スピントロニクス理論の基礎/X-1 の履歴(No.1)

数演算子†

なる演算子の固有値 に対応する固有関数を とする。

より、

固有値は必ず であり、さらに を得る。

反交換関係†

フェルミオンでは、

なる反交換関係が成り立つ。

これを用いると、

&math( &c^\dagger cc^\dagger c\ket{k}=\hat n\hat n\ket{k}=k^2\ket{k}\\ &=c^\dagger(1-c^\dagger c) c\ket{k}=(c^\dagger c-c^\dagger c^\dagger cc)\ket{k}=(c^\dagger c - 0\cdot 0)\ket{k} = \hat n\ket{k}=k\ket{k});

すなわち、 より の固有値 は 0 または 1 である。

つぎに、

一方で、

したがって、

これと、 より

同様に、

また、 より を使うと、

したがって、

が得られた。

これらを用いて具体的に書き下すと、

が得られ、 が消滅演算子、 が生成演算子として働くことが分かる。