量子力学Ⅰ/固有値と期待値/メモ のバックアップの現在との差分(No.7)

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* 概要 [#s7b08afc]

[[量子力学Ⅰ/固有値と期待値]] のページへの補足です。

#contents

* 演習:物理量を表わす演算子のエルミート性 [#f4fd82da]

** 解答 [#n3238eb4]

(1)

&math(f(x)); が実数であれば &math(f^*(x)=f(x)); であることに注意して、

 &math(\begin{array}{lll}
\displaystyle\int_{-\infty}^\infty\varphi_1^*(x)\hat f\varphi_2(x)\,dx
&\displaystyle=\int_{-\infty}^\infty\varphi_1^*(x)f(x)\varphi_2(x)\,dx\\
&\displaystyle=\int_{-\infty}^\infty f(x)\varphi_1^*(x)\varphi_2(x)\,dx
&\hspace{1cm}数値の入れ替え\rule{0pt}{2em}\\
&\displaystyle=\int_{-\infty}^\infty f^*(x)\varphi_1^*(x)\varphi_2(x)\,dx
&\hspace{1cm}f^*(x)=f(x)\rule{0pt}{2em}\\
&\displaystyle=\int_{-\infty}^\infty \big(f(x)\varphi_1(x)\big)^*\varphi_2(x)\,dx\rule{0pt}{2em}\\
&\displaystyle=\int_{-\infty}^\infty \big(\hat f\varphi_1(x)\big)^*\varphi_2(x)\,dx\rule{0pt}{2em}\\
\end{array}
);

(2) 

 &math(
\int_{-\infty}^\infty\varphi_1^*(x)\frac{d}{d x}\varphi_2(x)\,dx
&=\underbrace{\Big[\varphi_1^*(x)\varphi_2(x)\Big]_{-\infty}^\infty}_{=0}-\int_{-\infty}^\infty\Big(\frac{d}{d x}\varphi_1^*(x)\Big)\varphi_2(x)\,dx\\
&=\int_{-\infty}^\infty\Big(-\frac{d}{d x}\varphi_1(x)\Big)^*\varphi_2(x)\,dx\\
);

(3) 

 &math(
\int_{-\infty}^\infty\varphi_1^*(x)\,\hat p\,\varphi_2(x)\,dx
&=\int_{-\infty}^\infty\varphi_1^*(x)\frac{\hbar}{i}\frac{d}{d x}\varphi_2(x)\,dx\\
&=\int_{-\infty}^\infty\left(\frac{\hbar}{-i}\varphi_1(x)\right)^*\frac{d}{d x}\varphi_2(x)\,dx\\
&=\int_{-\infty}^\infty\left(-\frac{d}{d x}\,\frac{\hbar}{-i}\varphi_1(x)\right)^*\varphi_2(x)\,dx\\
&=\int_{-\infty}^\infty\left(\frac{\hbar}{i}\frac{d}{d x}\varphi_1(x)\right)^*\varphi_2(x)\,dx\\
&=\int_{-\infty}^\infty\big(\hat p\,\varphi_1(x)\big)^*\varphi_2(x)\,dx\\
);

(4)

 &math(
\int_{-\infty}^\infty\varphi_1^*(x)\,\hat X^n\varphi_2(x)\,dx
&=\int_{-\infty}^\infty\varphi_1^*(x)\,\underbrace{\hat X\hat X\dots\hat X}_{n}\varphi_2(x)\,dx\\
&=\int_{-\infty}^\infty\varphi_1^*(x)\,\hat X\big(\underbrace{\hat X\dots\hat X}_{n-1}\varphi_2(x)\big)\,dx\\
&=\int_{-\infty}^\infty\big(\hat X\varphi_1(x)\big)^*\,\underbrace{\hat X\hat X\dots\hat X}_{n-1}\varphi_2(x)\,dx\\
&=\int_{-\infty}^\infty\big(\hat X\hat X\varphi_1(x)\big)^*\,\underbrace{\hat X\hat X\dots\hat X}_{n-2}\varphi_2(x)\,dx\\
&\dots\\
&=\int_{-\infty}^\infty\big(\underbrace{\hat X\hat X\dots\hat X}_{n}\varphi_1(x)\big)^*\,\varphi_2(x)\,dx\\
&=\int_{-\infty}^\infty\big(\hat X^n\varphi_1(x)\big)^*\,\varphi_2(x)\,dx\\
(\varphi_1,\hat X^n\varphi_2)
&=(\varphi_1,\underbrace{\hat X\hat X\dots\hat X}_n\varphi_2)\\
&=(\hat X\varphi_1,\underbrace{\hat X\dots\hat X}_{n-1}\varphi_2)\\
&=(\hat X\hat X\varphi_1,\underbrace{\hat X\dots\hat X}_{n-2}\varphi_2)\\
&\ \ \vdots\\
&=(\underbrace{\hat X\hat X\dots\hat X}_n\varphi_1,\varphi_2)\\
&=(\hat X^n\varphi_1,\varphi_2)\\
);

(5)

 &math(
\int_{-\infty}^\infty\varphi_1^*(x)\,(\hat X+\hat Y)\varphi_2(x)\,dx
&=\int_{-\infty}^\infty\varphi_1^*(x)\,\big(\hat X\varphi_2(x)+\hat Y\varphi_2(x)\big)\,dx\\
&=\int_{-\infty}^\infty\varphi_1^*(x)\,\hat X\varphi_2(x)\,dx
+\int_{-\infty}^\infty\varphi_1^*(x)\,\hat Y\varphi_2(x)\,dx\\
&=\int_{-\infty}^\infty\big(\hat X\varphi_1(x)\big)^*\varphi_2(x)\,dx
+\int_{-\infty}^\infty\big(\hat Y\varphi_1(x)\big)^*\varphi_2(x)\,dx\\
&=\int_{-\infty}^\infty\big(\hat X\varphi_1(x)+\hat Y\varphi_1(x)\big)^*\varphi_2(x)\,dx\\
&=\int_{-\infty}^\infty\Big[\big(\hat X+\hat Y\big)\varphi_1(x)\Big]^*\varphi_2(x)\,dx\\
\big(\varphi_1,(\hat X+\hat Y)\varphi_2\big)
&=\big(\varphi_1,\hat X\varphi_2\big)+\big(\varphi_1,\hat Y\varphi_2\big)\\
&=\big(\hat X\varphi_1,\varphi_2\big)+\big(\hat Y\varphi_1,\varphi_2\big)\\
&=\big((\hat X+\hat Y)\varphi_1,\varphi_2\big)\\
);

(6)

 &math(
\int_{-\infty}^\infty\varphi_1^*(x)\,\hat X\hat Y\varphi_2(x)\,dx
&=\int_{-\infty}^\infty\big(\hat X\varphi_1(x)\big)^*\,\hat Y\varphi_2(x)\,dx\\
&=\int_{-\infty}^\infty\big(\hat Y\hat X\varphi_1(x)\big)^*\,\varphi_2(x)\,dx\\
(\varphi_1,\hat X\hat Y\varphi_2)
&=(\hat X\varphi_1,\hat Y\varphi_2)\\
&=(\hat Y\hat X\varphi_1,\varphi_2)\\
);

任意の &math(\varphi(x)); に対してこれが &math(\int_{-\infty}^\infty\big(\hat X\hat Y\varphi_1(x)\big)^*\,\varphi_2(x)\,dx\\); に等しいためには、
任意の &math(\varphi_1,\varphi_2); に対してこれが &math((\hat X\hat Y\varphi_1,\varphi_2)); に等しいためには、

 &math(\hat Y\hat X=\hat X\hat Y); すなわち &math(\hat X\hat Y-\hat Y\hat X=0); でなければならない。

このように入れ替えても結果の変わらない演算子同士は「&ruby(かかん){可換};」であると言われる。

(7) (1) の通り実数関数 &math(V(x)); の部分はエルミートであるから、
&math(-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}=\frac{\hat p^2}{2m}); 
がエルミートであることを示せば、(5) により &math(\hat H); はエルミートになる。

&math(1/2m); はエルミートであり、
また、&math(\hat p); はエルミートであるから &math(\hat p^2); はエルミートである。
(1) より定数関数 &math(1/2m); はエルミートである。
また、&math(\hat p); はエルミートであるから (4) より &math(\hat p^2); はエルミートである。

&math(\hat p^2); と &math(1/2m); は可換であるから &math(\hat p^2/2m); もエルミートである。

(8)

 &math(
\hat p\hat x\varphi(x)=\frac{\hbar}{i}\frac{d}{dx}\big(x\varphi(x)\big)
&=\frac{\hbar}{i}\varphi(x)+x\cdot\frac{\hbar}{i}\frac{d}{dx}\varphi(x)\\
&=\Big(\frac{\hbar}{i}+x\cdot\frac{\hbar}{i}\frac{d}{dx}\Big)\varphi(x)\\
&=\Big(\frac{\hbar}{i}+\hat x\hat p\Big)\varphi(x)\\
); 

より、&math(\hat p\hat x-\hat x\hat p=\frac{\hbar}{i});

あるいは、&math(\hat x\hat p-\hat p\hat x=i\hbar);

* エルミート共役演算子の存在 [#y02cbb81]

ある演算子 &math(T); に対するエルミート共役演算子 &math(T^\dagger); は必ず存在する。
線形空間に正規直交基底 &math(\{\phi_k\}); を取れば &math(T); 
の行列表現は &math((T)_{ij}=(\phi_i,T\phi_j)); である。
そのエルミート共役を取ればそれがエルミート共役演算子の行列表現である。
&math((T^\dagger)_{ij}=(T)_{ji}^*);

 &math(
\because (f,T g)
&=(\sum_n f_n\phi_n,T \sum_m g_m \phi_m)\\
&=\sum_n\sum_m f_n^*g_m(\phi_n,T \phi_m)\\
&=\sum_n\sum_m f_n^*g_m(T)_{nm}\\
&=\sum_n\sum_m f_n^*g_m(T^\dagger)_{mn}^*\\
&=\sum_n\sum_m f_n^*g_m(\phi_m,T^\dagger\phi_n)^*\\
&=\sum_n\sum_m f_n^*g_m(T^\dagger\phi_n,\phi_m)\\
&=(\sum_n f_nT^\dagger\phi_n,\sum_m g_m\phi_m)\\
&=(T^\dagger\sum_n f_n\phi_n,\sum_m g_m\phi_m)\\
&=(T^\dagger f,g)\\
);


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