線形代数I/小テスト/2006-05-25

(4466d) 更新

今回の問題は教科書の問から。

問2.13 (ii)

次の行列の階数を求めよ。

\left[ \begin{array}{cccc} 1&1&-2&3 \\ 2&-1&1&1 \\ 0&3&-5&5 \\ -1&5&-8&7 \end{array} \right]

解答2.13 (ii)

\left[ \begin{array}{cccc} 1&1&-2&3 \\ 2&-1&1&1 \\ 0&3&-5&5 \\ -1&5&-8&7 \end{array} \right] \begin{array}{l} \to (1) \\ -2\times(1) \\\ \\+(1) \end{array}

\sim \left[ \begin{array}{cccc} 1&1&-2&3 \\ 0&-3&5&-5 \\ 0&3&-5&5 \\ 0&6&-10&10 \end{array} \right] \begin{array}{l} \ \\ \to (2) \\ +(2) \\ +2\times(2) \end{array}

\sim \left[ \begin{array}{cccc} 1&1&-2&3 \\ 0&-3&5&-5 \\ 0&0&0&0 \\ 0&0&0&0 \end{array} \right]

非ゼロの対角成分が2つ残ったので、与えられた行列の rank は 2 である。

問2.14 (ii)

次の行列は正則か否かを調べ、正則のとき逆行列を求めよ。

\left[ \begin{array}{cccc} 1&1&-1&0 \\ 0&1&-1&1 \\ 1&0&-1&-1 \\ 0&-1&1&0 \end{array} \right]

解答2.14 (ii)

\left[ \begin{array}{cccccccc} 1&1&-1&0&1&0&0&0 \\ 0&1&-1&1&0&1&0&0 \\ 1&0&-1&-1&0&0&1&0 \\ 0&-1&1&0&0&0&0&1 \end{array} \right] \begin{array}{l} \to(1) \\ \ \\ -(1) \\ \ \end{array}

\sim \left[ \begin{array}{cccccccc} 1&1&-1&0&1&0&0&0 \\ 0&1&-1&1&0&1&0&0 \\ 0&-1&0&-1&-1&0&1&0 \\ 0&-1&1&0&0&0&0&1 \end{array} \right] \begin{array}{l} -(2) \\ \to(2) \\ +(2) \\ +(2) \end{array}

\sim \left[ \begin{array}{cccccccc} 1&0&0&-1&1&-1&0&0 \\ 0&1&-1&1&0&1&0&0 \\ 0&0&-1&0&-1&1&1&0 \\ 0&0&0&1&0&1&0&1 \end{array} \right] \begin{array}{l} \ \\ +(3) \\ \to(3) \\ \ \end{array}

\sim \left[ \begin{array}{cccccccc} 1&0&0&-1&1&-1&0&0 \\ 0&1&0&1&1&0&-1&0 \\ 0&0&-1&0&-1&1&1&0 \\ 0&0&0&1&0&1&0&1 \end{array} \right] \begin{array}{l} +(4) \\ -(4) \\ \ \\ \to(4) \end{array}

\sim \left[ \begin{array}{cccccccc} 1&0&0&0&1&0&0&1 \\ 0&1&0&0&1&-1&-1&-1 \\ 0&0&-1&0&-1&1&1&0 \\ 0&0&0&1&0&1&0&1 \end{array} \right]\begin{array}{l} \\ \\ \times -1 \\ \end{array}

\sim \left[ \begin{array}{cccccccc} 1&0&0&0&1&0&0&1 \\ 0&1&0&0&1&-1&-1&-1 \\ 0&0&1&0&1&-1&-1&0 \\ 0&0&0&1&0&1&0&1 \end{array} \right]

従って与えられた行列は正則で、その逆行列は

\sim \left[ \begin{array}{cccc} 1&0&0&1 \\ 1&-1&-1&-1 \\ 1&-1&-1&0 \\ 0&1&0&1 \end{array} \right]

である。

問3.2 次の連立1次方程式をとけ。

(i) \left\{ \begin{array}{l}\ x+\ y-2z+u=\ 4 \\ 2x+3y+\ z-u=10 \end{array} \right.

(iii) \left\{ \begin{array}{l} \,\,\ x+2y\,\ \,\ \,\ \ \ +3u=2 \\ \,2x+5y\,\ -z+5u=0 \\ \,\ \,\ \,\ \,-3y+3z+7u=4 \\ -x-3y+\,\ z-2u=2 \end{array} \right.

解答3.2

(i)

\left[ \begin{array}{ccccc}\ 1&1&-2&1&4 \\ 2&3&1&-1&10 \end{array} \right] \begin{array}{l} \to (1) \\ -2\times(1)\end{array}

\sim \left[ \begin{array}{ccccc}\ 1&1&-2&1&4 \\ 0&1&5&-3&2 \end{array} \right] \begin{array}{l} -(2) \\ \to (2)\end{array}

\sim \left[ \begin{array}{ccccc}\ 1&0&-7&4&2 \\ 0&1&5&-3&2 \end{array} \right]

したがって、

\left(\begin{array}{c} x\\y \end{array}\right) + \left[\begin{array}{cc} -7&4 \\ 5&-3 \end{array}\right] \left(\begin{array}{c} z\\u \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 2\\2 \end{array}\right)

\left(\begin{array}{c} x\\y\\z\\u \end{array}\right) = \left[\begin{array}{cc} 7&-4 \\ -5&3 \\ 1&0 \\ 0&1 \end{array}\right] \left(\begin{array}{c} z\\u \end{array}\right) + \left(\begin{array}{c} 2\\2\\0\\0 \end{array}\right)

\left(\begin{array}{c} x\\y\\z\\u \end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc} 7 \\ -5 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right) z + \left(\begin{array}{cc} -4 \\ 3 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right) u + \left(\begin{array}{c} 2\\2\\0\\0 \end{array}\right)

これが与えられた方程式の解になる。

(iii)

\left[ \begin{array}{ccccc} 1&2&0&3&2 \\ 2&5&-1&5&0 \\ 0&-3&3&7&4 \\ -1&-3&1&-2&2 \end{array} \right]\begin{array}{l} \to (1) \\ -2\times(1) \\ \ \\ +(1) \end{array}

\sim \left[ \begin{array}{ccccc} 1&2&0&3&2 \\ 0&1&-1&-1&-4 \\ 0&-3&3&7&4 \\ 0&-1&1&1&4 \end{array} \right]\begin{array}{l} -2\times(2) \\ \to (2) \\ +3\times(2) \\ +(2) \end{array}

\sim \left[ \begin{array}{ccccc} 1&0&2&5&10 \\ 0&1&-1&-1&-4 \\ 0&0&0&4&-8 \\ 0&0&0&0&0 \end{array} \right]\begin{array}{l} \\ \\ \times 1/4 \\ \ \end{array}

\sim \left[ \begin{array}{ccccc} 1&0&2&5&10 \\ 0&1&-1&-1&-4 \\ 0&0&0&1&-2 \\ 0&0&0&0&0 \end{array} \right]\begin{array}{l} -5\times(3) \\ +(3) \\ \to (3) \\ \ \end{array}

\sim \left[ \begin{array}{ccccc} 1&0&2&0&20 \\ 0&1&-1&0&-6 \\ 0&0&0&1&-2 \\ 0&0&0&0&0 \end{array} \right]

したがって、

\left\{ \begin{array}{l} x=-2z+20 \\ y=\ \ \ \ z-6 \\ u=-2 \end{array} \right.

となり、

\left( \begin{array}{c} x\\y\\z\\u \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -2\\1\\1\\0 \end{array} \right) z + \left( \begin{array}{c} 20\\-6\\0\\-2 \end{array} \right)

が与式の解となる。

コメント

何かあれば自由にコメントを付けてください。



Counter: 2698 (from 2010/06/03), today: 1, yesterday: 0