量子力学Ⅰ/波動関数の解釈/メモ の変更点

更新 
* 目次 [#obe40a19]

#contents

* 概要 [#d7d6b3b3]

[[量子力学Ⅰ/波動関数の解釈]] に関するメモです。

* 測定される物理現象 [#q0464429]
** Mathematica ソース [#if68c58e]

上記干渉のアニメーションを表示する。
干渉のアニメーションを表示する。

 LANG:mathematica
 anim = Table[
    Plot3D[
      Re[ Exp[I(Sqrt[(x - d)^2 + y^2] - t)]/((x - d)^2 + y^2) + 
          Exp[I(Sqrt[(x + d)^2 + y^2] - t)]/((x + d)^2 + y^2) ] /. d -> 20.25,
     {x, -30, 30}, {y, 0, 60}, 
     Mesh -> None, Mesh -> Automatic, ViewPoint -> 1.4 {1.2, 1, 1}, 
     PlotPoints -> 401, ImageSize -> Large, 
     PlotRange -> {{-30, 30}, {0, 60}, {-0.01, 0.01}}
   ], {t, 0, 2 Pi, 2 Pi/40}
 ];
 Export["double-slit.gif", anim, "GIF"]

2015-02-23 時点において、この計算にはかなりの時間（１０分単位）がかかる。

* 確率密度の時間変化 [#i58843b4]

** 全確率の保存 [#n19bd59e]

*** 線形代数を用いた証明 [#f6db1a8f]

シュレーディンガー方程式を変形すれば、

　&math(\frac{\PD}{\PD t}\psi(\bm r,t)=(-i\hat H/\hbar)\psi(\bm r,t));

と書ける。したがって、&math(\Delta t); が小さく &math(t); から &math(t+\Delta t); の間に 
&math(\hat H(\hat{\bm r},\hat{\bm p},t)); が変化しないと見なせるとき、

　&math(\psi(\bm r,t+\Delta t)=e^{-i\Delta t\hat H(\hat{\bm r},\hat{\bm p},t)/\hbar}\psi(\bm r,t));

と表せることになる。

&math(\hat H); がエルミートであれば &math(-\Delta t\hat H/\hbar); もエルミートであるから、

　&math(\hat U=e^{-i\Delta t\hat H(\hat{\bm r},\hat{\bm p},t)/\hbar});

の部分はユニタリーになる。→ [[[&math(H); がエルミート行列の時、&math(e^{iH}); がユニタリーになることの証明]>量子力学Ⅰ/線形代数の復習#a5808b18]]

ユニタリー変換の性質より、

　&math(\|\psi(\bm r,t+\Delta t)\|^2=\|\hat U\psi(\bm r,t)\|^2=\|\psi(\bm r,t)\|^2); 

である。

この等式が任意の時刻に成り立つことから、シュレーディンガー方程式に従った波動関数の時間発展では、
確率密度が保存される((時間発展演算子はユニタリーである、とも言える))。
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