線形代数II/基底の変換

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目次†

基底の変換†

異なる基底に対する表現†

\mathbb R^2 に２つの基底

　 A&:\Big\{\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}\Big\}\\ B&:\Big\{\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\Big\}

を取ると、１つのベクトル \bm x に対して２つの表現 \bm x_A,\bm x_B が得られる。

　 \bm x&=\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}\\ &=\bigg(\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}\ \begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}\bigg) \begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\hspace{6mm}\to\ \bm x_A=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\\ &=\bigg(\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}\ \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\bigg) \begin{pmatrix}1/2\\1\end{pmatrix}\hspace{5mm}\to\ \bm x_B=\begin{pmatrix}1/2\\1\end{pmatrix}\\

以下では、 \bm x_A と \bm x_B との間に成り立つ関係について考える。

基底の変換行列†

K 上の n 次元線形空間 V に２つの基底を取る

　 A=\set{\bm a_1,\bm a_2,\dots,\bm a_n}

　 B=\set{\bm b_1,\bm b_2,\dots,\bm b_n}

これらの基底に対するベクトル \bm x\in V の表現 \bm x_{ A}, \bm x_{ B}\in K^n は、

(1)　 \bm x=\begin{pmatrix}\bm a_1&\bm a_2&\dots&\bm a_n\end{pmatrix}\bm x_{ A}

(2)　 \bm x=\begin{pmatrix}\bm b_1&\bm b_2&\dots&\bm b_n\end{pmatrix}\bm x_{ B}

の関係を満たす。図に表わせば、

基底の変換.png

\bm x_{ A}\to \bm x および \bm x\to \bm x_{ B} はともに 線形写像（同型写像）となるから、その合成写像 \bm x_{ A}\to \bm x_{ B} も線形写像（同型写像）である。

数ベクトルの線形写像は行列のかけ算で表せる†

一般に、数ベクトルから数ベクトルへの線形写像 T:K^n\to K^m は m\times n 行列のかけ算の形で表せる。

なぜなら、

　 \bm x=\sum_{i=1}^n x_i\bm e_i

とすると、 T が線形写像であることから、

　 T\bm x&=T\Bigg(\sum_{i=1}^n x_i\bm e_i\Bigg)\\ &=\sum_{i=1}^n \hspace{3mm} x_i\hspace{-5mm}\underbrace{T\bm e_i}_{m次数ベクトル}\\ &=\underbrace{\Bigg( T\bm e_1\ T\bm e_2\ \dots\ T\bm e_n \Bigg)}_{m\times n行列} \bm x\\ &=A_T\bm x

そこで、†

ある n 次正方行列 P_{ B\to A} を用いて、

(3)　 \bm x_{ B}=P_{ B\to A}\bm x_{ A}

と表せる。

このとき、 P_{ B\to A} を 基底 B から 基底 A への基底の変換行列と呼ぶ。

変換の向き†

上記を良く読んで「変換の向きは逆じゃないの？」と思うのは正しい感覚。

どうしてこの向きかというと、

(2) に (3) を代入して、

　 \bm x=\begin{pmatrix}\bm b_1&\bm b_2&\dots&\bm b_n\end{pmatrix}P_{ B\to A}\bm x_{ A}

と (1) とを比べると、

(4)　 \begin{pmatrix}\bm a_1&\bm a_2&\dots&\bm a_n\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}\bm b_1&\bm b_2&\dots&\bm b_n\end{pmatrix}P_{ B\to A}

となり、 P_{ B\to A} は基底 B を基底 A に変換する。

数ベクトル表現を変換する (3) と、基底を変換する (4) とをしっかり区別して覚えよう。

具体例†

上記の例であれば P_{B\to A}=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} と置いて、

　 \Big(\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}\ \begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}\Big) &= \Big(\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}\ \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\Big) \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\\ &= \Big(a\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}+c\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\ \ b\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}+d\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\Big)\\

すなわち、

　 \begin{cases} \begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix} =a\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}+c\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix} =b\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}+d\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix} \end{cases}

　 a=1, c=-1, b=-1/2, d=2

したがって、

　 P_{B\to A}=\begin{pmatrix}1&-1/2\\-1&2\end{pmatrix}

上の例で言えば、

　 \bm x_B=P_{B\to A}\bm x_A

　 \begin{pmatrix}1/2\\1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1&-1/2\\-1&2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}

であり、確かに成り立っている。

$P_{B\to A}$ の求め方†

基底 A の k 番目の基底ベクトル \bm a_k の B に対する表現 (\bm a_k)_B を考えるとわかりやすい。

(\bm a_k)_A=\bm e_k なので（ただし \bm e_k は k 番目の基本ベクトル）、

P_{B\to A}=\Bigg(\,\bm p_1\ \bm p_2\ \cdots\ \bm p_n\,\Bigg) と置けば、

　 (\bm a_k)_B=P_{B\to A}(\bm a_k)_A=P_{B\to A}\bm e_k=\bm p_k

したがって、

　 P_{B\to A}=\Bigg((\bm a_1)_B\ (\bm a_2)_B\ \cdots\ (\bm a_n)_B\Bigg)

となって、 P_{B\to A} は 基底 A の基底ベクトルの基底 B に対する表現を並べて作った行列となる。

上の例ならば、

　 {\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}\!}_B=\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}

　 {\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}\!}_B=\begin{pmatrix}1/2\\1\end{pmatrix}

となって、確かに正しい。

正則性†

当然、逆写像も線形写像であるから、

　 \bm x_{ A}=P_{ A\to B}\bm x_{ B}

であり、

　 P_{ A\to B}=P_{ B\to A}^{-1}

の関係がある。すなわち、基底の変換行列は正則行列である。

例†

\mathbb R^2 に、２つの基底を取る。

\bm a_1=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}, \bm a_2=\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}

\bm b_1=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}, \bm b_2=\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}

\bm a_1,\bm a_2 を \bm b_1,\bm b_2 で展開すれば、

\bm a_1=\frac{1}{3}\bm b_1+\frac{1}{3}\bm b_2 → \bm a_{1B}=\begin{pmatrix}1/3\\1/3\end{pmatrix}

\bm a_2=-\bm b_1+\bm b_2 → \bm a_{2B}=\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}

２つの式をまとめると、

\begin{pmatrix}\bm a_1&\bm a_2\end{pmatrix}&= \begin{pmatrix}\bm b_1&\bm b_2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1/3&-1\\1/3&1\end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix}\bm b_1&\bm b_2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\bm a_{1B}&\bm a_{2B}\end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix}\bm b_1&\bm b_2\end{pmatrix}P_{B\to A}

この表式を用いて、

\bm x&=\begin{pmatrix}\bm a_1&\bm a_2\end{pmatrix}\bm x_A\\ &=\begin{pmatrix}\bm b_1&\bm b_2\end{pmatrix}P_{B\to A}\bm x_A\\ &=\begin{pmatrix}\bm b_1&\bm b_2\end{pmatrix}\bm x_B\\

すなわち、

\bm x_B=P_{B\to A}\bm x_A=\begin{pmatrix}1/3&-1\\1/3&1\end{pmatrix}\bm x_A

演習†

P^2[x] に２つの基底
A=\{1, x, x^2\} と
B=\{1, 1+x, 1+x+x^2\} を取る。

(1) A から B への変換行列 P_{A\to B} 、 B から A への変換行列 P_{B\to A} を求めよ。

(2) \bm x_A=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix} に対応する \bm x,\bm x_B を求めよ。

(3) \bm x_B=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix} に対応する \bm x,\bm x_A を求めよ。

解答†

(1)

　 \Bigg( 1 \hspace{5mm} 1+x \hspace{5mm} 1+x+x^2 \Bigg) = \Bigg( 1 \hspace{5mm} x \hspace{5mm} x^2 \Bigg) \underbrace{ \begin{pmatrix} a&b&c\\d&e&f\\g&h&i \end{pmatrix} }_{P_{A\to B}} 　　より、 　 P_{A\to B}=\begin{pmatrix} 1&1&1\\ 0&1&1\\ 0&0&1\\ \end{pmatrix}

また、

　 \Bigg( 1 \hspace{5mm} x \hspace{5mm} x^2 \Bigg) = \Bigg( 1 \hspace{5mm} 1+x \hspace{5mm} 1+x+x^2 \Bigg) \underbrace{ \begin{pmatrix} a&b&c\\d&e&f\\g&h&i \end{pmatrix} }_{P_{B\to A}} 　　より、 　 P_{B\to A}=\begin{pmatrix} 1&-1&0\\ 0&1&-1\\ 0&0&1\\ \end{pmatrix}

あるいは、 P_{B\to A}=P_{A\to B}^{-1} から求めても良い。

(2)

　 \bm x&= \Bigg( 1 \hspace{5mm} x \hspace{5mm} x^2 \Bigg)\bm x_A= 1+2x+3x^2

　 \bm x_B&=P_{B\to A}\bm x_A\\ &=\begin{pmatrix} 1&-1&0\\ 0&1&-1\\ 0&0&1\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -1\\ -1\\ 3\\ \end{pmatrix}

検算：

　 \bm x&=\Bigg( 1 \hspace{5mm} 1+x \hspace{5mm} 1+x+x^2 \Bigg)\bm x_B =1+2x+3x^2

(3)

　 \bm x&= \Bigg( 1 \hspace{5mm} 1+x \hspace{5mm} 1+x+x^2 \Bigg)\bm x_B= 6+5x+3x^2

　 \bm x_A&=P_{A\to B}\bm x_B\\ &=\begin{pmatrix} 1&1&1\\ 0&1&1\\ 0&0&1\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 6\\ 5\\ 3\\ \end{pmatrix}


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質問・コメント†




無題†

いつもお世話になっております ()

(3)
最後から2行目の数式
\bm x_A &= P_{A \to B} \bm x_B \\
かと。

  • ありがとうございます、おっしゃるとおりでした。 -- 武内（管理人）

変換の向き†

南 ()

変換の向き、の節に書かれている
“基底を変換する (3) と、数ベクトル表現を変換する (4) とをしっかり区別して覚えよう。”
の式番号があべこべになっているかと思います。

  • ご指摘ありがとうございます。その通りでしたので修正いたしました。 -- 武内（管理人）
  • 訂正していただき恐縮なのですが、まだあべこべになっているかと思います。初学者にとって誤解しやすい部分ですので、再度ご確認いただければ幸いです。 -- 南
  • どうもすみません。全然直っていませんでしたね・・・今回こそは直ったと思います。 -- 武内（管理人）

変換行列の具体的な形ー一般にはの部分†

濱口数馬 ()

確認計算の2列目は、-1／2, 2では?
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