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[[量子力学Ⅰ/水素原子]]

#mathjax
#katex

* $\chi$ に関する方程式 [#k100457f]

　&math(\frac{\PD^2\chi}{\PD\rho^2}+\left\{\frac{2}{\rho}-\frac{l(l+1)}{\rho^2}\right\}\chi-\frac{1}{n^2}\chi=0);

&math(\rho\to\infty); のときこの式は、

　&math(\frac{\PD^2\chi}{\PD\rho^2}=\frac{1}{n^2}\chi);

より、&math(\chi\propto e^{\pm\rho/n}); であり、発散しない方をとれば、

　&math(\chi\propto e^{-\rho/n});　(&math(\rho\to\infty);)

一方、&math(\rho\to 0); のときこの式は、

　&math(\rho^2\frac{\PD^2}{\PD\rho^2}\chi=l(l+1)\chi);

より、&math(\chi\propto \rho^{l+1}); または &math(\chi\propto\rho^{-l}); であり、発散しない方（原点で微分可能な方）をとれば、

　&math(\chi\propto \rho^{l+1});

である。そこで、

&math(\chi=X(\rho)e^{-\rho/n}); と置けば、

　&math(
\frac{\PD^2}{\PD\rho^2}X(\rho)e^{-\rho/n}
&=\frac{\PD}{\PD\rho}X'(\rho)e^{-\rho/n}-\frac{1}{n}\frac{\PD}{\PD\rho}X(\rho)e^{-\rho/n}\\
&=X''(\rho)e^{-\rho/n}-\frac{2}{n}X'(\rho)e^{-\rho/n}+\frac{1}{n^2}X(\rho)e^{-\rho/n}\\
);

を使って、

　&math(
X''(\rho)-\frac{2}{n}X'(\rho)+\cancel{\frac{1}{n^2}X(\rho)}
+\left\{\frac{2}{\rho}-\frac{l(l+1)}{\rho^2}\right\}X(\rho)-\cancel{\frac{1}{n^2} X(\rho)}=0
);

　&math(
X''(\rho)-\frac{2}{n}X'(\rho)+\left\{\frac{2}{\rho}-\frac{l(l+1)}{\rho^2}\right\}X(\rho)=0
);

&math(X(\rho)=\sum_{i=0}^\infty c_k\rho^k); と置けば、

　&math(
&X''(\rho)-\frac{2}{n}X'(\rho)+\left\{\frac{2}{\rho}-\frac{l(l+1)}{\rho^2}\right\}X(\rho)=0\\
);

　&math(
&\sum_{i=0}^\infty k(k-1)c_k\rho^{k-2}-\frac{2}{n}\sum_{i=0}^\infty kc_k\rho^{k-1}
+\sum_{i=0}^\infty 2c_k\rho^{k-1}-\sum_{i=0}^\infty l(l+1)c_k\rho^{k-2}=0\\
);

　&math(
&\sum_{i=0}^\infty (k+2)(k+1)c_{k+2}\rho^k-\frac{2}{n}\sum_{i=0}^\infty (k+1)c_{k+1}\rho^k
+\sum_{i=-1}^\infty 2c_{k+1}\rho^k-\sum_{i=-2}^\infty l(l+1)c_{k+2}\rho^{k}=0\\
);

　&math(
-l(l+1)&c_0\rho^{-2}+\{-l(l+1)c_{1}+2c_0\}\rho^{-1}+\\
&\sum_{i=0}^\infty \big[\big\{(k+1)(k+2)-l(l+1)\big\}c_{k+2}
+2\big\{-(k+1)/n+1\big\}c_{k+1}\big]\rho^k=0\\
);

すなわち、

　&math(
\left\{
\begin{array}{ll}
l(l+1)c_0=0\\[1mm]
l(l+1)c_{1}=2c_0\\[1mm]
n\big\{k(k+1)-l(l+1)\big\}c_{k+1}=-2(n-k)c_{k}&\ \ (k\ge 1)
\end{array}
\right.
);

第３式は &math(k); の大きいところでは近似的に

　&math(c_{k+1}=\frac{2}{nk}c_{k});

を表わし、これは &math(\exp(2x/n)); をマクローリン展開したときの係数と同じであるから、
&math(k\to\infty); で &math(c_k\ne 0); であれば &math(\rho\to \infty); で &math(\chi); 
は発散してしまう。つまり、&math(c_k); は有限の &math(k); で打ち切られなければならない。

&math(l=0); の場合には、

　第２式より &math(c_0=0);~
　第３式より &math(c_{k+1}=-\frac{2(n-k)}{nk(k+1)}c_{k}\ \ (k\ge 1));

ある &math(k>n); に対して &math(c_k\ne 0); であれば、それより大きな任意の &math(k); で 
&math(c_k\ne 0); となってしまうから、&math(k>n); では &math(c_k=0); でなければならない。
このとき、&math(c_1); の値を決定すれば &math(0<k\le n); 漸化式を使ってすべての &math(c_k); を決定できる。

&math(l\ge 1); の場合には、

　第１式より &math(c_0=0);~
　第２式より &math(c_1=0);~
　第３式より &math(c_k=0);　&math((k<l));

&math(l=0); の時と同様に、&math(k>n); に対しては &math(c_k=0); でなければならないから、
&math(n>l); でなければすべての &math(c_k); がゼロになってしまう。
&math(n>l); が成り立つ場合には、&math(c_{l+1}); を決めれば、
第３式より &math(l<k\le n); に対して &math(c_k); がすべて決まる。

まとめると、

- &math(n); は &math(l<n); を満たす整数でなければならない
- &math(c_k); は &math(l+1\le k\le n); の範囲のみ値を持つ
- &math(c_k); の漸化式は &math(c_{k+1}=-\frac{2(n-k)}{n\big\{k(k+1)-l(l+1)\big\}}c_{k});

具体的には、

&math(n=1); のとき、

　　&math(l=0); であれば &math(\chi_{1s}(\rho)=c_1\rho e^{-\rho});

&math(n=2); のとき、

　　&math(l=0); であれば &math(\chi_{2s}(\rho)=c_1\left[\rho-\frac{1}{2}\rho^2 \right]e^{-\rho/2});

　　&math(l=1); であれば &math(\chi_{2p}(\rho)=c_2\rho^2e^{-\rho/2});

&math(n=3); のとき、

　　&math(l=0); であれば &math(\chi_{3s}(\rho)=c_1\left[\rho-\frac{2}{3}\rho^2+\frac{2}{27}\rho^3 \right]e^{-\rho/3});

　　&math(l=1); であれば &math(\chi_{3p}(\rho)=c_2\left[\rho^2-\frac{1}{6}\rho^3 \right]e^{-\rho/3});

　　&math(l=2); であれば &math(\chi_{3d}(\rho)=c_3\rho^3e^{-\rho/3});

&math(n=4); のとき、

　　&math(l=0); であれば &math(\chi_{4s}(\rho)=c_1\left[\rho-\frac{3}{4}\rho^2+\frac{1}{8}\rho^3-\frac{1}{192}\rho^4 \right]e^{-\rho/4});

　　&math(l=1); であれば &math(\chi_{4p}(\rho)=c_2\left[\rho^2-\frac{1}{4}\rho^3+\frac{1}{80} \right]e^{-\rho/4});

　　&math(l=2); であれば &math(\chi_{4d}(\rho)=c_3\left[\rho^3-\frac{1}{12}\rho^3 \right]e^{-\rho/4});

　　&math(l=3); であれば &math(\chi_{4f}(\rho)=c_4\rho^4e^{-\rho/4});

* グラフ [#s627ad55]

Mathematica の LaguerreL の定義はいわゆる[[ラゲールの倍関数>Wikipedia:ラゲールの陪多項式]]とは定義が異なるので注意が必要。

　&math(
L_q^p(x) &= \frac{d^p}{dx^p}\left(e^x\frac{d^q}{dx^q}(x^qe^{-x})\right)\\
&= (-1)^pq!\,\mathrm{LaguerreL}[q-p,p,x]
);

の関係がある。

 LANG:mathematica
 Grid[Table[Table[
    (-1)^p q! LaguerreL[q - p, p, x] 
      == D[E^x D[x^q E^(-x), {x, q}], {x, p}] // FullSimplify,
    {p, 0, q - 1}], {q, 1, 20}]]

　&math(
R_n^l(r)\propto (2r/n)^lL_{n+l}^{2l+1}(2r/n)e^{-r/n}
);

は LaguerreL[n-l-1,2l+1,2r/n] を用いて書くことになる。

 LANG:mathematica
 R[n_,l_,r_] := Sqrt[(2/n)^3 (n-l-1)!/(2n((n+l)!)^3)] Exp[-r/n] (2r/n)^l LaguerreL[n-l-1,2l+1,2r/n]
 Table[
   Plot[ 
     Table[ 
       R[n, l, r]^2 / NMaximize[{R[n,l,rr]^2,100>rr>=1},rr, MaxIterations->1000], 
       {l, 0, n-1}
     ] // Evaluate, 
     {r, 0, 30}, 
     ImageSize->Large, AspectRatio->0.2, PlotRange->{0,1}, 
     Filling->Axis, PlotStyle->Thick, BaseStyle->20
  ], 
  {n, 1, 4}
 ] // GraphicsColumn[#, ImageSize->1280] &
 Export["Hydrogen.png", %]

 LANG:mathematica
 R[n_,l_,r_] := Sqrt[(2/n)^3 (n-l-1)!/(2n((n+l)!)^3)] Exp[-r/n] (2r/n)^l LaguerreL[n-l-1,2l+1,2r/n]
 Table[Plot[
     Table[r^2 R[n, l, r]^2/(r^2 R[n, l, r]^2 /. 
             (NSolve[D[r^2 R[n, l, r]^2, r] == 0] // Last[#] &)), 
       {l, 0, n - 1}] // Evaluate, {r, 0, 50}, 
     AspectRatio -> 0.2, PlotRange -> {0, 1}, Filling -> Axis, 
     PlotStyle -> Thick, BaseStyle -> 20], {n, 1, 4}] // 
   GraphicsColumn[#, ImageSize -> 1280] &
 Export["Hydrogen.png", %]

* 解答：半径に対する確率密度 [#p9d25d32]

(1)

　&math(
\frac{d}{dr}|rR_{2s}(r)|^2 &=\frac{d}{dr}\left[\frac{r^2}{2}\left(1-r/2\right)^2e^{-r}\right]\\
&=\frac{1}{2}\Big[2r(1-r/2)^2-r^2(1-r/2)-r^2(1-r/2)^2\Big]e^{-r}\\
&=\frac{1}{2}r(1-r/2)\Big[2(1-r/2)-r-r(1-r/2)\Big]e^{-r}\\
&=\frac{1}{8}r(2-r)(4-6r+r^2)e^{-r}\\
&=0
);

と置けば、

　&math(r=0,\ 3-\sqrt{5},\ 2,\ 3+\sqrt{5});

(2)

　&math(|rR_{2s}(r)|^2&=\frac{1}{8}r^2\left(2-r\right)^2e^{-r}); より、

　&math(r=0,2); に対しては明らかに &math(|rR_{2s}(r)|^2=0);

　&math(r=3\pm\sqrt{5}); に与えられた近似を用いれば &math(r=1,5); であり、

　&math(|rR_{2s}(1)|^2=\frac{1}{8}e^{-1});

　&math(|rR_{2s}(5)|^2=\frac{1}{8}5^23^2e^{-5});

ここで &math(5^23^2e^{-4}>1); であるから、&math(|rR_{2s}(5)|^2>|rR_{2s}(1)|^2); である。

すなわち &math(|rR_{2s}(r)|^2); が最大値をとるのは &math(r=3+\sqrt{5}\sim 5.236\sim 5);

(3)

　&math(
\langle r\rangle&=\int_0^\infty r|rR_{2s}(r)|^2\,dr\\
&=\frac{1}{8}\int_0^\infty r^3\left(2-r\right)^2e^{-r}dr\\
&=\frac{1}{8}\int_0^\infty \left(4r^3-4r^4+r^5\right)e^{-r}dr\\
&=\frac{1}{8}(4\cdot 3!-4\cdot 4!+5!)\\
&=3-12+15\\
&=6
);

ちなみに、与えられた積分は次のように求められる。

　&math(
I_n&=\int_0^\infty r^ne^{-r}dr\\
&=\cancel{\left[-r^ne^{-r}\right]_0^\infty}+\int_0^\infty nr^{n-1}e^{-r}dr\\
&=nI_{n-1}\\
&=n!I_0\\
&=n!\int_0^\infty e^{-r}dr\\
&=n!\left[-e^{-r}\right]_0^\infty\\
&=n!
);

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