一次元の散乱現象/メモ の変更点

更新 
[[量子力学Ⅰ/一次元の散乱現象]]

* 解答：ポテンシャルの異なる領域へ入射する平面波 [#s9f24ac4]
&katex();
(1)  

$$\left[-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\PD^2}{\PD x^2}+V(x)\right]\varphi(x)=\varepsilon\varphi(x)$$
$$\left[-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{d x^2}+V(x)\right]\varphi(x)=\varepsilon\varphi(x)$$

(2)

$x<0$ では $V(x)=0$ より、

$$\left[-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\PD^2}{\PD x^2}+V(x)\right]e^{\pm ikx}=\frac{\hbar^2}{2m}k^2e^{\pm ikx}=\frac{\hbar^2}{2m}\left(\sqrt{\frac{2m\varepsilon}{\hbar^2}}\right)^2e^{\pm ikx}=\varepsilon e^{\pm ikx}$$
$$\left[-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{d x^2}+V(x)\right]e^{\pm ikx}=\frac{\hbar^2}{2m}k^2e^{\pm ikx}=\frac{\hbar^2}{2m}\left(\sqrt{\frac{2m\varepsilon}{\hbar^2}}\right)^2e^{\pm ikx}=\varepsilon e^{\pm ikx}$$

(3)

$0\le x$ では $V(x)=V_0$ より、

$$\left[-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\PD^2}{\PD x^2}+V(x)\right]e^{\pm ik'x}=\left[\frac{\hbar^2}{2m}k'^2+V_0\right]e^{\pm ik'x}=\left[\frac{\hbar^2}{2m}\left(\sqrt{\frac{2m(\varepsilon-V_0)}{\hbar^2}}\right)^2+V_0\right]e^{\pm ik'x}=\varepsilon e^{\pm ik'x}$$
$$\left[-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{d x^2}+V(x)\right]e^{\pm ik'x}=\left[\frac{\hbar^2}{2m}k'^2+V_0\right]e^{\pm ik'x}=\left[\frac{\hbar^2}{2m}\left(\sqrt{\frac{2m(\varepsilon-V_0)}{\hbar^2}}\right)^2+V_0\right]e^{\pm ik'x}=\varepsilon e^{\pm ik'x}$$

(4) 

$$\varphi_I(0)+\varphi_R(0)=\varphi_T(0)$$

$$\frac{d \varphi_I}{dx}(0)+\frac{d\varphi_R}{dx}(0)=\frac{d\varphi_T}{dx}(0)$$

(5)

$1+R=T$, $ik-ikR=ik'T$ より、

$$k(1-R)=k'(1+R)$$

$$R=\frac{k-k'}{k+k'}, T=\frac{2k}{k+k'}$$

(6) 

$$
\begin{aligned}
\text{(左辺)}&=k\frac{k^2-2kk'+k'^2}{(k+k')^2}+k'\frac{4k^2}{(k+k')^2}\\
&=k\frac{k^2-2kk'+k'^2}{(k+k')^2}+k\frac{4kk'}{(k+k')^2}\\
&=k\frac{k^2+2kk'+k'^2}{(k+k')^2}\\
&=k
\end{aligned}
$$

(7)

$k'=\sqrt{2m(\varepsilon-V_0)/\hbar^2}=(1/2)\sqrt{2m\varepsilon/\hbar^2}=k/2$ より、
$R=1/3,T=4/3$

$$kR^2+k'T^2=\frac{1}{3^2}k+\frac{4^2}{3^2}\frac{k}{2}=\frac{1+8}{9}k=k$$

(8)

$V_0<0$ のとき、$k'=\sqrt{2m(\varepsilon-V_0)/\hbar^2}>\sqrt{2m\varepsilon/\hbar^2}=k$ より、
$R=\frac{k-k'}{k+k'}<0$ であり、

$$\varphi_I(0)=1>0$$

に対して、

$$\varphi_R(0)=R<0$$

となり、両者の位相は $\pi$ 異なる。

* Mathematica ソース [#td4bdace]

&attachref(一次元散乱.nb);
Counter: 3918 (from 2010/06/03), today: 1, yesterday: 1