線形代数II/抽象線形空間/性質 の変更点

更新 
* 目次 [#o9b6c415]

[[線形代数II/抽象線形空間]]

#contents

&mathjax();
&katex();

* 線形空間の公理から基本的な定理を導く [#dd385483]

以下に示すようなほぼ自明に見える線形空間の性質を、
公理から導かれる定理として証明できる。

- ゼロ元はただ１つだけ存在する
- 逆元はただ１つだけ存在する
- 引き算を定義できる
- &math(\bm x-\bm x=\bm 0);
- &math(\bm a+\bm b=\bm a+\bm c → \bm b=\bm c);
- &math(-\bm 0=\bm 0);
- &math((-(-\bm x))=\bm x);
- &math((-\bm x)=(-1)\bm x);
- &math(0\bm x = \bm 0);

** 線形空間の公理 [#qe6be02b]

&math(
&\forall \bm x,\forall \bm y\in V, & \bm x+\bm y&=\bm y+\bm x &&\to ベクトル和の交換則 \\
&\forall \bm x,\forall \bm y,\forall \bm z\in V, & (\bm x+\bm y)+\bm z&=\bm x+(\bm y+\bm z) &&\to ベクトル和の結合則 \\
&\forall \bm x\in V,\exists\bm 0\in V, & \bm x+\bm 0&=\bm x　&&\to ゼロ元の存在\\
&1\in K, \forall \bm x\in V, & 1\bm x&=\bm x &&\to １倍\\
&\forall \bm x\in V,\exists (-\bm x)\in V, & \bm x+(-\bm x)&=\bm 0&&\to 逆元の存在\\
&\forall a,\forall b\in K, \forall \bm x\in V, & (a+b)\bm x&=a\bm x+b\bm x &&\to 分配則(1)\\
&\forall a\in K, \forall \bm x,\forall \bm y\in V, & a(\bm x+\bm y)&=a\bm x+a\bm y &&\to 分配則(2)\\
&\forall a,\forall b\in K,\forall \bm x\in V,&a(b\bm x)&=(ab)\bm x&&\to スカラー倍の結合則
);

** ゼロ元はただ１つだけ存在する [#j804864f]

線形空間の公理には「ゼロ元が存在すること」が書かれているが、「１つしかないこと」は書かれていない。
「ゼロ元が１つしかないこと」は他の公理を組み合わせて証明可能な定理である。

&math(\bm 0,\bm 0'); がどちらもゼロ元であったとすると、

&math(
\bm 0&=\bm 0+\bm 0' &        & ゼロ元 \bm 0' \\
     &=\bm 0'+\bm 0 &        & 和の交換則    \\
     &=\bm 0'       &        & ゼロ元 \bm 0
);

より、&math(\bm 0=\bm 0'); である。
** 逆元はただ１つだけ存在する [#k19f92fe]

&math(\bm x); の逆元が、&math((-\bm x),(-\bm x)'); の２つ存在したとすると、

&math(
(-\bm x)&=(-\bm x)+\bm 0                 && ゼロ元         \\
        &=(-\bm x)+\{\bm x+(-\bm x)'\}   && 逆元 (-\bm x)' \\
        &=\{(-\bm x)+\bm x\}+(-\bm x)'   && 和の結合則     \\
        &=\{\bm x+(-\bm x)\}+(-\bm x)'   && 和の交換則     \\
        &=\bm 0+(-\bm x)'                && 逆元 (-\bm x)  \\
        &=(-\bm x)'+\bm 0                && 和の交換則     \\
        &=(-\bm x)'                      && ゼロ元
);

** 引き算 [#ce28fbed]

&math(\bm x,\bm y\in V); について、&math(\bm y); の逆元を &math((-\bm y)\in V); として、

&math(\bm x-\bm y\equiv \bm x+(-\bm y)\in V);

のようにベクトルの引き算を導入する。

当然、&math(V); は引き算について閉じている。

** $\bm x-\bm x=\bm 0$ [#f412ef86]

&math(
\bm x-\bm x&=\bm x+(-\bm x) && 引き算の定義\\
&=\bm 0                     && 逆元
);

** $\bm a+\bm b=\bm a+\bm c \to \bm b=\bm c$ [#dbff027d]

&math(\bm a+\bm b=\bm a+\bm c); の時、両辺から &math(\bm a); を引くと、

&math(
(左辺)-\bm a&=(\bm b+\bm a)-\bm a && 交換則\\
&=\bm b+(\bm a-\bm a)             && 結合則\\
&=\bm b+\bm 0                     && 引き算の性質\\
&=\bm b                           && ゼロ元
);

同様に &math((右辺)-\bm a=\bm c); となって、

&math(\bm b=\bm c); を得る。

** $-\bm 0=\bm 0$ [#se0192e6]

&math(
\begin{array}{lll}
\bm 0+\bm 0=\bm 0                     && ゼロ元の定義\\
\bm 0+(-\bm 0)=\bm 0                  && 逆元の定義\\
\therefore \bm 0+\bm 0=\bm 0+(-\bm 0) && \\
\bm 0+\bm 0=(-\bm 0)+\bm 0            && 和の交換則\\
\bm0=-\bm 0                           && \bm a+\bm b=\bm a+\bm c \to \bm b=\bm c
\end{array}
);

** $(-(-x))=x$ [#j0014658]

&math(
&(-\bm x)+(-(-\bm x))=\bm 0             && 逆元の定義            \\
&\bm x+(-\bm x)+(-(-\bm x))=\bm x+\bm 0 && 両辺に \bm x を加えた \\
&\bm 0+(-(-\bm x))=\bm x                && 逆元の性質とゼロ元の性質 \\
&(-(-\bm x))+\bm 0=\bm x                  && 交換則 \\
&(-(-\bm x))=\bm x                        && ゼロ元の性質 \\
); 

** $(-x)=(-1)x$ [#vba03f70]

&math(
2\bm x+(-\bm x)&=(1+1)\bm x+(-\bm x) && 2=1+1 (実数の演算)\\
&=(1\bm x+1\bm x)+(-\bm x)           && 分配則 \\
&=(1\bm x+\bm x)+(-\bm x)            && １倍 \\
&=1\bm x+\{\bm x+(-\bm x)\}          && 結合則 \\
&=1\bm x+\bm 0                       && 逆元 \\
&=1\bm x                             && ゼロ元 \\
&=\{2+(-1)\}\bm x                    && 1=2+(-1) \\
&=2\bm x+(-1)\bm x                   && 分配則 \\
);

&math(\therefore (-\bm x) = (-1)\bm x );

** $0x = 0$ [#vf4e783c]

&math(
0\bm x&=\{1+(-1)\}\bm x \hspace{1cm} && 0=1+(-1) (実数の演算)\\
&=\bm x+(-1)\bm x                    && 分配法則と１倍\\
&=\bm x+(-\bm x)                     && (-1)\bm x=(-\bm x)\\
&=\bm 0                              && 逆元
);

* 質問・コメント [#k462edbe]

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