量子力学Ⅰ/固有値と期待値/メモ の履歴(No.1)
更新解答:物理量を表わす演算子のエルミート性†
(1)
&math(\begin{array}{lll} \displaystyle\int_{-\infty}^\infty\varphi^*(x)\hat f\varphi(x)\,dx &\displaystyle=\int_{-\infty}^\infty\varphi^*(x)f(x)\varphi(x)\,dx\\ &\displaystyle=\int_{-\infty}^\infty f(x)\varphi^*(x)\varphi(x)\,dx &\hspace{1cm}数値の入れ替え\rule{0pt}{2em}\\ &\displaystyle=\int_{-\infty}^\infty f^*(x)\varphi^*(x)\varphi(x)\,dx &\hspace{1cm}f^*(x)=f(x)\rule{0pt}{2em}\\ &\displaystyle=\int_{-\infty}^\infty \big(f(x)\varphi(x)\big)^*\varphi(x)\,dx\rule{0pt}{2em}\\ &\displaystyle=\int_{-\infty}^\infty \big(\hat f\varphi(x)\big)^*\varphi(x)\,dx\rule{0pt}{2em}\\ \end{array} );
(2)
&math( \int_{-\infty}^\infty\varphi^*(x)\frac{\PD}{\PD x}\varphi(x)\,dx &=\underbrace{\Big[\varphi^*(x)\varphi(x)\Big]_{-\infty}^\infty}_{=0}-\int_{-\infty}^\infty\Big(\frac{\PD}{\PD x}\varphi^*(x)\Big)\varphi(x)\,dx\\ &=\int_{-\infty}^\infty\Big(-\frac{\PD}{\PD x}\varphi^*(x)\Big)\varphi(x)\,dx\\ );
(3)
&math( \int_{-\infty}^\infty\varphi^*(x)\,\hat p\,\varphi(x)\,dx &=\int_{-\infty}^\infty\varphi^*(x)\frac{\hbar}{i}\frac{\PD}{\PD x}\varphi(x)\,dx\\ &=\int_{-\infty}^\infty\left(\frac{\hbar}{-i}\varphi(x)\right)^*\frac{\PD}{\PD x}\varphi(x)\,dx\\ &=\int_{-\infty}^\infty\left(-\frac{\PD}{\PD x}\,\frac{\hbar}{-i}\varphi(x)\right)^*\varphi(x)\,dx\\ &=\int_{-\infty}^\infty\left(\frac{\PD}{\PD x}\,\frac{\hbar}{i}\varphi(x)\right)^*\varphi(x)\,dx\\ &=\int_{-\infty}^\infty\big(\hat p\,\varphi(x)\big)^*\varphi(x)\,dx\\ );
(4)
&math( \int_{-\infty}^\infty\varphi^*(x)\,\hat X^n\varphi(x)\,dx &=\int_{-\infty}^\infty\varphi^*(x)\,\underbrace{\hat X\hat X\dots\hat X}_{n}\varphi(x)\,dx\\ &=\int_{-\infty}^\infty\big(\hat X\varphi(x)\big)^*\,\underbrace{\hat X\hat X\dots\hat X}_{n-1}\varphi(x)\,dx\\ &=\int_{-\infty}^\infty\big(\hat X\hat X\varphi(x)\big)^*\,\underbrace{\hat X\hat X\dots\hat X}_{n-2}\varphi(x)\,dx\\ &\dots\\ &=\int_{-\infty}^\infty\big(\underbrace{\hat X\hat X\dots\hat X}_{n}\varphi(x)\big)^*\,\varphi(x)\,dx\\ &=\int_{-\infty}^\infty\big(\hat X^n\varphi(x)\big)^*\,\varphi(x)\,dx\\ );
(5)
&math( \int_{-\infty}^\infty\varphi^*(x)\,(\hat X+\hat Y)\varphi(x)\,dx &=\int_{-\infty}^\infty\varphi^*(x)\,\big(\hat X\varphi(x)+\hat Y\varphi(x)\big)\,dx\\ &=\int_{-\infty}^\infty\varphi^*(x)\,\hat X\varphi(x)\,dx
- \int_{-\infty}^\infty\varphi^*(x)\,\hat Y\varphi(x)\,dx\\ &=\int_{-\infty}^\infty\big(\hat X\varphi(x)\big)^*\varphi(x)\,dx
- \int_{-\infty}^\infty\big(\hat Y\varphi(x)\big)^*\varphi(x)\,dx\\ &=\int_{-\infty}^\infty\big(\hat X\varphi(x)+\hat Y\varphi(x)\big)^*\varphi(x)\,dx\\ &=\int_{-\infty}^\infty\Big[\big(\hat X+\hat Y\big)\varphi(x)\Big]^*\varphi(x)\,dx\\ );
(6)
&math( \int_{-\infty}^\infty\varphi^*(x)\,\hat X\hat Y\varphi(x)\,dx &=\int_{-\infty}^\infty\big(\hat X\varphi(x)\big)^*\,\hat Y\varphi(x)\,dx\\ &=\int_{-\infty}^\infty\big(\hat Y\hat X\varphi(x)\big)^*\,\varphi(x)\,dx\\ );
任意の に対してこれが に等しいためには、
すなわち でなければならない。
(7) (1) の通り実数関数 の部分はエルミートであるから、 がエルミートであることを示せば、(5) により はエルミートになる。
はエルミートであり、 また、 はエルミートであるから はエルミートである。
と は可換であるから もエルミートである。
(8)
&math( \hat p\hat x\varphi(x)=\frac{\hbar}{i}\frac{d}{dx}\big(x\varphi(x)\big) &=\frac{\hbar}{i}\varphi(x)+x\cdot\frac{\hbar}{i}\frac{d}{dx}\varphi(x)\\ &=\Big(\frac{\hbar}{i}+x\cdot\frac{\hbar}{i}\frac{d}{dx}\Big)\varphi(x)\\ &=\Big(\frac{\hbar}{i}+x\cdot\hat p\Big)\varphi(x)\\ );
より、