線形代数II/連立線形微分方程式 の履歴(No.1)

例題†

未知の関数 が次の連立微分方程式を満たす時、

　&math(\left\{ \begin{matrix} \displaystyle\frac{dx_1(t)}{dt}=\dot x_1(t)=ax_1(t)+bx_2(t) \\ \displaystyle\frac{dx_2(t)}{dt}=\dot x_2(t)=cx_1(t)+dx_2(t) \end{matrix} \right.);

この方程式はベクトル関数 、 行列 を用いて、

　

と表せる。

もし を の形にできるなら、

　&math( \bm x(t)=P\bm y(t)=P\begin{pmatrix}y_1(t)\\y_2(t)\end{pmatrix} );

の変数変換により、

　&math( \dot{\bm x}(t)=\frac{d}{dt}\{P\bm y(t)\}=P\frac{d\bm y(t)}{dt}=A\bm x(t)=AP\bm y(t) );

すなわち、

　

が得られ、これは

　&math(\left\{ \dot y_1(t)=\lambda_1y_1(t)\\ \dot y_2(t)=\lambda_2y_2(t) \right.);

という方程式を表わす。したがってこの解は、

　&math(\left\{ y_1(t)=y_1(0)e^{\lambda_1t}\\ y_2(t)=y_2(0)e^{\lambda_2t}\\ \right.);　あるいは 　

と解くことができる。

および を使うと、

　&math(\bm x(t)=P\bm y(t) =P\begin{pmatrix}e^{\lambda_1t}\\&e^{\lambda_2t}\end{pmatrix}\bm y(0) =P\begin{pmatrix}e^{\lambda_1t}\\&e^{\lambda_2t}\end{pmatrix}P^{-1}\bm x(0) );

が得られ、これが初期条件 が与えられた際に を求めるための式となる。

この式は、

　

と書くこともできて、この表式から、

　&math(\dot{\bm x}(t)=\frac{d}{dt}\left\{e^{tA}\bm x(0)\right} =\left\{\frac{d}{dt}e^{tA}\right}\bm x(0) =Ae^{tA}\bm x(0) =A\bm x(t) );

のように与えられた微分方程式を満たすことを確認できる。

通常の微分方程式

　

の解を

　

と表せることと対比して理解せよ。