４章A-置換を用いた行列式の導出 の履歴(No.12)

1. 交代性：†

任意の２つの列ベクトルを交換すると、符号が反転する。

2. 重線形性：†

どの列ベクトルに対しても線形である。

3. 単位行列の行列式：†

単位行列の行列式は１である。

文字の置換†

文字の置換とは、

や

のように、 個ずつの数字を２行に並べ括弧でくくったものである。 それぞれの列は 1 から までの数字がそれぞれ１つずつ、任意の 順序で並んだものになっている。

一般的な形で書けば、

の形であり、 および はどちらも 1 から までの数字を適当に並べ替えた数字の列である。

置換は を に置き換える「操作」を表す。例えば上の例で

は、1 を 4 に、3 を 3 に、4 を 1 に、2 を 2 に置き換える。

この操作を 1, 2, 3, 4 という数の並びに適用すると、4, 2, 3, 1 という新しい 数の並びが得られる。同様に 1, 3, 2, 4 に適用すれば結果は 4, 3, 2, 1 になる。 上記置換の表す操作をより簡単な言葉で表せば 1 と 4 とを入れ替える操作であると言える。

置換の定義では 対の のペアが意味を持つのであって、 記述する際の順には意味が無いことに注意しよう。すなわち、

や

などはやはり 1 と 4 とを入れ替える置換を表しており、上で示した表記と 同一視することができる。一般に 字の置換を上記形式で書き表す方法は 通り存在する。

それでは異なる意味を持つ置換の数についてはどうであろうか。 文字の置換の 集合を と書こう。 の要素の数は を 並び替えた順列の数に等しいため、 個であることが分かる。

特殊な置換として、恒等置換と逆置換がある。

のように、上の行と下の行とがまったく同じ数列である場合、この置換はなんら 置き換えを行わないという「操作」に対応する。これを恒等置換と呼ぶ。

また、

に対して、上下の行を入れ替えた

の形の置換を の逆置換と呼ぶ。これは、 により並び替えた数列を さらに により並べ替えることで元の数列に戻るためである。 定義から明らかなように、任意の に対して必ず１つだけ が存在することに注意しよう。

合成置換と対称群†

複数の置換を順番に適用した結果として得られる並び替え操作を、合成置換と呼ぶ。 例えば、 に置換

を適用すると、 が得られ、その結果にさらに

を適用すると、 が得られる。この過程のはじめと終わりとを見比べると と とを連続して適用する演算は

を一回適用する操作と同一視できる。

このことを、 と との合成変換は に等しいと言い、 と書く。このようにして、ごく自然に に含まれる 要素の間に「積」の演算を定義することができ、その積について が閉じていることが分かる。

この積の定義に対して、 が以下の３つの性質を持っていることを示すことができる。

1. 結合法則：すべての に対して

2. 単位元の存在：ある が存在し、すべての に対して

（註： は上で定義した恒等置換のことである）

3. 逆元の存在：すべての に対して、ある が 存在して、

（註： は上で定義した逆置換のことである）

ある演算に対してこれら３つの性質を持つ集合は「群」と呼ばれる。つまり、 文字の置換は 上で定義した積について群を為す言える。特に「置換」によって定義される群は対称群と呼ばれ、 様々な分野で役に立っている。

互換への分解†

ここでもう一度振り返ると、置換を導入した目的は 1 から までの数の並び を に並べ替えるのに要する 「入れ替え操作」の回数を調べたいのであった。

そこでまず、互換という言葉を導入する。互換とは、 文字のうち特定の２文字を入れ替える 置換のことである。例えば上で見た

は 1 と 4 とを入れ替える操作であるから互換である。 に含まれる 個の置換の うち、 個が互換である。（互換は 個の数字のうちどれと どれを入れ替えるか、順序を気にせず２つを選ぶ組み合わせの数だけ存在する）

ここで証明すべき重要な定理が「任意の置換は互換の積として表すことができる」そして、 「ある与えられた置換 を 個の互換の積として表したとすると（ ）、 が 偶数であるか奇数であるかは の選び方によらない に固有の 属性である」の２つである。

１つ目は説明は直感的に分かりやすく、成立することもほぼ自明であるが、２つ目については 補足が必要であろう。まず、ある置換を互換の積として表す方法は複数考えることができる。

例えば、

であるし、そもそも恒等変換を

などと互換の積で表せるのだから、その書き表し方は無限に考えられることになる。

それにもかかわらず、もしある置換を偶数個の互換の積として表すことができるので あれば、どう書き直したとしても必ず偶数個の互換としてしか書くことができず、 逆に奇数個の場合であれば必ず奇数個となる。すなわち、偶数個になるか奇数個に なるかは書き表し方によって変わるものではなく、置換自身の持つ固有の属性で あるというのが上の定理の意味するところである。

実はこの証明は比較的難しく、短く解こうとすると技巧的にならざるを得ない。 そこで、ここでは証明の詳細に踏み込まず、後に置換の厳密な定義と共に参考資料と して掲載する。

ある置換を互換の積として表したとき、その個数が偶数になる置換を遇置換、奇数に なる置換を奇置換と呼ぶ。また、置換のシグネチャー(signature)は、遇置換に対して １であり、奇置換に対して -1 であるとして定義される。置換 の シグネチャーを と書く。

このようにして、 を に 並べ替えるのに要する２つの数の入れ替え操作の回数は、回数自体は不定である にもかかわらず、その偶奇性は により一意に 定まることが分かる。

そして、シグネチャーの定義を使うことで行列式を

というような短い表式で書けることになる。

逆置換のシグネチャー†

さて、上の式に含まれる置換が教科書に現れるものの逆置換になっていることに 気づいただろうか？式を導く過程の考え方の違いで結果が異なったのであるが、 これは重要な違いではない。

なぜなら、置換 のシグネチャーとその逆置換 のシグネチャーと とは等しいからである。これは、以下のようにして示される。

を互換の積として表した表式を

としよう。すると

と書くことができ、また、互換の逆置換はそれ自身であることから、

を得る。すなわち は と同じ数の互換で表せるのであるから 両者のシグネチャーは等しいのである。

したがって、上式は教科書の

と等しくなる。