電磁場中のシュレーディンガー方程式とゲージ変換の変更点

更新
[[量子力学Ⅰ]]

* 電磁場中のシュレーディンガー方程式とゲージ変換 [#m8ebff85]

電磁場中のシュレーディンガー方程式をゲージ変換して、ゲージ不変性を確認する。

** 電磁場中のシュレーディンガー方程式 [#m49981d8]

電磁場中のハミルトニアンはベクトルポテンシャル &math(\bm A);、スカラーポテンシャル &math(\varphi); を用いて次のように表せる。参考：[[電磁気学/電磁ポテンシャルの導入#k13bd197]]

　&math(
H_\mathrm{em}=\sum_n \bigg[\frac{1}{2m}\big(\frac{\hbar}{i}\bm \nabla_n-q\bm A(\bm x_n,t)\big)^2+q\varphi(\bm x_n,t)\bigg]
);

すると電磁場中でのシュレーディンガー方程式は次のようになる。

　&math(
i\hbar\partial_t\Psi(\bm x_1,\bm x_2,\cdots,\bm x_N,t)=
H_\mathrm{em}\Psi(\bm x_1,\bm x_2,\cdots,\bm x_N,t)
);

** ゲージ変換 [#he00c6ab]

静電ポテンシャルをゲージ変換しても物理的には同じ状態を表す。~
参考：[[電磁気学/電磁ポテンシャルの導入#fde7eaa7]]

　&math(
\bm A'=\bm A+\frac{\hbar}{q}\bm \nabla f
);

　&math(
\varphi'=\varphi-\frac{\hbar}{q}\partial_t f
);

** ゲージ変換後のハミルトニアンとその解 [#r4446960]

　&math(
\begin{aligned}
H_\mathrm{em}'
&=\sum_n \bigg[\frac{1}{2m}(\frac{\hbar}{i}\bm \nabla_n-q\bm A'(\bm x_n,t))^2+q\varphi'(\bm x_n,t)\bigg]\\
&=\sum_n \bigg[\frac{1}{2m}(\frac{\hbar}{i}\bm \nabla_n-q\bm A(\bm x_n,t)-\hbar\bm \nabla f(\bm x_n,t))^2+q\varphi(\bm x_n,t)-\hbar\partial_t f(\bm x_n,t)\bigg]\\
&=\sum_n \bigg[\frac{1}{2m}(\frac{\hbar}{i}\bm \nabla_n-q\bm A(\bm x_n,t)-\hbar\bm \nabla_n f(\bm x_n,t))^2+q\varphi(\bm x_n,t)-\hbar\partial_t f(\bm x_n,t)\bigg]\\
\end{aligned}
);

よく知られるように、ゲージ変換によりハミルトニアンは変化するが、波動関数は位相のみの変化にとどまる。位相の部分を &math(U); と置こう。

　&math(
\begin{aligned}
\Psi'(\bm x_1,\bm x_2,\cdots,\bm x_N,t)
&= e^{i\sum_n f(\bm x_n,t)}
\Psi(\bm x_1,\bm x_2,\cdots,\bm x_N,t)\\
&= U(\bm x_1,\bm x_2,\cdots,\bm x_N,t)
\Psi(\bm x_1,\bm x_2,\cdots,\bm x_N,t)\\
\end{aligned}
);

位相だけが異なるため、

　&math(|\Psi'(\bm x_1,\bm x_2,\dots,\bm x_N,t)|^2=|\Psi(\bm x_1,\bm x_2,\dots,\bm x_N,t)|^2);

となって、波動関数の空間分布はゲージ変換前の物と変わらないことになる。

波動関数の変換が「一次のユニタリー変換」となることことを指して、この変換は &math(U(1)); 群をなす、と言う。（&math(U(n)); なら &math(n); 次のユニタリー変換、&math(SU(n)); なら &math(n); 次の固有値１のユニタリー変換）

電磁気学が &math(U(1)); 変換に対して不変であることを指して、電磁気学は &math(u(1));-ゲージ理論である、という。

** 解になっていることを確認する [#vd6d65c2]

&math(\Psi'); がゲージ変換後のシュレーディンガー方程式を満たすことを確かめよう。

　&math(
\partial_t U=\Big[\partial_t\sum_n if(\bm x_n,t)\Big]U
);

　&math(
\bm\nabla_n U=\Big[i\bm\nabla_n f(\bm x_n,t)\Big]U
);

より、

　&math(
\begin{aligned}
i\hbar\partial_t\Psi'&=i\hbar\partial_t\big(U\Psi\big)\\
&=\Big(-\sum_n \hbar\partial_tf(\bm x_n,t)\Big)U\Psi+Ui\hbar\partial_t\Psi
\end{aligned}
);

　&math(
\begin{aligned}
&\Big(\frac{\hbar}{i}\bm \nabla_n-q\bm A(\bm x_n,t)-\hbar\bm \nabla f(\bm x_n,t)\Big)\Psi'\\
&=\Big(\frac{\hbar}{i}\bm \nabla_n-q\bm A(\bm x_n,t)-\hbar\bm \nabla f(\bm x_n,t)\Big)U\Psi\\
&=\Big(\hbar\bm\nabla f(\bm x_n,t)\Big)U\Psi+
U\Big(\frac{\hbar}{i}\bm \nabla_n-q\bm A(\bm x_n,t)-\hbar\bm \nabla f(\bm x_n,t)\Big)\Psi\\
&=U\Big(\frac{\hbar}{i}\bm \nabla_n-q\bm A(\bm x_n,t)\Big)\Psi\\
\end{aligned}
);

したがって、

　&math(
\begin{aligned}
&\Big[\sum_n\Big(\frac{\hbar}{i}\bm \nabla_n-q\bm A(\bm x_n,t)-\hbar\bm \nabla f(\bm x_n,t)\Big)^2\Big]\Psi'\\
&=U\Big[\sum_n\Big(\frac{\hbar}{i}\bm \nabla_n-q\bm A(\bm x_n,t)\Big)\Big]^2\Psi\\
\end{aligned}
);

ゲージ変換後のシュレーディンガー方程式は、

　&math(
i\hbar\partial_t\Psi'=H'\Psi'
);

　&math(
\begin{aligned}
&\Big(-\sum_n \hbar\partial_tf(\bm x_n,t)\Big)U\Psi
+Ui\hbar\partial_t\Psi\\
&=U\sum_n \bigg[\frac{1}{2m}(\frac{\hbar}{i}\bm \nabla_n-q\bm A(\bm x_n,t))^2+q\varphi(\bm x_n,t)-\hbar\partial_t f(\bm x_n,t)\bigg]\Psi\\
\end{aligned}
);

　&math(
\begin{aligned}
&Ui\hbar\partial_t\Psi
=U\sum_n \bigg[\frac{1}{2m}(\frac{\hbar}{i}\bm \nabla_n-q\bm A(\bm x_n,t))^2+q\varphi(\bm x_n,t)\bigg]\Psi\\
\end{aligned}
);

両辺を &math(U=e^{i\sum_n f(\bm x_n,t)}); で割れば、

　&math(
i\hbar\partial_t\Psi=H_\mathrm{em}\Psi
);

となり、ゲージ変換前のシュレーディンガー方程式と同値であることが分かる。

すなわち、&math(\Psi); がゲージ変換前のシュレーディンガー方程式の解であれば、
&math(\Psi'); はゲージ変換後のシュレーディンガー方程式の解となる。

ゲージ変換により現れる余計な項が、&math(U); の時間微分や空間微分と打消し合ったことに注意せよ。

** 反対称性も問題ない [#kd26f03c]

電子が２個の時、&math(\Psi(\bm x_1,\bm x_2,t)); がフェルミオンの反対称性を満たす解であったとする。

&math(
\Psi(\bm x_2,\bm x_1,t)=-\Psi(\bm x_1,\bm x_2,t)
);

ゲージ変換後の解は、

&math(
\begin{aligned}
\Psi'(\bm x_2,\bm x_1,t)&=e^{if(\bm x_1,t)+if(\bm x_2,t)}\Psi(\bm x_2,\bm x_1,t)\\
&=-e^{if(\bm x_1,t)+if(\bm x_2,t)}\Psi(\bm x_1,\bm x_2,t)
=-\Psi'(\bm x_1,\bm x_2,t)
\end{aligned}
);

このように、位相部分の &math(U); は任意の粒子の入れ替えに対して対称な関数となるため、全体としての対称性・反対称性がゲージ変換によって失われることはない。

** エネルギー期待値 [#l1bb2dc0]

以下の通り、ゲージ変換の結果、エネルギー期待値が変化してしまうことが分かる。

　&math(
\begin{aligned}
\langle \Psi'|H'|\Psi'\rangle&=
\langle \Psi|U^\dagger H'U|\Psi\rangle\\
&=\langle \Psi|U^\dagger U\Big[H-\hbar\sum_n\partial_t f(\bm x_n,t)\Big]|\Psi\rangle\\
&=\langle \Psi| H|\Psi\rangle
-\hbar\langle \Psi|\partial_t \sum_nf(\bm x_n,t)|\Psi\rangle\\
\end{aligned}
);

なぜ &math(H); の期待値が変化してしまうかというと、
その理由はこの項がどこから来たかを考えれば一目瞭然である。

この項は &math(q\varphi); の項から現れており、
端的にはスカラーポテンシャルのゼロ点が変化したことに対応する。

一般のゲージ変換に対しては「スカラーポテンシャルのゼロ点」が空間的にも時間的にも一定である必要がない。エネルギーのゼロ点が変化すれば全エネルギーが変化するのは当然であるが、エネルギー変化は波動関数の位相にしか現れないため、上記の通りゲージ変換前後で波動関数の絶対値の自乗の空間分布は変化しない。


* 質問・コメント [#mc2ce435]

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