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#contents

* 8-9 不純物による電子散乱 [#q75a7950]

** 不純物散乱ポテンシャル項 [#bb64ff1b]

不純物による電子散乱が次のような性質を持つとする。
- 散乱により運動量が変化する
- 弾性的つまりエネルギーを変化させない
- 空間上の同じ点のみで作用するδ関数型である

これを表すポテンシャルは、

(8.106)

&math(V_i=\int d^3rv_i(\bm r,t)\hat n(\bm r,t));

(8.106A)

&math(v_i(\bm r)=\sum_k^{N_i}v_ia^3\delta^{\textcolor{red}{3}}(\bm r-\bm R_k));

として、位置 &math(\bm R_k); に体積 &math(a^3); 高さ &math(v_i); 
のポテンシャルピークを作る不純物が存在して、
その場所の電子密度に比例するエネルギーを与えるものとする。

&math(N_i); は不純物の数であり、個々の不純物は 
&math(k=1,2,\dots,N_i); のラベルで区別する。
（教科書では impurity の頭文字は立体の &math(\mathrm i); で、
ラベル付けは斜体の &math(i); で書かれているのだけれど、
紛らわしいので &math(k); にした・・・
その結果、波数と紛らわしいという話も。）

ポテンシャルの値からエネルギーの平均値をあらかじめ引いておくことで
そのフーリエ成分の &math(\bm k=\bm 0); の成分をゼロにしておくと、
後に便利である。(この性質は後で多用される)

(8.107)

&math(v_i(\bm r)=\sum_k^{N_i}v_ka^3\left(\delta^{\textcolor{red}{3}}(\bm r-\bm R_k)-\frac{1}{V}\right));

&math(\int_V d^3r\delta^3(\bm r-\bm R_k)=\int_V d^3r / V = 1); に注意せよ。

** 交換関係 [#h870d2ce]

(8.24) あたりで行ったのと同様にして交換子を計算できる。

(8.108)

&math([V_i(t),c(\bm r,t)]=-v_i(\bm r)c(\bm r,t));

** 不純物散乱を考慮した経路表示 Green 関数 [#vf665703]

この &math(H_i=H_0+V_i); に対する Green 関数 &math(g); は (8.105) より、

(8.109)

&math(
&g(\bm r,\tau,\bm r',\tau')=g_0(\bm r,\tau,\bm r',\tau')\\
&+\int_Cd\tau_1\int d^3r_1g_0(\bm r,\tau,\bm r_1,\tau_1)\times
\frac{i}{\textcolor{red}{\hbar}}\big\langle T_C\,e^{-\frac{i}{\hbar}\int_Cd\tau''H(\tau'')}
[V_i(\tau_1),c(\bm r_1,\tau_1)]c^\dagger(\bm r',\tau')\big\rangle\\
&=g_0(\bm r,\tau,\bm r',\tau')\\
&+\int_Cd\tau_1\int d^3r_1g_0(\bm r,\tau,\bm r_1,\tau_1)\times v_i(\tau_1)
\frac{1}{\textcolor{red}{\hbar}}
\left[-i\big\langle T_C\,e^{-\frac{i}{\hbar}\int_Cd\tau''H(\tau'')}
c(\bm r_1,\tau_1)c^\dagger(\bm r',\tau')\big\rangle\right]
\\
&=g_0(\bm r,\tau,\bm r',\tau')
+\int_Cd\tau_1\int d^3r_1g_0(\bm r,\tau,\bm r_1,\tau_1)v_i(\bm r_1)g(\bm r_1,\tau_1,\bm r',\tau')
\\
&=g_0(\bm r,\tau,\bm r',\tau')
+\int_{C_\rightleftarrows} d\tau_1\int d^3r_1g_0(\bm r,\tau,\bm r_1,\tau_1)v_i(\bm r_1)g(\bm r_1,\tau_1,\bm r',\tau')
);

最後の行は (8.105) で指摘したとおり、&math(\tau_1); が &math(C_\beta); 
上にある場合を考える必要がないという点を反映している。

次元について：

- Green 関数は元々 &math(\hat n/\hbar); すなわち電子数密度 = (1/体積) と (1/角運動量) の積の次元を持つ。
- したがって &math(d\tau_1 d^3r_1 g_0); は (エネルギーの逆数) の次元
- &math(v_i); は (エネルギー) の次元
- したがって、&math(d\tau_1 d^3r_1 v_i g_0); で無次元
- それらを除くと左辺・右辺共に Green 関数の次元となり、正しい

** lesser Green 関数 G^^<^^ [#hf5ab3a1]

(8.66) および (8.105) より、

(8.110)

&math(
&g^<(\bm r,t,\bm r',t')=g(\bm r,\tau \in C_\rightarrow,\bm r',\tau'\in C_\leftarrow)\\
&=
g_0(\bm r,\tau \in C_\rightarrow,\bm r',\tau'\in C_\leftarrow)\\
&\hspace{4mm}+\frac{1}{\textcolor{red}{\hbar}}\int_{C_\rightarrow}d\tau_1\int d^3r_1
&\hspace{4mm}+\int_{C_\rightarrow}d\tau_1\int d^3r_1
g_0(\bm r,\tau\in C_\rightarrow,\bm r_1,\tau_1\in C_\rightarrow)v_i(\bm r_1)
g(\bm r_1,\tau_1\in C_\rightarrow,\bm r',\tau'\in C_\leftarrow)\\
&\hspace{4mm}+\frac{1}{\textcolor{red}{\hbar}}\int_{C_\leftarrow}d\tau_1\int d^3r_1
&\hspace{4mm}+\int_{C_\leftarrow}d\tau_1\int d^3r_1
g_0(\bm r,\tau\in C_\rightarrow,\bm r_1,\tau_1\in C_\leftarrow)v_i(\bm r_1)
g(\bm r_1,\tau_1\in C_\leftarrow,\bm r',\tau'\in C_\leftarrow)\\
&=
g_0^<(\bm r,t,\bm r',t')\\
&\hspace{4mm}+\frac{1}{\textcolor{red}{\hbar}}\int_{t_0}^{t_\infty} dt_1\int d^3r_1
&\hspace{4mm}+\int_{t_0}^{t_\infty} dt_1\int d^3r_1
g_0^t(\bm r,t,\bm r_1,t_1)v_i(\bm r_1)g^<(\bm r_1,t_1,\bm r',t')\\
&\hspace{4mm}+\frac{1}{\textcolor{red}{\hbar}}\int_{t_\infty}^{t_0}dt_1\int d^3r_1
&\hspace{4mm}+\int_{t_\infty}^{t_0}dt_1\int d^3r_1
g_0^<(\bm r,t,\bm r_1,t_1)v_i(\bm r_1)g^{\overline t}(\bm r_1,t_1,\bm r',t')\\
&=
g_0^<(\bm r,t,\bm r',t')\\
&\hspace{4mm}+\frac{1}{\textcolor{red}{\hbar}}\int dt_1\int d^3r_1\big[
&\hspace{4mm}+\int dt_1\int d^3r_1\big[
g_0^t(\bm r,t,\bm r_1,t_1)v_i(\bm r_1)g^<(\bm r_1,t_1,\bm r',t')
-g_0^<(\bm r,t,\bm r_1,t_1)v_i(\bm r_1)g^{\overline t}(\bm r_1,t_1,\bm r',t')\big]
);

となる。

２行目は &math(\tau_1); に関する積分範囲を、&math(C); 全体ではなく
&math(C_\rightarrow+C_\leftarrow); と考えられることを利用した。
（&math(C_\beta); を除いてある）

ここで、(8.70)〜(8.73) を用いて、

&math(g_0^t\,g^<-g_0^<\,g^{\overline t}=(g_0^r+g_0^<)g^<-g_0^<(-g^a+g^<)=g_0^r\,g^<+g_0^<\,g^a);

より、

(8.111)

&math(
&g^<(\bm r,t,\bm r',t')=g_0^<(\bm r,t,\bm r',t')\\
&\hspace{4mm}+\frac{1}{\textcolor{red}{\hbar}}\int dt_1\int d^3r_1\big[
&\hspace{4mm}+\int dt_1\int d^3r_1\big[
g_0^r(\bm r,t,\bm r_1,t_1)v_i(\bm r_1)g^<(\bm r_1,t_1,\bm r',t')
+g_0^<(\bm r,t,\bm r_1,t_1)v_i(\bm r_1)g^a(\bm r_1,t_1,\bm r',t')\big]
);

** greater Green 関数 G^^>^^ [#v3448f00]

同様にして、

(8.112)

&math(
&g^>(\bm r,t,\bm r',t') = g_0^>(\bm r,t,\bm r',t')\\
&\hspace{4mm}+\frac{1}{\textcolor{red}{\hbar}}\int dt_1\int d^3r_1\big[
&\hspace{4mm}+\int dt_1\int d^3r_1\big[
g_0^r(\bm r,t,\bm r_1,t_1)v_i(\bm r_1)g^>(\bm r_1,t_1,\bm r',t')
+g_0^>(\bm r,t,\bm r_1,t_1)v_i(\bm r_1)g^a(\bm r_1,t_1,\bm r',t')\big]
);

** retarded Green 関数 G^^r^^ [#s3e5f280]

(8.113)

&math(
&g^r(\bm r,t,\bm r',t') = g_0^r(\bm r,t,\bm r',t')\\
&\hspace{4mm}+\frac{1}{\textcolor{red}{\hbar}}\int dt_1\int d^3r_1\theta(t-t')\big[
&\hspace{4mm}+\int dt_1\int d^3r_1\theta(t-t')\big[
g_0^r(\bm r,t,\bm r_1,t_1)v_i(\bm r_1)g^r(\bm r_1,t_1,\bm r',t')
-g_0^a(\bm r,t,\bm r_1,t_1)v_i(\bm r_1)g^a(\bm r_1,t_1,\bm r',t')\big]\\
&= g_0^r(\bm r,t,\bm r',t')
+\frac{1}{\textcolor{red}{\hbar}}\int dt_1\int d^3r_1
+\int dt_1\int d^3r_1
g_0^r(\bm r,t,\bm r_1,t_1)v_i(\bm r_1)g^r(\bm r_1,t_1,\bm r',t'));

** advanced Green 関数 G^^a^^ [#n98aff72]

&math(
&g^a(\bm r,t,\bm r',t')\\
&= g_0^a(\bm r,t,\bm r',t')
+\frac{1}{\textcolor{red}{\hbar}}\int dt_1\int d^3r_1
+\int dt_1\int d^3r_1
g_0^a(\bm r,t,\bm r_1,t_1)v_i(\bm r_1)g^a(\bm r_1,t_1,\bm r',t')
);

ここで (8.38) より &math(g_?^a(t,t')\propto \theta(t'-t)); および
&math(g_?^r(t,t')\propto \theta(t-t')); なので、
- &math(\theta(t-t')g_{\textcolor{red}{0}}^a(t,t_1)g^a(t_1,t')\propto\theta(t-t')\theta(\textcolor{red}{t_1-t})\theta(\textcolor{red}{t'-t_1})=0);~
- &math(\theta(t'-1)g_{\textcolor{red}{0}}^r(t,t_1)g^r(t_1,t')\propto\theta(t'-t)\theta(\textcolor{red}{t-t_1})\theta(\textcolor{red}{t_1-t'})=0);~
- &math(\theta(t-t')g_?^r(t,t')=g_?^r(t,t'));
- &math(\theta(t'-t)g_?^a(t,t')=g_?^a(t,t'));

を用いた。

&math(g^a); および &math(g^r); がそれぞれ閉じた方程式を満たすことはよく知られた事実。

** 省略形 [#c4de9dd4]

以上を省略形にまとめると、

- &math(G^<=g_0^<+(g_0^rVG^<+g_0^<VG^a));
- &math(G^>=g_0^<+(g_0^rVG^>+g_0^>VG^a));
- &math(G^r=g_0^r+g_0^rVG^r);
- &math(G^a=g_0^a+g_0^aVG^a);

** G^^+-^^ のような記法について [#xbfb86a8]

(9/12 追記)　以下は細かい部分で間違ってるかも。なんとなく概念だけ。

セミナーで &math(G^{+-}); のような記法を教わった。

&math(C_\rightarrow=C^+);、&math(C_\leftarrow=C^-); と考えると、

(8.56), (8.57), (8.68) は、
- &math( G^t=G(\tau\in C^+,\tau'\in C^+)=G^{++} );
- &math( G^{\overline t}=G(\tau\in C^-,\tau'\in C^-)=G^{--} );
- &math( G^<=G(\tau\in C^+,\tau'\in C^-)=G^{+-} );
- &math( G^>=G(\tau\in C^-,\tau'\in C^+)=G^{-+} );

と書くのが直感的である。

これを使うと、(8.110) は

&math( G^{+-}=G^{+-}_0+\iint \big( G^{++}_0VG^{+-}-G^{+-}_0VG^{--} \big) );

となって、積分の部分をうまく評価できれば、

&math( G^{+-}=G^{+-}_0+ \big( G^{++}_0\Sigma^{++}G^{+-}-G^{+-}_0\Sigma^{--}G^{--} \big) );

となる。

同様に他の &math(G); についても式を作ると、(8.115) に相当する式を

&math(\bm G=\begin{pmatrix}G^{++}&G^{+-}\\G^{-+}&G^{--}\end{pmatrix});

なる行列に対する１つの方程式として分かりやすく書けるとのことであった。

* 質問・コメント [#f424e144]

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