線形代数I/行列式 の履歴(No.14)
更新培風館「教養の線形代数(五訂版)」に沿って行っている授業の授業ノート(の一部)です。
2次の行列式(デターミナント)†
2次の正方行列 の行列式(デターミナントを日本語では行列式と呼ぶ)は、
であることを高校で学んだ。
ここで、 と書く代わりに と書くことに注意せよ。
一般に 次の正方行列に行列式が定義される。
例:3次の場合
次の行列式は
- 個の要素を掛け合わせ、符号を付けて足し合わせたもの
- 掛け合わされる
個の要素は各列から1つずつ、各行から1つずつ取られる
つまり、1つの項の中に現れる 個の因子に同じ行、同じ列の要素がダブって含まれることは無い。 - 付ける符号の決め方は後で学ぶ。
2. のルールを満たす積の作り方は 通りある。
例: の時
各行に対してどの列を取るかを表にすると、
積 | 1行目 | 2行目 | 3行目 | 符号 |
1 | 2 | 3 | + | |
2 | 3 | 1 | + | |
3 | 1 | 2 | + | |
3 | 2 | 1 | - | |
2 | 1 | 3 | - | |
1 | 3 | 2 | - |
列の取り方が 通りになることが分かる。
3.1 順列†
各項の符号を定義するため「順列」について学ぶ。
次の順列とは、 の数字を任意の順に並べ替えて丸括弧でくくった物。
- 1次:(1)
- 2次:(1 2), (2 1)
- 3次:(1 2 3), (2 3 1), (3 1 2), (3 2 1), (2 1 3), (1 3 2)
(1つの順列の中に同じ数字は複数回現れないことに注意せよ)
n 次の順列は n! 個存在する†
個存在する。
, , , , , , , ・・・
文字で書くときは†
などと書く。
には の自然数が1回ずつ現れる。
転倒数†
と
が、
にもかかわらず
となるとき、
は「転倒している」と言う。
(
の順を基準として、入れ替わっていると言う意味)
- (1 2 3) 転倒はない → 転倒数 0
- (1 3 2) 3 と 2 が転倒 → 転倒数 1
- (2 3 1) 2 と 1, 3 と 1 が転倒 → 転倒数 2
- (3 2 1) 3 と 2, 3 と 1, 2 と 1 が転倒 → 転倒数 3
間違いなく数えるには、それぞれの数字に対して、 自身よりも右にあって、自身よりも小さな数字の出現回数を数えて、 最後に全て加えればいい。
順列の符号†
と書く。
順列の符号は の値を取り、
- : 転倒数が偶数の場合
- : 転倒数が奇数の場合
両方まとめると、転倒数が の時に
隣り合う要素の入れ替えで符号は反転する†
∵
以外の要素の組については転倒数が変化しない。
したがって、
(1)
の時、入れ替えにより転倒数は1増える
(2)
の時、入れ替えにより転倒数は1減る
どちらの場合も、符号は反転する。
任意の要素の入れ替えで符号は反転する†
∵
とすれば、
番目と
番目、
番目と
番目、…、
番目と
番目をこの順に入れ替えると、入れ替え階数は
回であるから
(左辺)
となる。( と とを入れ替えた)
さらに、 番目と 番目、 番目と 番目、…、 番目と 番目をこの順に入れ替えると、入れ替え階数は 回であるから
(右辺)
となる。( と とを入れ替えた)
n次正方行列の行列式†
とすると、行列式は次のように定義される。
- は、 次の順列全てについて、それぞれ の値を計算し、 できた 個の項を足し合わせた値を意味する。
例1: の時:
2次の順列を転倒数で分類すれば、
したがって、
&math( \left|\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right| &=\sum_{(p_1\ p_2)}\varepsilon(p_1\ p_2)a_{1p_1}a_{2p_2}\\ &=\underbrace{\varepsilon(1\ 2)a_{11}a_{22}}_{(p_1\ p_2)\,=\,(1\ 2)}+
\underbrace{\varepsilon(2\ 1)a_{12}a_{21}}_{(p_1\ p_2)\,=\,(2\ 1)}\\
&=ad-bc );
例2: の時:
3次の順列を転倒数で分類すれば、
したがって、
&math( \left|\begin{array}{ccc}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{array}\right| =\sum_{(p_1\ p_2\ p_3)}\varepsilon(p_1\ p_2\ p_3)a_{1p_1}a_{2p_2}a_{3p_3} );
&math( \begin{array}{r@{\hspace{1cm}}c@{\hspace{1cm}}l} =\varepsilon(1\ 2\ 3)a_{11}a_{22}a_{33}&\rightarrow&+aei\\
- \varepsilon(2\ 3\ 1)a_{12}a_{23}a_{31}&\rightarrow&+bfg\\
- \varepsilon(3\ 1\ 2)a_{13}a_{21}a_{32}&\rightarrow&+cdh\\
- \varepsilon(3\ 2\ 1)a_{13}a_{22}a_{31}&\rightarrow&-ceg\\
- \varepsilon(2\ 1\ 3)a_{12}a_{21}a_{33}&\rightarrow&-bdi\\
- \varepsilon(1\ 3\ 2)a_{11}a_{23}a_{32}&\rightarrow&-afh \end{array} );
3.2 行列式の性質†
すぐ分かる内容†
-
なら
- は正にも負にもなる (絶対値とは異なる)
- が整数のみからなる行列なら も整数となる
行に対する多重線形性†
「線形」とは、
を満たすような関数 を表す性質。
- なら線形
- だと線形ではない
行列式の多重線形性は、 を行列 の行ベクトル分解として次の2つが成り立つこと。
これは、行列式を「行ベクトルを与えると数値を返す関数」と見たときに、
すべての引数 に対して線形性を持つと言うことであり、この意味で「多重」と言われる。
証明†
&math( &(第1式左辺)\\ &=\sum_{(p_1\ p_2\ \dots\ p_n)}\varepsilon(p_1\ p_2\ \dots\ p_n)a_{1p_1}\dots (ca_{kp_k})\dots a_{np_n}\\ &=c\sum_{(p_1\ p_2\ \dots\ p_n)}\varepsilon(p_1\ p_2\ \dots\ p_n)a_{1p_1}\dots a_{kp_k}\dots a_{np_n}\\ &=(第1式右辺) );
中で、 行目の要素が現れるのは の部分しかないことに注意せよ。
同様に、
&math( (第2式左辺)\\ &=\sum_{(p_1\ p_2\ \dots\ p_n)}\varepsilon(p_1\ p_2\ \dots\ p_n)a_{1p_1}\dots (a_{kp_k}+a'_{kp_k})\dots a_{np_n}\\ &=\sum_{(p_1\ p_2\ \dots\ p_n)}\varepsilon(p_1\ p_2\ \dots\ p_n)a_{1p_1}\dots a_{kp_k}\dots a_{np_n}\\ &\ +\sum_{(p_1\ p_2\ \dots\ p_n)}\varepsilon(p_1\ p_2\ \dots\ p_n)a_{1p_1}\dots a'_{kp_k}\dots a_{np_n}\\ &=(第2式右辺) );
行に対する交代性†
行を入れ替えると符号が反転する
&math( \begin{vmatrix}\hspace{10mm}\vdots\hspace{10mm}\\[-6pt]\bm a_i\\[-4pt]\vdots\\[-6pt]\bm a_j\\[-4pt]\vdots\end{vmatrix}=-\begin{vmatrix}\hspace{10mm}\vdots\hspace{10mm}\\[-6pt]\bm a_j\\[-4pt]\vdots\\[-6pt]\bm a_i\\[-4pt]\vdots\end{vmatrix} );
証明†
&math( (左辺)\\ &=\phantom{-}\sum_{(\dots p_i\dots p_j\ \dots)}\varepsilon(\dots p_i\dots p_j\ \dots)\dots a_{ip_i}\dots a_{jp_j}\dots\\ &=\phantom{-}\sum_{(\dots p_i\dots p_j\ \dots)}\varepsilon(\dots p_i\dots p_j\ \dots)\dots a_{ip_j}\dots a_{jp_i}\dots\\ &=-\sum_{(\dots p_i\dots p_j\ \dots)}\varepsilon(\dots p_j\dots p_i\ \dots)\dots a_{ip_j}\dots a_{jp_i}\dots\\ &=-\sum_{(\dots p_j\dots p_i\ \dots)}\varepsilon(\dots p_j\dots p_i\ \dots)\dots a_{ip_j}\dots a_{jp_i}\dots\\ &=(右辺) );
- 1行目→2行目:実数の積の交換法則
- 2行目→3行目:順列要素の入れ替え
- 3行目→4行目:Σの添え字が変更になることで和を取る順番が変化するが、 次の順列すべてについて和を取れば、全体として現れる項は等しくなる。
行に対するその他の性質†
同じ値を持つ行が複数存在すると行列式はゼロ†
等しい値の行を入れ替えても行列式の値は変わらないが、 同時に符号は反転するはず。
の解は であるから、この行列式の値はゼロ。
ゼロ行を含む行列式はゼロ†
より、
ある行の定数倍を別の行に加えても行列式の値は変化しない†
次数の低下(行方向)†
1列目が を残してすべてゼロであるとき、 行列式を次数の1つ小さな行列式で表せる。
証明†
(左辺)
ここで、元の行列の形から は の時にゼロとなる。
一方、 の項では のうちどれかが必ず 1 になる。
とすると、積 の中に ただし が現れるから、そのような項はすべて消えてしまう。
結果として、 の項のみが残されて、
ここで、 次の順列 と 次の順列 とは同じ転倒数を持ち、符号も等しい。
さらに、前者が可能な値すべてを動くとき、後者は 次の順列全てを動く。
したがって、 と書けば、
=(右辺)
系†
- 上三角行列の行列式は対角成分の積に等しい
- 単位行列の行列式は1
3.3 行に対する基本変形†
ある行を c 倍†
の時 より とも書ける
ある行に別の行の c 倍を加えると行列式は変化しない†
の時 より とも書ける
ある行と別の行とを入れ替えると行列式は反転†
の時 より とも書ける
基本行列と行列式†
上で見た内容から、以下の2つの性質が明らかになった。
- 基本行列の行列式はゼロではない
- が基本行列の時
正則行列と行列式 (補題3.7)†
任意の正則行列 は基本行列の積で書けるから、
正方行列 に正則行列 を左から掛ける時
正則行列と行列式†
- 正則行列の行列式はゼロではない
∵
- が正則でない場合
∵ を階段行列とすると、 はゼロ行ベクトルを含むため、
一方、(1) より であるから
- 正則性の判定 : 以下はすべて同値な条件となる (定理3.9)
- が正則であること
- 逆行列の行列式
∵ より
積の行列式は行列式の積で表せる (定理3.8)†
を正方行列とすれば が成り立つ。
証明†
(1) が正則な場合は既に証明した
(2) が正則でない場合
であり、また も正則でないため
したがって、
行列の転置と行列式†
基本行列の転置をとっても行列式は変化しない†
および は対称行列であるから自明。
については、
転置をとっても行列式は変化しない†
が正則でなければ も正則でないので、
が正則ならば、基本行列の積で書けて
列に対する性質†
転置に対する定理のおかげで、行に対する性質はすべて列に対しても成立する。
- { 行 or 列 } に対する多重線形性
- { 行 or 列 } に対する交代性
- { 行 or 列 } に対する基本変形
- ある { 行 or 列 } を c 倍すると行列式も c 倍
- ある { 行 or 列 } に別の { 行 or 列 } の c 倍を加えると行列式は変化しない
- ある { 行 or 列 } と別の { 行 or 列 } とを入れ替えると行列式は反転
- 次数の低下({ 行 or 列 }方向)
- { 行 or 列 } に対するその他の性質
- 同じ値を持つ { 行 or 列 } が複数存在すると行列式はゼロ
- ゼロの { 行 or 列 } を含む行列式はゼロ
次数の低下の一般公式†
ある行、あるいはある列が、1つの要素を除いてゼロの時、要素の添え字に依存する符号を付けて次数を低下できる。
行方向に 回、列方向に 回、行・列を入れ替えることで、それぞれ
の形にでき、 を用い、また (1,1) 要素を前に出せば上記公式を得る。
一般の行列式の求め方†
- 行および列に対する基本変形で、ある行または列を掃き出す
- 次数を低下する
を繰り返すことで、大きな行列でも行列式の値を計算できる。
3.4 行列式の展開†
余因子†
ある行列 を、 を中心に次のように分割する。
行目と 列目を除いてできる行列式に符号を付けた
を、 の 余因子と呼ぶ。
余因子を使うと、次数の低下を次のように書ける。
の表式は を含まないことに注意せよ。
i 行目に対する展開†
(任意の に対して成り立つ)
j 列目に対する展開†
(任意の に対して成り立つ)
ゼロとなる和†
あるいは の時、
(任意の に対して成り立つ)
(任意の に対して成り立つ)
となる。
なぜならこれらは、
- の 行目に 行目と同じ行をコピーした
- の 列目に 行目と同じ行をコピーした
行列の行列式を、それぞれ 行目、 行目で展開した形であるため。
の
余因子と、
の
余因子とは等しいことが重要である。
(そもそも には 行目の成分も 行目の成分もまったく含まれない)
例:
&math( A=\begin{bmatrix} a&b&c\\ d&e&f\\ g&h&i \end{bmatrix} ); のとき、
&math( \begin{vmatrix} a&b&c\\ d&e&f\\ d&e&f \end{vmatrix} &= \begin{vmatrix} a&b&c\\ d&e&f\\ d&0&0 \end{vmatrix}+ \begin{vmatrix} a&b&c\\ d&e&f\\ 0&e&0 \end{vmatrix}+ \begin{vmatrix} a&b&c\\ d&e&f\\ 0&0&f \end{vmatrix}\\ &=d(-1)^{3+1}\begin{vmatrix}b&c\\e&f\end{vmatrix}
- e(-1)^{3+2}\begin{vmatrix}a&c\\d&f\end{vmatrix}
- f(-1)^{3+3}\begin{vmatrix}a&b\\d&e\end{vmatrix}\\ &=d\,\tilde a_{31}+e\,\tilde a_{32}+f\,\tilde a_{33}\\ &=a_{21}\tilde a_{31}+a_{22}\tilde a_{32}+a_{23}\tilde a_{33}\\ &=\sum_{j=1}^3a_{2j}\tilde a_{3j} );
2行目を3行目にコピーした行列式を元の の余因子で書けていることに注意。
余因子行列と逆行列†
余因子行列†
転置に注意せよ。
余因子行列の性質†
すなわち、
ここからも、 であれば が正則であることを確認できる。
クラメル(Cramer)の公式†
連立一次方程式を 、その解を とすると、 のとき
・・・
と表せる。
証明†
のように列ベクトルに分割する。
したがって、
両辺を で割れば与式を得る。