定理２．１０†
線形写像が１対１であることと、その核がゼロベクトルのみを含むこと、
すなわち
とは同値である。
証明１（教科書のもの）†
まず線形写像の核は必ずゼロベクトルを含むことを示す。
なぜならベクトルと線形写像の性質から、
であるが、両辺に
を加えると、
つまり、
となる。
ところが、
が１対１写像であれば
であれば
なので、
はゼロベクトル以外の要素を含まない。
逆に、
であるとすると、
を変形して
より、
すなわち
を導くことができ、この対偶として
が１対１写像であること
が示される。
証明２†
線形写像
が１対１である
の定義は
であるような
について
である
ということであった。これを数学的に書けば
となるが、これの対偶は
である。
さらに両辺を変形すると、
さらに
と置けば、
であり、これは
と同値である。
途中の変形はすべて同値変形であるから、定理は証明された。