量子力学Ⅰ/固有値と期待値/メモ のバックアップ(No.6)

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概要

量子力学Ⅰ/固有値と期待値 のページへの補足です。

演習:物理量を表わす演算子のエルミート性

解答

(1)

f(x) が実数であれば f^*(x)=f(x) であることに注意して、

 &math(\begin{array}{lll} \displaystyle\int_{-\infty}^\infty\varphi_1^*(x)\hat f\varphi_2(x)\,dx &\displaystyle=\int_{-\infty}^\infty\varphi_1^*(x)f(x)\varphi_2(x)\,dx\\ &\displaystyle=\int_{-\infty}^\infty f(x)\varphi_1^*(x)\varphi_2(x)\,dx &\hspace{1cm}数値の入れ替え\rule{0pt}{2em}\\ &\displaystyle=\int_{-\infty}^\infty f^*(x)\varphi_1^*(x)\varphi_2(x)\,dx &\hspace{1cm}f^*(x)=f(x)\rule{0pt}{2em}\\ &\displaystyle=\int_{-\infty}^\infty \big(f(x)\varphi_1(x)\big)^*\varphi_2(x)\,dx\rule{0pt}{2em}\\ &\displaystyle=\int_{-\infty}^\infty \big(\hat f\varphi_1(x)\big)^*\varphi_2(x)\,dx\rule{0pt}{2em}\\ \end{array} );

(2)

 &math( \int_{-\infty}^\infty\varphi_1^*(x)\frac{d}{d x}\varphi_2(x)\,dx &=\underbrace{\Big[\varphi_1^*(x)\varphi_2(x)\Big]_{-\infty}^\infty}_{=0}-\int_{-\infty}^\infty\Big(\frac{d}{d x}\varphi_1^*(x)\Big)\varphi_2(x)\,dx\\ &=\int_{-\infty}^\infty\Big(-\frac{d}{d x}\varphi_1(x)\Big)^*\varphi_2(x)\,dx\\ );

(3)

 &math( \int_{-\infty}^\infty\varphi_1^*(x)\,\hat p\,\varphi_2(x)\,dx &=\int_{-\infty}^\infty\varphi_1^*(x)\frac{\hbar}{i}\frac{d}{d x}\varphi_2(x)\,dx\\ &=\int_{-\infty}^\infty\left(\frac{\hbar}{-i}\varphi_1(x)\right)^*\frac{d}{d x}\varphi_2(x)\,dx\\ &=\int_{-\infty}^\infty\left(-\frac{d}{d x}\,\frac{\hbar}{-i}\varphi_1(x)\right)^*\varphi_2(x)\,dx\\ &=\int_{-\infty}^\infty\left(\frac{\hbar}{i}\frac{d}{d x}\varphi_1(x)\right)^*\varphi_2(x)\,dx\\ &=\int_{-\infty}^\infty\big(\hat p\,\varphi_1(x)\big)^*\varphi_2(x)\,dx\\ );

(4)

 &math( \int_{-\infty}^\infty\varphi_1^*(x)\,\hat X^n\varphi_2(x)\,dx &=\int_{-\infty}^\infty\varphi_1^*(x)\,\underbrace{\hat X\hat X\dots\hat X}_{n}\varphi_2(x)\,dx\\ &=\int_{-\infty}^\infty\varphi_1^*(x)\,\hat X\big(\underbrace{\hat X\dots\hat X}_{n-1}\varphi_2(x)\big)\,dx\\ &=\int_{-\infty}^\infty\big(\hat X\varphi_1(x)\big)^*\,\underbrace{\hat X\hat X\dots\hat X}_{n-1}\varphi_2(x)\,dx\\ &=\int_{-\infty}^\infty\big(\hat X\hat X\varphi_1(x)\big)^*\,\underbrace{\hat X\hat X\dots\hat X}_{n-2}\varphi_2(x)\,dx\\ &\dots\\ &=\int_{-\infty}^\infty\big(\underbrace{\hat X\hat X\dots\hat X}_{n}\varphi_1(x)\big)^*\,\varphi_2(x)\,dx\\ &=\int_{-\infty}^\infty\big(\hat X^n\varphi_1(x)\big)^*\,\varphi_2(x)\,dx\\ );

(5)

 &math( \int_{-\infty}^\infty\varphi_1^*(x)\,(\hat X+\hat Y)\varphi_2(x)\,dx &=\int_{-\infty}^\infty\varphi_1^*(x)\,\big(\hat X\varphi_2(x)+\hat Y\varphi_2(x)\big)\,dx\\ &=\int_{-\infty}^\infty\varphi_1^*(x)\,\hat X\varphi_2(x)\,dx

  1. \int_{-\infty}^\infty\varphi_1^*(x)\,\hat Y\varphi_2(x)\,dx\\ &=\int_{-\infty}^\infty\big(\hat X\varphi_1(x)\big)^*\varphi_2(x)\,dx
  2. \int_{-\infty}^\infty\big(\hat Y\varphi_1(x)\big)^*\varphi_2(x)\,dx\\ &=\int_{-\infty}^\infty\big(\hat X\varphi_1(x)+\hat Y\varphi_1(x)\big)^*\varphi_2(x)\,dx\\ &=\int_{-\infty}^\infty\Big[\big(\hat X+\hat Y\big)\varphi_1(x)\Big]^*\varphi_2(x)\,dx\\ );

(6)

 &math( \int_{-\infty}^\infty\varphi_1^*(x)\,\hat X\hat Y\varphi_2(x)\,dx &=\int_{-\infty}^\infty\big(\hat X\varphi_1(x)\big)^*\,\hat Y\varphi_2(x)\,dx\\ &=\int_{-\infty}^\infty\big(\hat Y\hat X\varphi_1(x)\big)^*\,\varphi_2(x)\,dx\\ );

任意の \varphi(x) に対してこれが \int_{-\infty}^\infty\big(\hat X\hat Y\varphi_1(x)\big)^*\,\varphi_2(x)\,dx\\ に等しいためには、

  \hat Y\hat X=\hat X\hat Y すなわち \hat X\hat Y-\hat Y\hat X=0 でなければならない。

(7) (1) の通り実数関数 V(x) の部分はエルミートであるから、 -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}=\frac{\hat p^2}{2m} がエルミートであることを示せば、(5) により \hat H はエルミートになる。

1/2m はエルミートであり、 また、 \hat p はエルミートであるから \hat p^2 はエルミートである。

\hat p^2 1/2m は可換であるから \hat p^2/2m もエルミートである。

(8)

 &math( \hat p\hat x\varphi(x)=\frac{\hbar}{i}\frac{d}{dx}\big(x\varphi(x)\big) &=\frac{\hbar}{i}\varphi(x)+x\cdot\frac{\hbar}{i}\frac{d}{dx}\varphi(x)\\ &=\Big(\frac{\hbar}{i}+x\cdot\frac{\hbar}{i}\frac{d}{dx}\Big)\varphi(x)\\ &=\Big(\frac{\hbar}{i}+\hat x\hat p\Big)\varphi(x)\\ );

より、 \hat p\hat x-\hat x\hat p=\frac{\hbar}{i}

あるいは、 \hat x\hat p-\hat p\hat x=i\hbar


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