2-\kappa^2}{2 k \kappa} \sinh(a \kappa )& 
-i\frac{k^2+\kappa^2}{2 k \kappa} \sinh (a \kappa)\\
 i\frac{k^2+\kappa^2}{2 k \kappa} \sinh (a \kappa)& 
 \cosh(a \kappa)-i\frac{k^2-\kappa^2}{2 k \kappa} \sinh(a \kappa )\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
e^{\kappa (x_1+a)}&\\&e^{-\kappa (x_1+a)}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}e^{\kappa x_1}&\\&e^{-\kappa x_1}\end{pmatrix}^{-1}
\begin{pmatrix}
1&1\\
\lambda&-\lambda\\
\end{pmatrix}^{-1}
\begin{pmatrix}
1&1\\
i&-i\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}Ae^{ikx_1}\\Be^{-ikx_1}\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}
);

\\&=
\frac{1}{4i\lambda}
\begin{pmatrix}
-i&-1\\
-i&1\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1&1\\
\lambda&-\lambda\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
e^{\kappa a}&\\&e^{-\kappa a}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
-\lambda&-1\\
-\lambda&1\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1&1\\
i&-i\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}Ae^{ikx_1}\\Be^{-ikx_1}\end{pmatrix}
となる。この行列は

\\&=
\frac{1}{4i\lambda}
 &math(
\begin{pmatrix}
-(i+\lambda)e^{\kappa a}&-(i-\lambda)e^{-\kappa a}\\
-(i-\lambda)e^{\kappa a}&-(i+\lambda)e^{-\kappa a}\\
s&-it\\
it&\overline s
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
-(i+\lambda)&i-\lambda\\
i-\lambda&-(i+\lambda)\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}Ae^{ikx_1}\\Be^{-ikx_1}\end{pmatrix}

\\&=
\frac{1}{4i\lambda}
\begin{pmatrix}
(i+\lambda)^2e^{\kappa a}-(i-\lambda)^2e^{-\kappa a}&
(1+\lambda^2)e^{\kappa a}-(1+\lambda^2)e^{-\kappa a}\\
-(1+\lambda^2)e^{\kappa a}+(1+\lambda^2)e^{-\kappa a}&
-(i+\lambda)^2e^{\kappa a}+(i-\lambda)^2e^{-\kappa a}\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}Ae^{ikx_1}\\Be^{-ikx_1}\end{pmatrix}
);

ここで、
の形をしているが(&math(t>0);)、

 &math(
\alpha&=\frac{1}{4i\lambda}\Big[(i+\lambda)^2e^{\kappa a}-(i-\lambda)^2e^{-\kappa a}\Big]
=\frac{-\overline X}{2i\lambda}
|s|^2&=\left|\cosh(a \kappa)+i\frac{k^2-\kappa^2}{2 k \kappa} \sinh(a \kappa)\right|^2\\
&=\cosh^2(a \kappa)+\left\{\frac{k^2-\kappa^2}{2 k \kappa}\right\}^2 \sinh^2(a \kappa)\\
&=1+\frac{4k^2\kappa^2+(k^2-\kappa^2)^2}{4 k^2 \kappa^2} \sinh^2(a \kappa)\\
&=1+\frac{(k^2+\kappa^2)^2}{4 k^2 \kappa^2} \sinh^2(a \kappa)\\
&=1+t^2
);

より、&math(t=\sqrt{|s|^2-1}); の関係がある。

そこで、実数 &math(r,\theta); を

 &math(\frac{s}{|s|}=e^{i\theta});

 &math(r=\frac{t}{|s|}=\frac{\sqrt{|s|^2-1}}{|s|});  (&math(1-r^2=\frac{1}{|s|^2}); となる)

として導入すれば、

 &math(
Y=\frac{1}{4\lambda}\big[(1+\lambda^2)e^{\kappa a}-(1+\lambda^2)e^{-\kappa a}\big]
=\frac{1+\lambda^2}{2\lambda}\sinh \kappa a
|s|\begin{pmatrix}
s/|s|&-it/|s|\\
it/|s|&\overline s/|s|
\end{pmatrix}=
\frac{1}{\sqrt{1-r^2}}\begin{pmatrix}
e^{i\theta}&-ir\\
ir&e^{-i\theta}
\end{pmatrix}
);

と置けば、
となって、

 &math(
\begin{pmatrix}Ce^{ik(x_1+a)}\\De^{-ik(x_1+a)}\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
\alpha&-iY\\
iY&\overline\alpha
\begin{pmatrix}C\\D\end{pmatrix}=
\frac{1}{\sqrt{1-r^2}}\begin{pmatrix}
e^{i\theta}&-ir\\
ir&e^{-i\theta}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}Ae^{ikx_1}\\Be^{-ikx_1}\end{pmatrix}\\
\begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}
);

を得る。

以前の結果から、&math(|X|^2=4\lambda^2(1+Y^2)); すなわち、
トンネル問題を考え、&math(A=1, D=0); と置けば、

 &math(|\alpha|^2=1+Y^2);
 &math(B=ire^{i\theta});

 &math(\left|\frac{\alpha}{\sqrt{1+Y^2}}\right|^2=1);
 &math(C=\sqrt{1-r^2}e^{i\theta});

である。そこで、
と求まり、

 &math(r=|R|=\frac{Y}{\sqrt{1+Y^2}});
 反射率:&math(|B|^2=r^2);~
 透過率:&math(|C|^2=1-r^2=\frac{1}{|s|^2});

 &math(\frac{\alpha}{\sqrt{1+Y^2}}=e^{i\theta});
を得る。

と置けば、
ここから、&math(r,\theta); の物理的意味が分かる。

 &math(
\begin{pmatrix}Ce^{ik(x_1+a)}\\De^{-ik(x_1+a)}\end{pmatrix}=\frac{1}{\sqrt{1-r^2}}
\begin{pmatrix}
e^{i\theta}&-ir\\
ir&e^{-i\theta}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}Ae^{ikx_1}\\Be^{-ikx_1}\end{pmatrix}\\
);
 &math(r); : &math(r^2); が反射率~
 &math(\theta); 障壁通過による位相の進み

トンネル問題を考え、&math(A=1, D=0); の下にこれを解けば
以前の結果と比べると &math(t=Y); であり、

 &math(B=R=r\,e^{i2kx_1+i(\theta-\pi/2)}); → 反射波
 &math(t=\frac{(k^2+\kappa^2)}{2 k \kappa} \sinh(a \kappa));

 &math(
Ce^{ik(x_1+a)}&=\frac{1}{\sqrt{1-r^2}}\left(
e^{ikx_1+i\theta}-r^2\,e^{ikx_1+i\theta}
\right)\\
&=\frac{1}{\sqrt{1-r^2}}e^{ikx_1+i\theta}\left(
1-r^2
\right)\\
&=\sqrt{1-r^2}\,e^{ikx_1+i\theta}
);
に対して、

 &math(C=T=\sqrt{1-r^2}\,e^{-ikL+i\theta}); → 透過波
 &math(r^2=\frac{t}{1+t^2});

となる。

&math(r=|R|); であり、&math(\theta); は反射波の位相の進みを表す。


これだけだと苦労した意味があまりないので、
トンネル障壁が複数ある場合について考える。

* 2重トンネル [#u0e0b560]

厚さ &math(a); の障壁が &math(b); だけ間を置いて連続して2つあるとする。

障壁前を &math(A,B);、障壁の間を &math(C,D);、障壁の後を &math(E,F); で表せば、
1つ目の障壁直前を &math(A,B);、2つ目の障壁直後を &math(C,D); とすれば、

 &math(
&\begin{pmatrix}Ce^{ika}\\De^{-ika}\end{pmatrix}=\frac{1}{\sqrt{1-r^2}}
\begin{pmatrix}
e^{i\theta}&-ir\\
ir&e^{-i\theta}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}\\
);

 &math(
&\begin{pmatrix}Ee^{ik(2a+b)}\\Fe^{-ik(2a+b)}\end{pmatrix}=\frac{1}{\sqrt{1-r^2}}
\begin{pmatrix}
e^{i\theta}&-ir\\
ir&e^{-i\theta}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}Ce^{ik(a+b)}\\De^{-ik(a+b)}\end{pmatrix}\\
);

より、

 &math(
\begin{pmatrix}Ee^{ik(2a+b)}\\Fe^{-ik(2a+b)}\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}C\\D\end{pmatrix}
&=
\frac{1}{1-r^2}
\begin{pmatrix}
e^{i\theta}&-ir\\
ir&e^{-i\theta}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}e^{ikb}&\\&e^{-ikb}\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
e^{i\theta}&-ir\\
ir&e^{-i\theta}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}\\
&=
\frac{1}{1-r^2}
\begin{pmatrix}
e^{ikb+i\theta}&-ire^{-ikb}\\
ire^{ikb}&e^{-ikb-i\theta}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
e^{i\theta}&-ir\\
ir&e^{-i\theta}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}\\
&=
\frac{1}{1-r^2}
\begin{pmatrix}
e^{ikb+2i\theta}+r^2e^{-ikb}&
-ire^{ikb+i\theta}-ire^{-ikb-i\theta}\\
ire^{ikb+i\theta}+ire^{-ikb-i\theta}&
r^2e^{ikb}+e^{-ikb-2i\theta}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}\\
);

&math(A=1,F=0); と置くと、
&math(A=1,D=0); と置くと、

 &math(
|B|^2
&=r^2\left|\frac{e^{ikb+i\theta}+e^{-ikb-i\theta}}{r^2e^{ikb+i\theta}+e^{-ikb-i\theta}}\right|^2\\
&=\frac{4r^2\cos^2(kb+\theta)}{(1+r^2)^2\cos^2(kb+\theta)+(1-r^2)^2\sin^2(kb+\theta)}\\
);

より、透過率は

 &math(
|E|^2=1-|B|^2
|C|^2=1-|B|^2
&=\frac{(1+r^2)^2\cos^2(kb+\theta)+(1-r^2)^2\sin^2(kb+\theta)-4r^2\cos^2(kb+\theta)}{(1+r^2)^2\cos^2(kb+\theta)+(1-r^2)^2\sin^2(kb+\theta)}\\
&=\frac{(1-r^2)^2}{(1+r^2)^2\cos^2(kb+\theta)+(1-r^2)^2\sin^2(kb+\theta)}\\
&=\frac{1}{\left(\frac{1+r^2}{1-r^2}\right)^2\cos^2(kb+\theta)+\sin^2(kb+\theta)}\\
&=\frac{1}{\left[\left(\frac{1+r^2}{1-r^2}\right)^2-1\right]\cos^2(kb+\theta)+1}\\
);

となる。

この値は反射率が高く &math(r\sim 1); である場合にも、&math(\cos^2(kb+\theta)=0); 
すなわち &math(kb+\theta=\pi(n+1/2)); 
の条件で透過率が 100% になることを示している。これが共鳴トンネルと呼ばれる現象である。

このとき、2つの障壁に挟まれた井戸の中での確率分布は、
このとき、2つの障壁に挟まれた井戸の中での波動関数を

 &math(\phi(x)=Ee^{ik(x-a)}+Fe^{-ik(x-a)}); 

と置けば、

 &math(
&\begin{pmatrix}Ce^{ika}\\De^{-ika}\end{pmatrix}=\frac{1}{\sqrt{1-r^2}}
&\begin{pmatrix}E\\F\end{pmatrix}
=\frac{1}{\sqrt{1-r^2}}
\begin{pmatrix}
e^{i\theta}&-ir\\
ir&e^{-i\theta}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}A\\0\end{pmatrix}\\
\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}=
\frac{1}{\sqrt{1-r^2}}
\begin{pmatrix}
e^{i\theta}\\ir
\end{pmatrix}
);

より、

 &math(
&|\varphi(x)|^2=|Ce^{ikx}+De^{-ikx}|^2\\
&|\varphi(x)|^2=|Ee^{ik(x-a)}+Fe^{-ik(x-a)}|^2\\
&=\frac{1}{1-r^2}\Big[1-r^2
-ire^{i2k(x-a)+i\theta}
+ire^{-i2k(x-a)-i\theta}
\Big]\\
&=1+\frac{2r}{1-r^2}\sin\{2k(x-a)+\theta\}\\
);

このとき、

 &math(
|\varphi(a)|^2=1+\frac{2r}{1-r^2}\sin\{\theta\}
);

 &math(
|\varphi(a+b)|^2
&=1+\frac{2r}{1-r^2}\sin(2kb+\theta)\\
&=1+\frac{2r}{1-r^2}\sin\{2(kb+\theta)-\theta\}\\
&=1+\frac{2r}{1-r^2}\sin\{2\pi(n+1/2)-\theta\}\\
&=1+\frac{2r}{1-r^2}\sin\theta\\
);

となり、位相 &math(\theta); だけ染み出すものの、
ほぼ井戸の両端でゼロになっている。

すなわち、共鳴トンネルは入射波エネルギーが
井戸の準定常状態のエネルギーと一致することが条件となっている。

&math(k); が &math(n); 番目の共振波長を &math(k_n); に近いと近似してみると、

 &math(
|E|^2
|C|^2
&=\frac{1}{\left[\left(\frac{1+r^2}{1-r^2}\right)^2-1\right]\sin^2(b(k-k_n))+1}\\
&\sim\frac{1}{\left(\frac{1-r^2}{2br}\right)^{-2}(k-k_n)^2+1}\\
);

のようにローレンツ型の共振特性が得られる。

このときの半値幅は、&math(
\Delta k=\frac{1-r^2}{br}
); となる。

反射率が高く &math(r\sim 1); のとき、

 &math(\Delta k\sim\frac{1}{b}(障壁1つあたりの透過率)^2);

また、

 &math(
k-k_n&=\sqrt{2m\varepsilon/\hbar^2}-k_n\\
&=k_n\left(\sqrt{1+(\varepsilon-\varepsilon_n)/\varepsilon_n}-1\right)\\
&=k_n\big\{1+(\varepsilon-\varepsilon_n)/2\varepsilon_n-1\big\}\\
&=\frac{k_n}{2\varepsilon_n}(\varepsilon-\varepsilon_n)\\
);

より、

 &math(
|E|^2
|C|^2
&\sim\frac{1}{\left(\frac{1-r^2}{2r}\frac{2\varepsilon_n}{k_nb}\right)^{-2}(\varepsilon-\varepsilon_n)^2+1}\\
);

として、エネルギー表示においてもやはりローレンツ型の表示が可能である。

このときのエネルギー幅は、&math(
\Delta E
\Delta \varepsilon
=\frac{1-r^2}{br}\frac{2\varepsilon_n}{k_n}
=\frac{1-r^2}{br}\sqrt{\frac{2\hbar^2\varepsilon_n}{m}}
);
で、反射率が高いときには &math((1-r^2)/r); はほぼ透過率と等しくなるから、

 &math(\Delta E
 &math(\Delta \varepsilon
=\frac{2\varepsilon_n}{k_nb}(障壁1つあたりの透過率)^2
=\sqrt{\frac{2\hbar^2\varepsilon_n}{b^2m}}(障壁1つあたりの透過率)^2
);

となる。

これらのローレンツ型の式は、あくまで &math(k); や &math(\varepsilon); 
が共振点から離れていないことを前提としており、&math(r); の &math(k); 依存性や、
が共振点に非常に近いことを前提としており、&math(r); の &math(k); 依存性や、
&math(\sin(bk-bk_n)\sim b(k-k_n)); などの1次近似の範囲内でのみ成立することに注意が必要である。

 &math(
(障壁1つあたりの透過率)=\frac{4\epsilon(V_0-\epsilon)}{V_0^2}\exp\left[-2a\sqrt{\frac{2m}{\hbar^2}(V_0-\varepsilon)}\right]
);

なので、エネルギーが高くなればエネルギー幅は広くなる。

&math(k); に対する透過率と、その際の &math(|\varphi(x)|^2); の分布をプロットした。

&attachref;

透過率を &math(\varepsilon); に対する分布とすると次のようになる。

&attachref;

- 波数あるいはエネルギーが障壁に挟まれた領域のエネルギー準位に一致すると透過率が1になる
-- ピークにおいて、障壁内部の確率密度はその両端でほぼゼロになる
- ピーク幅はエネルギーが高くなると広くなる

* 非対称2重トンネル [#s83e4299]

 &math(
\begin{pmatrix}Ee^{ik(a+b+a')}\\Fe^{-ik(a+b+a')}\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}C\\D\end{pmatrix}
&=
\frac{1}{\sqrt{1-r^2}\sqrt{1-r'^2}}
\begin{pmatrix}
e^{i\theta}&-ir\\
ir&e^{-i\theta}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}e^{ikb}&\\&e^{-ikb}\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
e^{i\theta'}&-ir'\\
ir'&e^{-i\theta'}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}\\
&=
\frac{1}{\sqrt{1-r^2}\sqrt{1-r'^2}}
\begin{pmatrix}
e^{ikb+i\theta}&-ire^{-ikb}\\
ire^{ikb}&e^{-ikb-i\theta}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
e^{i\theta'}&-ir'\\
ir'&e^{-i\theta'}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}\\
&=
\frac{1}{\sqrt{1-r^2}\sqrt{1-r'^2}}
\begin{pmatrix}
e^{ikb+i(\theta+\theta')}+rr'e^{-ikb}&
-ir'e^{ikb+i\theta}-ire^{-ikb-i\theta'}\\
ire^{ikb+i\theta'}+ir'e^{-ikb-i\theta}&
rr'e^{ikb}+e^{-ikb-i(\theta+\theta')}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}\\
);

&math(A=1,F=0); と置いて、
&math(A=1,D=0); と置いて、

 &math(
|B|^2
&=\left|\frac{ire^{ikb+i\theta'}+ir'e^{-ikb-i\theta}}{rr'e^{ikb}+e^{-ikb-i(\theta+\theta')}}
\right|^2\\
&=\left|\frac{re^{ikb+i(\theta+\theta')/2}+r'e^{-ikb-i(\theta+\theta')/2}}
{rr'e^{ikb+i(\theta+\theta')/2}+e^{-ikb-i(\theta+\theta')/2}}
\right|^2\\
&=\frac{(r+r')^2\cos^2\{kb+(\theta+\theta')/2\}+(r-r')^2\sin^2\{kb+(\theta+\theta')/2\}}
{(rr'+1)^2\cos^2\{kb+(\theta+\theta')/2\}+(rr'-1)^2\sin^2\{kb+(\theta+\theta')/2\}}\\
&=\frac{\{(r+r')^2-(r-r')^2\}\cos^2\{kb+(\theta+\theta')/2\}+(r-r')^2}
{\{(rr'+1)^2-(rr'-1)^2\}\cos^2\{kb+(\theta+\theta')/2\}+(rr'-1)^2}\\
&=\frac{4rr'\cos^2\{kb+(\theta+\theta')/2\}+(r-r')^2}
{4rr'\cos^2\{kb+(\theta+\theta')/2\}+(1-rr')^2}\\
);

 &math(
|E|^2=1-|B|^2
|C|^2=1-|B|^2
&=\frac{(1-rr')^2-(r-r')^2}
{4rr'\cos^2\{kb+(\theta+\theta')/2\}+(1-rr')^2}\\
&=\frac{1-2rr'+r^2r'^2-r^2+2rr'-r'^2}
{4rr'\cos^2\{kb+(\theta+\theta')/2\}+(1-rr')^2}\\
&=\frac{(1-r^2)(1-r'^2)}{(1-rr')^2}\frac{1}
{\left\{\frac{1-rr'}{2\sqrt{rr'}}\right\}^{-2}\cos^2\{kb+(\theta+\theta')/2\}+1}\\
);

この関数は &math(kb+(\theta+\theta')/2=\pi(n+1/2)); の時に最大値

 &math(\frac{(1-r^2)(1-r'^2)}{(1-rr')^2});

を取る。このとき、

 &math(
|\varphi(a)|^2=1+\frac{2r}{1-r^2}\sin\{\theta\}
);

 &math(
|\varphi(a+b)|^2
&=1+\frac{2r}{1-r^2}\sin\theta'\\
);

であり、ピーク幅は、

 &math(
\frac{1-rr'}{b\sqrt{rr'}}
);

となる。両側の反射率の相乗平均を取って &math(r_\mathrm{mean}=\sqrt{rr'}); とすると、

 &math(
\Delta k=\frac{1-r_\mathrm{mean}^2}{br_\mathrm{mean}}
);

となり、対称な場合の結果と一致する。

対称2重トンネルの結果が、

 &math(
\Delta k=\frac{1}{b}(壁1枚の透過率)^2
);

だったのに、

 &math(
\Delta k\ne\frac{1}{b}(壁1の透過率)(壁2の透過率)
);

なのは興味深い。

むしろ、対称な時を

 &math(
\Delta k=\frac{1}{b}\Big[1-(壁1枚の反射率)^2\Big]
);

と書き、非対称なときに

 &math(
\Delta k=\frac{1}{b}\Big[1-(壁1の反射率)(壁2の反射率)\Big]
);

と書けることが本質であるということか?

* 左右対称3重トンネル [#d6769b17]

 &math(
&\begin{pmatrix}Ge^{ik(2a'+2b+a)}\\He^{-ik(2a'+2b+a)}\end{pmatrix}\\
&\begin{pmatrix}C\\D\end{pmatrix}\\
&=
\frac{1}{\sqrt{1-r^2}(1-r'^2)}
\begin{pmatrix}
e^{i\theta'}&-ir'\\
ir'&e^{-i\theta'}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}e^{ikb}&\\&e^{-ikb}\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
e^{i\theta}&-ir\\
ir&e^{-i\theta}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}e^{ikb}&\\&e^{-ikb}\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
e^{i\theta'}&-ir'\\
ir'&e^{-i\theta'}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}\\
&=
\frac{1}{\sqrt{1-r^2}(1-r'^2)}
\begin{pmatrix}
e^{i\theta'}&-ir'\\
ir'&e^{-i\theta'}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}e^{ikb}&\\&e^{-ikb}\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
e^{ikb+i(\theta+\theta')}+rr'e^{-ikb}&
-ir'e^{ikb+i\theta}-ire^{-ikb-i\theta'}\\
ire^{ikb+i\theta'}+ir'e^{-ikb-i\theta}&
rr'e^{ikb}+e^{-ikb-i(\theta+\theta')}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}\\
&=
\frac{1}{\sqrt{1-r^2}(1-r'^2)}
\begin{pmatrix}
e^{i\theta'}&-ir'\\
ir'&e^{-i\theta'}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
e^{2ikb+i(\theta+\theta')}+rr'&
-ir'e^{2ikb+i\theta}-ire^{-i\theta'}\\
ire^{i\theta'}+ir'e^{-2ikb-i\theta}&
rr'+e^{-2ikb-i(\theta+\theta')}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}\\
&=
\frac{1}{\sqrt{\dots}(\dots)}
\begin{pmatrix}
e^{2ikb+i(\theta+2\theta')}+r'^2e^{-2ikb-i\theta}+2rr'e^{i\theta'}&
-ir'e^{2ikb+i(\theta+\theta')}-ir(1+r'^2)
-ir'e^{-2ikb-i(\theta+\theta')}\\
ir'e^{2ikb+i(\theta+\theta')}+ir(1+r'^2)+ir'e^{-2ikb-i(\theta+\theta')}&
e^{-2ikb-i(\theta+2\theta')}+r'^2e^{2ikb+i\theta}+2rr'e^{-i\theta'}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}\\
);

&math(A=1,H=0); と置いて、
&math(A=1,D=0); と置いて、

 &math(
|B|^2
&=\left|\frac{ir'e^{2ikb+i(\theta+\theta')}+ir(1+r'^2)+ir'e^{-2ikb-i(\theta+\theta')}}
{e^{-2ikb-i(\theta+2\theta')}+r'^2e^{2ikb+i\theta}+2rr'e^{-i\theta'}}\right|^2\\
&=\frac{\big\{2r'\cos(2kb+\theta+\theta')+r(1+r'^2)\big\}^2}
{\left|e^{-2ikb-i(\theta+\theta')}+r'^2e^{2ikb+i(\theta+\theta')}+2rr'\right|^2}\\
&=\frac{\big\{2r'\cos(2kb+\theta+\theta')+r(1+r'^2)\big\}^2}
{\left|(1+r'^2)\cos(2kb+\theta+\theta')+2rr'+i(1-r'^2)\sin(kb+\theta+\theta')\right|^2}\\
&=\frac{\big\{2r'\cos(2kb+\theta+\theta')+r(1+r'^2)\big\}^2}
{\big\{(1+r'^2)\cos(2kb+\theta+\theta')+2rr'\big\}^2+(1-r'^2)^2\sin^2(kb+\theta+\theta')}\\
&=\frac{\big\{2r'\cos(2kb+\theta+\theta')+r(1+r'^2)\big\}^2}
{\big\{(1+r'^2)\cos(2kb+\theta+\theta')+2rr'\big\}^2+(1-r'^2)^2-(1-r'^2)^2\cos^2(kb+\theta+\theta')}\\
);

 &math(
(分母)
=&(1+r'^2)^2\cos^2(2kb+\theta+\theta')+4rr'(1+r'^2)\cos(2kb+\theta+\theta')+4r^2r'^2+\\
&\ \ \ \ (1-r'^2)^2-(1-r'^2)^2\cos^2(kb+\theta+\theta')\\
=&4r'^2\cos^2(2kb+\theta+\theta')+4rr'(1+r'^2)\cos(2kb+\theta+\theta')+4r^2r'^2+(1-r'^2)^2\\
=&\big\{2r'^2\cos^2(2kb+\theta+\theta')+r(1+r'^2)\big\}^2-r^2(1+r'^2)^2+4r^2r'^2+(1-r'^2)^2\\
=&\big\{2r'^2\cos^2(2kb+\theta+\theta')+r(1+r'^2)\big\}^2-r^2(1-r'^2)^2+(1-r'^2)^2\\
=&\big\{2r'^2\cos^2(2kb+\theta+\theta')+r(1+r'^2)\big\}^2+(1-r^2)(1-r'^2)^2\\
);

 &math(
|E'|^2=1-|B|^2
|C|^2=1-|B|^2
&=\frac{(1-r^2)(1-r'^2)^2}
{\big\{2r'\cos(2kb+\theta+\theta')+r(1+r'^2)\big\}^2+(1-r^2)(1-r'^2)^2}\\
&=\frac{1}
{\frac{4r'^2}{(1-r^2)(1-r'^2)^2}\big\{\cos(2kb+\theta+\theta')+\frac{r(1+r'^2)}{2r'}\big\}^2+1}\\
);

透過確率が1になるのは

 &math(
\cos(2kb+\theta+\theta')=-\frac{r(1+r'^2)}{2r'}
);

&math(\frac{r(1+r'^2)}{2r'}<1); は &math(r<\frac{2r'}{1+r'^2}); だから、
両側に比べてそこそこ中央が通りやすければ解がある。

その周辺に於いて、

 &math(
|E'|^2
|C|^2
&=\frac{1}
{\frac{4r'^2}{(1-r^2)(1-r'^2)^2}4b^2\left[1-\left(\frac{r(1+r'^2)}{2r'}\right)^2\right](k-k_n)^2+1}\\
&=\frac{1}
{4b^2\frac{4r'^2-r^2(1+r'^2)^2}{(1-r^2)(1-r'^2)^2}(k-k_n)^2+1}\\
&=\frac{1}
{4b^2\frac{(2r'-r-rr'^2)(2r'+r+rr'^2)}{(1-r^2)(1-r'^2)^2}(k-k_n)^2+1}\\
);

だから、ピーク幅は

 &math(
\Delta k=\frac{\sqrt{(1-r^2)}(1-r'^2)}{b\sqrt{(2r'-r-rr'^2)(2r'+r+rr'^2)}}
);

となる。


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