スピントロニクス理論の基礎/8-10 の履歴(No.16)

(8.113) の Fourier 変換表示を求める†

(8.116)

&math( &v_i(\bm q)\equiv \frac{1}{V}\int d^3re^{i\bm q\cdot\bm r}v_i(\bm r)\\ &=\frac{1}{V}\sum_k^{N_i}v_ka^3\int d^3re^{i\bm q\cdot\bm r}[\delta(\bm r-\bm R_k)-1/V]\\ &=\frac{a^3}{V}\sum_k^{N_i}v_k(e^{i\bm q\cdot\bm R_k}-\delta_{\bm q,0}) );

を不純物散乱ポテンシャルの Fourier 変換と定義する。

この定義は (8.74) 等に与えられた の Fourier 変換とは の配置や の符号などが異なるので注意が必要。

これに対応するハミルトニアンは、

(8.116)

&math( &V_i=\int d^3rv_i(\bm r)c^\dagger(\bm r)c(\bm r)\\ &=\int d^3r \left(\sum_{\bm q}e^{-i\bm q\cdot\bm r}v_i(\bm q)\right) \left(\frac{1}{\sqrt V}\sum_{\bm k}e^{-i\bm k\cdot\bm r}c_{\bm k}^\dagger\right) \left(\frac{1}{\sqrt V}\sum_{\bm k'}e^{i\bm k'\cdot\bm r}c_{\bm k'}\right)\\ &=\sum_{\bm q,\bm k,\bm k'}v_i(\bm q)c_{\bm k}^\dagger c_{\bm k'}\frac{1}{V}\int d^3re^{i(-\bm q-\bm k+\bm k')\cdot\bm r}\\ &=\sum_{\bm q,\bm k,\bm k'}v_i(\bm q)c_{\bm k}^\dagger c_{\bm k'}\delta_{\bm q+\bm k,\bm k'}\\ &=\sum_{\bm q,\bm k}v_i(\bm q)c^\dagger(\bm k)c(\bm k+\bm q) );

となる。

今考えているようなポテンシャルでは電子の振動数が変わらないため、単一の によって表すことができる。

&math(g_{\bm k,\bm k',\omega,\omega'}= 2\pi \delta(\omega-\omega')g_{\bm k,\bm k',\omega});

さらに 8-7 で見たように、 に関しては、単一の で表せる。

&math(g_{0\bm k,\bm k',\omega}= \delta_{\bm k,\bm k'}g_{0\bm k,\omega});

(8.117)

係数を正しく付けるために次元について確認

• は (8.76) によれば で無次元、 で無次元、 が残って (時間/エネルギー) の次元を持つ
• は が外に出るので、(1/エネルギー) の次元を持つ
• は (8.116) によれば と同じ次元で、これは (エネルギー) の次元を持つ

実のところ、ここでのフーリエ係数の定義は係数の付け方などが数学の授業とは異なるので、 慎重に計算していかないと正しい答えが得られない。実際に計算を進めるとかなり大変。

&math( &g_{\bm k,\bm k',\omega,\omega'}^r= \frac{1}{\hbar V}\int dt\int dt'\int d^3r\int d^3r' e^{i(\omega t-\omega't'-\bm k\cdot\bm r+\bm k'\cdot\bm r')}g^r(\bm r,t,\bm r',t')\\ &= \frac{1}{\hbar V}\int dt\int dt'\int d^3r\int d^3r' e^{i(\omega t-\omega't'-\bm k\cdot\bm r+\bm k'\cdot\bm r')} g_0^r(\bm r,t,\bm r',t')\\ &+ \frac{1}{\hbar V}\int dt\int dt'\int d^3r\int d^3r' e^{i(\omega t-\omega't'-\bm k\cdot\bm r+\bm k'\cdot\bm r')} \frac{1}{\hbar}\int dt_1\int d^3r_1 g_0^r(\bm r,t,\bm r_1,t_1)v_i(\bm r_1)g^r(\bm r_1,t_1,\bm r',t')\\ &= g_{0\bm k,\bm k',\omega,\omega'}^r+ \frac{1}{\hbar^2 V}\int dt_1\int d^3r_1 \int dt\int dt'\int d^3r\int d^3r' e^{i(\omega t_1-\omega't'-\bm k\cdot\bm r_1+\bm k'\cdot\bm r')} \\ &\hspace{1cm}\times e^{i\omega (t-t_1)}e^{-i\bm k\cdot(\bm r-\bm r_1)} g_0^r(\bm r-\bm r_1,t-t_1)v_i(\bm r_1)g^r(\bm r_1,t_1,\bm r',t')\\ &= 2\pi\delta(\omega-\omega')\delta_{\bm k,\bm k'}g_{0\bm k,\omega}^r+ \frac{1}{\hbar V}\int dt_1\int d^3r_1 \int dt'\int d^3r' e^{i(\omega t_1-\omega't'-\bm k\cdot\bm r_1+\bm k'\cdot\bm r')}\\ &\hspace{1cm}\times \left[\frac{1}{\hbar}\int d^3(r-r_1)\int d(t-t_1)e^{-i\bm k\cdot(\bm r-\bm r_)}e^{i\omega (t-t_1)} g_0^r(\bm r-\bm r_1,t-t_1)\right]v_i(\bm r_1)g^r(\bm r_1,t_1,\bm r',t')\\ &=2\pi\delta(\omega-\omega')\delta_{\bm k,\bm k'}g_{0\bm k,\omega}^r+ \frac{g_{0\bm k,\omega}^r}{\hbar V}\int dt_1\int d^3r_1 \int dt'\int d^3r' e^{i(\omega t_1-\omega't'-\bm k\cdot\bm r_1+\bm k'\cdot\bm r')} \Big[\sum_{\bm q}e^{-i\bm q\cdot\bm r_1}v_i(\bm q) \Big] g^r(\bm r_1,t_1,\bm r',t')\\ &=2\pi\delta(\omega-\omega')\delta_{\bm k,\bm k'}g_{0\bm k,\omega}^r+ \frac{g_{0\bm k,\omega}^r}{\hbar V} \sum_{\bm q}v_i(\bm q) \int d^3r_1\int d^3r'\int dt_1\int dt'e^{i(\omega t_1-\omega't'-i(\bm k+\bm q)\cdot\bm r_1+\bm k'\cdot\bm r')} g^r(\bm r_1,t_1,\bm r',t')\\ &=2\pi\delta(\omega-\omega')\delta_{\bm k,\bm k'}g_{0\bm k,\omega}^r+ g_{0\bm k,\omega}^r \sum_{\bm q}v_i(\bm q) g_{\bm k+\bm q,\bm k',\omega,\omega'}^r\\ &=2\pi\delta(\omega-\omega')\left[\delta_{\bm k,\bm k'}g_{0\bm k,\omega}^r+ g_{0\bm k,\omega}^r \sum_{\bm q}v_i(\bm q) g_{\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^r\right] );

したがって、

&math(&g_{\bm k,\bm k',\omega}^r=\delta_{\bm k,\bm k'}g_{0\bm k,\omega}^r+ g_{0\bm k,\omega}^r \sum_{\bm q}v_i(\bm q) g_{\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^r);

(8.74)〜(8.76) や (8.116) のフーリエ変換の定義で係数がいろいろ工夫してある。 を埋め込む場所が と で異なったり、 数学的には意味のない が埋め込まれていたり。

これらの工夫は上式で余計な係数が出てこないようにするための、 細心の注意を払った定義であったことがここへ来て始めて分かる。

もう一度次元を確認しておくと、

• および は (1/エネルギー) の次元
• は (エネルギー) の次元を持っている

不純物ポテンシャルの次数で展開する†

右辺の を (8.117) で繰り返し展開すると、

(8.118)

&math( &g_{\bm k,\bm k',\omega}^r=\delta_{\bm k,\bm k'}g_{0\bm k,\omega}^r+ g_{0\bm k,\omega}^r \sum_{\bm q}v_i(\bm q) \big(\delta_{\bm k+\bm q,\bm k'}g_{0\bm k+\bm q,\omega}^r+ g_{0\bm k+\bm q,\omega}^r \sum_{\bm q'}v_i(\bm q')g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^r \big)\\ &=g_{0\bm k,\omega}^r\delta_{\bm k,\bm k'}+ \sum_{\bm q}v_i(\bm q) g_{0\bm k,\omega}^r g_{0\bm k+\bm q,\omega}^r \delta_{\bm k+\bm q,\bm k'}+ \sum_{\bm q,\bm q'}v_i(\bm q) g_{0\bm k,\omega}^r g_{0\bm k+\bm q,\omega}^r v_i(\bm q')g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^r\\ &=g_{0\bm k,\omega}^r\delta_{\bm k,\bm k'}+ \sum_{\bm q_1}v_i(\bm q_1) g_{0\bm k,\omega}^r g_{0\bm k+\bm q_1,\omega}^r \delta_{\bm k+\bm q_1,\bm k'}+ \sum_{\bm q_1,\bm q_2} g_{0\bm k,\omega}^r v_i(\bm q_1)g_{0\bm k+\bm q_1,\omega}^r v_i(\bm q_2)g_{0\bm k+\bm q_1+\bm q_2,\omega}^r \delta_{\bm k+\bm q_1+\bm q_2,\bm k'}+\dots\\ &+\sum_{\bm q_1,\bm q_2,\dots,\bm q_n} g_{0\bm k,\omega}^r v_i(\bm q_1)g_{0\bm k+\bm q_1,\omega}^r v_i(\bm q_2)g_{0\bm k+\bm q_1+\bm q_2,\omega}^r \dots v_i(\bm q_{n-1})g_{0\bm k+\bm q_1+\dots+\bm q_{n-1},\omega}^r v_i(\bm q_n)g_{0\bm k+\bm q_1+\dots+\bm q_n,\omega}\, \delta_{\bm k+\bm q_1+\dots+\bm q_n,\bm k'}\\ &+\dots\\ );

特徴を見ておくと、

• 次の項には 個の が現われ、
• その間に 個の が入っている
• 一番右の は 関数により に等しくなるため、 個の のうち実質的に自由に動かせるのは 個である。

不純物ポテンシャルの位置平均†

不純物の位置平均を次のように定義する。

や の中に現われる和について不純物散乱の位置平均を取る。

(8.119A)

&math(&\langle \sum_{k=1}^{N_i}e^{\textcolor{red}{i}\bm q\cdot\bm R_k}\rangle_i \equiv \frac{1}{V^{N_i}}\int d^3R_{1}\int d^3R_{2}\dots\int d^3R_{N_i} \sum_{k=1}^{N_i}e^{\textcolor{red}{i}\bm q\cdot\bm R_k}\\ &=\sum_{k=1}^{N_i} \frac{1}{V}\int d^3R_k e^{\textcolor{red}{i}\bm q\cdot\bm R_k} = N_i\delta_{\bm q,\bm 0});

&math( &\langle \sum_{k_1,k_2}e^{\textcolor{red}{i}\bm q_1\cdot\bm R_{k_1}}e^{\textcolor{red}{i}\bm q_2\cdot\bm R_{k_2}} \rangle_i\\ &=\frac{1}{V^{N_i}}\int d^3R_{1}\int d^3R_{2}\dots\int d^3R_{N_i} \sum_{k_1,k_2}e^{\textcolor{red}{i}\bm q_1\cdot\bm R_{k_1}}e^{\textcolor{red}{i}\bm q_2\cdot\bm R_{k_2}} \\ &= \sum_{k_1\ne k_2} \frac{1}{V^2} \int d^3R_{k_1}\int d^3R_{k_2} e^{\textcolor{red}{i}\bm q_1\cdot\bm R_{k_1}}e^{\textcolor{red}{i}\bm q_2\cdot\bm R_{k_2}}

1. \sum_{k} \frac{1}{V} \int d^3R_{k} e^{\textcolor{red}{i}\bm q_1\cdot\bm R_{k}}e^{\textcolor{red}{i}\bm q_2\cdot\bm R_{k}}\\ &= N_i(N_i-1)\delta_{\bm q_1,\bm 0}\delta_{\bm q_2,\bm 0} + N_i\delta_{\bm q_1+\bm q_2,\bm 0} );

&math( &\langle \sum_{k_1,k_2,k_3}e^{\textcolor{red}{i}\bm q_1\cdot\bm R_{k_1}}e^{\textcolor{red}{i}\bm q_2\cdot\bm R_{k_2}}e^{\textcolor{red}{i}\bm q_2\cdot\bm R_{k_3}} \rangle_i\\ &= \sum_{k_1\ne k_2 \ne k_3} \delta_{\bm q_1,0}\delta_{\bm q_2,0}\delta_{\bm q_3,0}

1. \sum_{k_1 = k_2 \ne k_3} \delta_{\bm q_1+\bm q_2,0}\delta_{\bm q_3,0}
2. \sum_{k_1 \ne k_2 = k_3} \delta_{\bm q_1,0}\delta_{\bm q_2+q_3,0}
3. \sum_{k_1 = k_3 \ne k_2} \delta_{\bm q_1+\bm q_3,0}\delta_{\bm q_2,0}
4. \sum_{k_1 = k_3 = k_2} \delta_{\bm q_1+\bm q_2+\bm q_3,0}\\ &= N_i(N_i-1)(N_i-2)\delta_{\bm q_1,\bm 0}\delta_{\bm q_2,\bm 0}
5. N_i(N_i-1)(\delta_{\bm q_1+\bm q_2,0}\delta_{\bm q_3,0}+\delta_{\bm q_1,0}\delta_{\bm q_2+q_3,0}+\delta_{\bm q_1+\bm q_3,0}\delta_{\bm q_2,0})
6. N_i\delta_{\bm q_1+\bm q_2+\bm q_3,\bm 0} );

ここで、 の成分はゼロなので、 を含む項はすべて消えて、

などとなる。

次の項では、 個の のうち、そのすべてが、 どれか他の と等しくなる項以外は消えることになる。

どの とどの とが等しいかを表すために使われているのが あの不思議な点線の三角形。たとえば の時の図として、

が与えられれば、 、 、 となることを表している。 これに対応して、δ関数部分は となる。 また、和を取る際に独立に動かせるのは の３つだけであり、しかもそれらは互いに等しくなってはいけないため、 その項数は となる。 のとき、 と見なしてしまって構わない。

したがって、上記の図に対応する因子は となる。

であれば、

• →
• →
• →
• →

の４つの場合以外の項は消えて、これらが (8.135)〜(8.139) で評価されている４つの場合に相当する。

運動量の保存 ＝ 波数成分の回復†

このようにして現われる 関数の部分に注目すると、 たとえば は の時以外ゼロとなるため、 この項を評価するに当たっては、 と仮定して良い。

同様に、 次に現われるすべての項で を仮定できる。

すると (8.118) に見るように、すべての 次の項には が含まれているため、 これを と書き換えることができて、

これは、不純物平均により電子の運動量の保存が回復したことに対応している。 （平均により系の並進対称性が回復したと言い換えても良い、らしい）

そこで、

(8.121)

と書けて、

&math(g_{\bm k,\omega}^r=g_{0\bm k,\omega}^r+ n_iv_i^2\frac{1}{N}\sum_{\bm q_1}g_{0\bm k,\omega}^r g_{0\bm k+\bm q_1,\omega}^r g_{0\bm k,\omega}^r+ n_iv_i^3\frac{1}{N^2}\sum_{\bm q_1,\bm q_2}g_{0\bm k,\omega}^r g_{0\bm k+\bm q_1,\omega}^r g_{0\bm k+\bm q_1+\bm q_2,\omega}^r g_{0\bm k,\omega}^r+ \cdots);

などとなる。

２次の項†

１次の項は消えるので、２次の項が最低次項になる。

２次の項に現われる に対する和は、 を新しい変数と考えると独立に評価することができて、

(8.122)

&math( \frac{1}{N}\sum_{\bm q_1}g_{\textcolor{red}{0}\bm k+\bm q_1,\omega}^r= \frac{1}{N}\sum_{\bm k_1}g_{\textcolor{red}{0}\bm k_1,\omega}^r= a^3\int\frac{d^3k}{(2\pi)^3}g_{\textcolor{red}{0}\bm k_1,\omega}^r= a^3\int\frac{d^3k}{(2\pi)^3}\frac{1}{\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k}+i0} );

に対する積分を、 に対する積分に置き換えると、 ( は 分散関係)

(8.123)

&math( \frac{1}{N}\sum_{\bm q_1}g_{\textcolor{red}{0}\bm k+\bm q_1,\omega}^r= \int_{-\epsilon_F}^\infty d\varepsilon\nu(\varepsilon)\frac{1}{\hbar\omega-\varepsilon+i0} );

これ、本当は δ関数の性質 を使うとまともに計算できるんだけど、 まずはしばらく教科書の通りやってみる。

(8.124)

から始めればいいのかな？

&math( \nu(\varepsilon)\equiv\frac{V}{N(2\pi)^3}\frac{d^3k}{d\varepsilon}=\frac{a^3}{2\pi^3}\frac{k^2dk}{d\varepsilon} =\frac{mk}{2\pi^2\hbar^2}a^3 =\frac{m^{3/2}a^3}{\sqrt 2\pi^2\hbar^3}\sqrt{\varepsilon+\varepsilon_F} );

などを使った。

(8.125)

は 付近でのみ大きな値を取る。そこで、

&math( \int_{-\epsilon_F}^\infty d\varepsilon\nu(\varepsilon)\frac{1}{\hbar\omega-\varepsilon+i0}\sim \nu(\textcolor{red}{\hbar\omega})\int_{-\infty}^\infty d\varepsilon\frac{1}{\hbar\omega-\varepsilon+i0} );

どうして教科書で でなく になっているのか分からない・・・

グリーン関数に という項が出てくることと、 最終的にフェルミレベル付近、すなわち しか考えないことから、 として大丈夫、とかいうことなんだろうか？

→ この疑問への答えは 9-1 で出てくる。 という近似は、 系の温度が低いと仮定し、フェルミ分布関数 をステップ関数と見なせるとする近似に対応する。

&math(\frac{1}{N}\sum_{\bm k}g_{\bm k,\omega}^r\sim \nu(0)\int_{-\infty}^\infty d\varepsilon\frac{1}{-\varepsilon+i0} =\nu(0)\int_{-\infty}^\infty d\varepsilon\frac{-\varepsilon-i0}{\varepsilon+(0)^2} \ \textcolor{red}{\stackrel{?}{=}}\,-\pi i\nu(0) );

うーん、これって説明になっているんだろうか？なんだかよく分からない。

(9.18) あたりでもう少しまじめにやると書いてあるので重複するかもしれないけれど、 δ関数の性質 を使って少しちゃんとやってみる。

→ (9.18) は２次の項だけで、１次の項については出てこなかった

&math( &\int_{-\epsilon_F}^\infty d\varepsilon\nu(\varepsilon)\frac{1}{\hbar\omega-\varepsilon+i0}\\ &=-\int_{\epsilon_F+\hbar\omega}^{-\infty} d\varepsilon'\nu(\hbar\omega-\varepsilon')\frac{1}{\varepsilon'+i0}\\ &=\int_{-\infty}^{\epsilon_F+\hbar\omega} d\varepsilon'\nu(\hbar\omega-\varepsilon')\frac{1}{\varepsilon'+i0}\\ &=\int_{-\infty}^{\epsilon_F+\hbar\omega} d\varepsilon'\nu(\hbar\omega-\varepsilon')

 \left[\frac{1}{\varepsilon'}-i\pi\delta(\varepsilon')\right]\\

&=\left[\ \frac{m^{3/2}a^3}{\sqrt 2\pi^2\hbar^3}\int_{-\infty}^{\epsilon_F+\hbar\omega} d\varepsilon'\frac{\sqrt{\hbar\omega-\varepsilon'+\varepsilon_F}}{\varepsilon'}\ \right]

• i\pi\nu(\hbar\omega)\\ );

この第一項、実数成分の被積分関数は の時に と見なすことができるから、 この積分は発散する。しかし、今は件の積分の虚数成分のみに興味があって、 実数成分は無視してしまって良いらしい。これは (8.126) の直後の 注11) の通り。

虚数成分にはやはり ではなく が出てくることが確かめられたが、以降では教科書通り で進めてみる。

(8.127)

&math( &g_{\bm k,\omega}^r=g_{0\bm k,\omega}^r- n_iv_i^2 \pi i\nu(0)(g_{0\bm k,\omega}^r)^2+\cdots\\ &=g_{0\bm k,\omega}^r- \frac{i\hbar}{2\tau}(g_{0\bm k,\omega}^r)^2+\cdots\\ );

ここで、

(8.128)

この は電子エネルギーのぼやけであることが後に分かる。

そこで、系が金属であるための条件

(8.129)

を先取りして用いていく。

さて、実はここから先は面倒なだけで遠回りかつ不正確な記述が続く、 ちゃんと解く方法は この問題、実はとても簡単に解けるのでは？ を参照。

高次の項 (n>2)†

(8.130)

を計算するに当たり、

• 0次には１つも無いが
• 1次は を１つ
• 2次は を２つ
• ・・・

含んでいる。

不純物平均により、複数の に共通の がかかり、 が現われる項以外が消えてしまうため、

(8.131), (8.132)

のように、 個の を必ず２本以上束ねた項だけが残る。

(8.134)

(8.121) の３次の項に出てくる和は、 、 と置けば、

&math( &\sum_{\bm q_1,\bm q_2}g_{0\bm k,\omega}^rv_i(\bm q_1)g_{0\bm k+\bm q_1,\omega}^rv_i(\bm q_2)g_{0\bm k+\bm q_1+\bm q_2,\omega}^r v_i(\bm q_3=-\bm q_1-\bm q_2)g_{0\bm k,\omega}^r\\ &=n_iv_i^3\textcolor{red}{\frac{1}{N^2}}\sum_{\bm q_1,\bm q_2}g_{0\bm k,\omega}^r g_{0\bm k+\bm q_1,\omega}^r g_{0\bm k+\bm q_1+\bm q_2,\omega}^r g_{0\bm k,\omega}^r\\ &=n_iv_i^3g_{0\bm k,\omega}^r \Big(\textcolor{red}{\frac{1}{N}}\sum_{\bm k_1}g_{0\bm k_1,\omega}^r\Big)\Big(\textcolor{red}{\frac{1}{N}}\sum_{\bm k_2}g_{0\bm k_2,\omega}^r\Big) g_{0\bm k,\omega}^r\\ &=n_iv_i^3g_{0\bm k,\omega}^r \Big(\textcolor{red}{\frac{1}{N}}\sum_{\bm k_1}g_{0\bm k_1,\omega}^r\Big)^2 g_{0\bm k,\omega}^r\\ &=n_iv_i^3g_{0\bm k,\omega}^r \big(-\pi i\nu(0)\big)^2 g_{0\bm k,\omega}^r\\ &=-\frac{\textcolor{red}{\hbar}}{2\tau}v_i\pi \nu(0)\big(g_{0\bm k,\omega}^r \big)^2\\ );

(8.135)

すなわち の項で、 とすれば、

&math( &\sum_{\bm q_1,\bm q_2}g_{0\bm k,\omega}^rv_i(\bm q_1)g_{0\bm k+\bm q_1,\omega}^rv_i(-\bm q_1)g_{0\bm k,\omega}^rv_i(\bm q_3)g_{0\bm k+\bm q_3,\omega}^rv_i(-\bm q_3)g_{0\bm k,\omega}^r\\ &=n_i^2v_i^4\frac{1}{N^2}\sum_{\bm q_1,\bm q_3}g_{0\bm k,\omega}^r g_{0\bm k+\bm q_1,\omega}^r g_{0\bm k,\omega}^r g_{0\bm k+\bm q_3,\omega}^r g_{0\bm k,\omega}^r\\ &=n_i^2v_i^4\Big(\frac{1}{N}\sum_{\bm k_1}g_{0\bm k+\bm k_1,\omega}^r\Big)^2 \big(g_{0\bm k,\omega}^r\big)^3\\ &=\big(-n_iv_i^2\pi i\nu(0)\big)^2 \big(g_{0\bm k,\omega}^r\big)^3\\ &=\Big(\frac{-i\textcolor{red}{\hbar}}{2\tau}\Big)^2\big(g_{0\bm k,\omega}^r\big)^3\\);

(8.136)

すなわち の項で、

&math( &\sum_{\bm q_1,\bm q_2,\bm q_3}g_{0\bm k,\omega}^rv_i(\bm q_1)g_{0\bm k+\bm q_1,\omega}^rv_i(\bm q_2)g_{0\bm k+\bm q_1+\bm q_2,\omega}^rv_i(\bm q_3)g_{0\bm k+\bm q_1+\bm q_2+\bm q_3,\omega}^rv_i(-\bm q_1-\bm q_2-\bm q_3)g_{0\bm k,\omega}^r\\ &=n_iv_i^4\frac{1}{N^3}\sum_{\bm q_1,\bm q_2,\bm q_3}g_{0\bm k,\omega}^r g_{0\bm k+\bm q_1,\omega}^r g_{0\bm k+\bm q_1+\bm q_2,\omega}^r g_{0\bm k+\bm q_1+\bm q_2+\bm q_3,\omega}^r g_{0\bm k,\omega}^r\\ &=n_iv_i^4\Big(\frac{1}{N}\sum_{\bm k_1}g_{0\bm k_1,\omega}^r\Big)^3 \big(g_{0\bm k,\omega}^r\big)^2\\ &=n_iv_i^4\big(-\pi i\nu(0)\big)^3 \big(g_{0\bm k,\omega}^r\big)^2\\ &=\frac{i\textcolor{red}{\hbar}}{2\tau}\big(v_i\textcolor{red}{\pi} \nu(0)\big)^2 (g_{0\bm k,\omega}^r\big)^2 );

(8.137)

すなわち の項で、

&math( &\sum_{\bm q_1,\bm q_2}g_{0\bm k,\omega}^rv_i(\bm q_1)g_{0\bm k+\bm q_1,\omega}^rv_i(\bm q_2)g_{0\bm k+\bm q_1+\bm q_2,\omega}^rv_i(-\bm q_2)g_{0\bm k+\bm q_1,\omega}^rv_i(-\bm q_1)g_{0\bm k,\omega}^r\\ &=n_i^2v_i^4\frac{1}{N^2}\sum_{\bm q_1,\bm q_2}g_{0\bm k,\omega}^r g_{0\bm k+\bm q_1,\omega}^r g_{0\bm k+\bm q_1+\bm q_2,\omega}^r g_{0\bm k+\bm q_1,\omega}^r g_{0\bm k,\omega}^r\\ &=n_i^2v_i^4\Big(\frac{1}{N}\sum_{\bm k_1}(g_{0\bm k_1,\omega}^r)^2\Big)\Big(\frac{1}{N}\sum_{\bm k_2}g_{0\bm k_2,\omega}^r\Big) \big(g_{0\bm k,\omega}^r\big)^2\\ &=n_i^2v_i^4\big(\ ?\ \big)\big(-\pi i\nu(0)\big) \big(g_{0\bm k,\omega}^r\big)^2\\ &=n_iv_i^2\big(\ ?\ \big)\big(n_iv_i^2\cdot-\pi i\nu(0)\big) \big(g_{0\bm k,\omega}^r\big)^2\\ &=-\frac{i\hbar}{2\tau}n_iv_i^2\big(\ ?\ \big)\big(g_{0\bm k,\omega}^r\big)^2\\ &=(*) );

の部分は、

&math( &\frac{1}{N}\sum_{\bm k_1}(g_{0\bm k_1,\omega}^r)^2\\ &\sim\nu(0)\int_{-\infty}^\infty d\varepsilon \Big(\frac{1}{-\varepsilon+i0}\Big)^2 &=\nu(0)\int_{-\infty}^\infty d\varepsilon \frac{1}{\varepsilon}\frac{1}{\varepsilon-2i0} &=\nu(0)\int_{-\infty}^\infty d\varepsilon \frac{1}{\varepsilon}\frac{\varepsilon+i0}{\varepsilon^2+(0)^2} );

で、これが

&math( &\frac{1}{N}\sum_{\bm k_1}(g_{0\bm k_1,\omega}^r)^2=-\frac{\pi}{2}i\nu(0)\frac{1}{\varepsilon_F} );

であれば、教科書の通り、

&math( (*)=-\frac{1}{2}\Big(\frac{\hbar}{2\tau}\Big)^2\frac{1}{\varepsilon_F}\big(g_{0\bm k,\omega}^r\big)^2 );

となる。

この計算は (9.18) から (9.22) で解説されていた。 この手の計算はちゃんと複素解析的に考えないとダメみたい（汗

教科書は誤植もあるようなので、この積分のやり方を δ関数の性質 にまとめた。

恐らく正しくは、

&math( &\frac{1}{N}\sum_{\bm k_1}(g_{0\bm k_1,\omega}^r)^2 =\textcolor{red}{+}\frac{\pi}{2}i\nu(\hbar\omega)\frac{1}{\hbar\omega+\varepsilon_F} );

であり、 との近似の下、

&math( (*)=\textcolor{red}{+}\frac{1}{2}\Big(\frac{\hbar}{2\tau}\Big)^2\frac{1}{\varepsilon_F}\big(g_{0\bm k,\omega}^r\big)^2 );

となるような？

(8.138)

&math(&\sum_{\bm q_1,\bm q_2}g_{0\bm k,\omega}^rv_i(\bm q_1)g_{0\bm k+\bm q_1,\omega}^rv_i(\bm q_2)g_{0\bm k+\bm q_1+\bm q_2,\omega}^rv_i(-\bm q_1)g_{0\bm k+\bm q_2,\omega}^rv_i(-\bm q_2)g_{0\bm k,\omega}^r\\ &=n_i^2v_i^4\frac{1}{N^2}\sum_{\bm q_1,\bm q_2}g_{0\bm k,\omega}^r g_{0\bm k+\bm q_1,\omega}^r g_{0\bm k+\bm q_1+\bm q_2,\omega}^r g_{0\bm k+\bm q_2,\omega}^r g_{0\bm k,\omega}^r\\ &=n_i^2v_i^4\textcolor{red}{\frac{1}{N^2}}\big(g_{0\bm k,\omega}^r\big)^2 \sum_{\bm k_1,\bm k_2} g_{0\bm k_1,\omega}^r \textcolor{red}{g_{0\bm k_1+\bm k_2-\bm k,\omega}^r g_{0\bm k_2,\omega}^r} \\);

と置いた。

最後の式の と とを入れ替えると教科書の式になる。 入れ替えずに書いておいてくれれば分かりやすいのに。

足のクロスする山の評価について†

この次に出てくる説明はいろいろおかしいと思う。たぶん正しいのは以下。

• は 付近でのみ大きな値を取る ← ということか？
• が大きな値を取るのは となるときのみ
• について考えると、
  • 与えられた に対して任意の を選ぶことができるが、
  • は となる球面上に来るように選ばなければならない
  • これは原点を中心とした半径 の球殻と、 を中心とした半径 の球殻との交線上に が来ることと同義である

• フェルミ面のぼやけを 程度と仮定すると、
• を完全に自由に取れば が球殻の体積であるが、
• のために上記の円弧状の交線に限られると、体積はどれほど減るだろうか？
  • と とが為す角を とすると、
  • 円弧の半径は で、円周は
  • 円弧の太さ（断面積）は
  • したがって、円弧の体積は
  • この値は で発散するが、このとき の側の選択肢がほぼゼロになるので問題ない
  • が動いたことを想定し、 に対して平均を取ると、
    &math(&\frac{1}{4\pi}\int_0^\pi d\theta\int_0^{2\pi}\sin\theta d\psi \frac{2\pi k_F\delta k^2\sin(\theta/2)}{\sin\theta}\\ &=\frac{2\pi k_F\delta k^2}{2}\int_0^\pi d\theta\sin(\theta/2)\\ &=\frac{2\pi k_F\delta k^2}{2}[-2\cos(\theta/2)]_0^\pi\\ &=2\pi k_F\delta k^2);
  • この最終結果は の結果と（偶然？）一致する。
• したがって、完全に自由に を取ったときに比べて値は だけ小さくなる
• フェルミレベル近傍に於いて より、 となる。

ということで、ちょっと意味は無いけれど本文中の誤植のみ指摘：

閑話休題して、

(8.139)

「自由に取った場合」を考えるには、 を数えるときに が２つ掛かっていることを考慮して (8.137) に帰着する。

&math( &n_i^2v_i^4\textcolor{red}{\frac{1}{N^2}}\big(g_{0\bm k,\omega}^r\big)^2 \sum_{\bm k_1,\bm k_2} g_{0\bm k_1,\omega}^r g_{0\bm k_2,\omega}^r g_{0\bm k+\bm k_2-\bm k_1,\omega}^r \\ &\sim \left(\frac{\hbar}{4\varepsilon_F\tau}\right)n_i^2v_i^4\textcolor{red}{\frac{1}{N^2}}\big(g_{0\bm k,\omega}^r\big)^2 \sum_{\bm k_1,\bm k_2} g_{0\bm k_1,\omega}^r \big(g_{0\bm k_2,\omega}^r\big)^2 \\ &=\left(\frac{\hbar}{4\varepsilon_F\tau}\right) \frac{1}{2}\Big(\frac{\hbar}{2\tau}\Big)^2\frac{1}{\varepsilon_F}\big(g_{0\bm k,\omega}^r\big)^2\\ &\propto \frac{\hbar}{\tau}\left(\frac{\hbar}{\varepsilon_F\tau}\right)^2\big(g_{0\bm k,\omega}^r\big)^2 );

ν(0) の大きさ†

各項の大きさを評価する前に、 の大きさを評価しておく。

がフェルミエネルギーであることから（実際にはこの分を引いてあるため フェルミレベルは 0 である）

&math( &\int_{-\epsilon_F}^0\nu(\varepsilon)d\varepsilon=1\\ &=\int_{-\epsilon_F}^0 d\varepsilon \frac{m^{3/2}a^3}{\sqrt 2\pi^2\hbar^3}\sqrt{\varepsilon+\varepsilon_F}\\ &=\frac{m^{3/2}a^3}{\sqrt 2\pi^2\hbar^3}\int_0^{\epsilon_F} d\varepsilon' \sqrt{\varepsilon'}\\ &=\frac{m^{3/2}a^3}{\sqrt 2\pi^2\hbar^3}\left[\frac{2}{3}\varepsilon'^{3/2}\right]_0^{\epsilon_F}\\ &=\frac{2\varepsilon_F}{3}\cdot\frac{m^{3/2}a^3}{\sqrt 2\pi^2\hbar^3}\sqrt{\varepsilon_F}\\ &=\frac{2\varepsilon_F}{3}\nu(0) );

したがって、

金属であるためには、

が必要である。

&math( &3\pi n_iv_i^2\ll\varepsilon_F^2\\ &(3\pi n_i)^\frac{1}{2}v_i\ll\varepsilon_F\\ );

と書き直せば、これは不純物のポテンシャルがフェルミエネルギーに比べて小さく、 さらに不純物密度が高すぎないことを示している。

これに加えて、

すなわち

どの項が支配的か†

上記を仮定すると、

(8.140)

&math( g_{\bm k,\omega}^r= g_{0\bm k,\omega}^r+\left(-\frac{i\hbar}{2\tau}\right)(g_{0\bm k,\omega}^r)^2 \left[ 1\textcolor{red}{-}i\pi v_i\nu(0)-(\textcolor{red}{\pi}v_i\nu(0))^2

• \frac{i}{4}\frac{\hbar}{\varepsilon_F\tau}+O\left(\frac{\hbar}{\varepsilon_F\tau}\right)^2+\cdots \right]+ \left(-\frac{i\hbar}{2\tau}\right)^2(g_{0\bm k,\omega}^r)^3+\cdots );

の [ ] の中は１を残して消し去ることができる。

同様にして、高次項を評価すれば２次の項やそれ以降にも小さな項が付け加わるが、 上記の２つの条件下ではやはり無視できて、

(8.141)

&math( \frac{g_{\bm k,\omega}^r}{g_{0\bm k,\omega}^r}= 1+\left(-\frac{i\hbar}{2\tau}g_{0\bm k,\omega}^r\right)+ \left(-\frac{i\hbar}{2\tau}g_{0\bm k,\omega}^r\right)^2+\cdots =\frac{1}{1+\frac{i\hbar}{2\tau}g_{0\bm k,\omega}^r} );

&math( g_{\bm k,\omega}^r= \frac{1}{(g_{0\bm k,\omega}^r)^{-1}+\frac{i\hbar}{2\tau}} =\frac{1}{\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k}+\frac{i\hbar}{2\tau}} );

となる。

本文中で などと書いてあるが、 これは の間違いか？

結局、元々の偶数次項から出てくる「２次の寄与と同様な物が繰り返される項」、 すなわち となる項が支配的な寄与を及ぼし、他の項は無視できることになる。

支配的とされる項に赤丸を付けつつ、６次の途中まで列挙してみた。 ６次はまだまだたくさんあり、７次も非常にたくさん出てくるが、 次の支配項は８次の項になる。

以下、６次の項がまだまだ続く・・・

(8.142)

&math( g_{\bm k,\omega}^a =\frac{1}{\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k}-\frac{i\hbar}{2\tau}} );

不純物散乱がない場合には のために非常に急峻に変化する 関数であったが、不純物散乱によってピーク幅が広がっている、 すなわちフェルミレベルがぼやけている、ということになる。

自己エネルギー†

「自己エネルギー」についてはここだけ読んでも物理的意味がよく分からないので後で勉強が必要。

(8.143)

と置いて、これらを自己エネルギーと呼べば、

(8.144)

&math( g_{\bm k,\omega}^r =\frac{1}{\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k}-\Sigma^r} );

&math( g_{\bm k,\omega}^a =\frac{1}{\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k}-\Sigma^a} );

の部分が虚数であることが分かりにくい表示になっているので 注意が必要かもしれない。

一般的にｎ次を考える†

次の項で、重なり合いながら存在する 個の山のそれぞれが 本の点線を束ねたものであったとする。

(8-10.1)

たとえば下図は の場合である。

(8.119) にあたる式において、

• Σを取るべき の個数は 個である。
• それぞれの は異なっていなければならないため、現われる係数は である。
• では と見なせる。

したがって、その項は

(8-10.2)

&math( &\frac{N_i^m}{N^n}v_i^n \sum_{\underbrace{^{\bm q,\bm q,\dots,\bm q}}_{n-m}} g_{0\bm k}^\alpha \underbrace{

 g_{0\bm k+\bm q}^\alpha \dots g_{0\bm k+\bm q\dots}^\alpha

}_{n-1} g_{0\bm k}^\alpha \\&= g_{0\bm k}^\alpha \Bigg[ \frac{n_i^mv_i^n}{N^{n-m}} \sum_{\underbrace{^{\bm q,\bm q,\dots,\bm q}}_{n-m}} \underbrace{

 g_{0\bm k+\bm q}^\alpha \dots g_{0\bm k+\bm q\dots}^\alpha

}_{n-1}\Bigg]g_{0\bm k}^\alpha );

のような形になる。

連山ごとに和が取れる†

この項が完全に 個の連山に分かれているとき、 （山と山との間が標高ゼロになるとき、完全に山が分かれていると呼ぶ） それら連山ごとに別々に和が取れて、 間に が挟まる形になる。

それぞれの連山に含まれる単山の個数を
それぞれの連山に含まれる点線の本数を
とすると 、 であり、

(8-10.3)

&math( &= g_{0\bm k}^\alpha \Bigg[\frac{n_i^{m_1}v_i^{n_1}}{N^{n_1-m_1}}\sum_{\underbrace{^{\bm q,\bm q,\dots,\bm q}}_{n_1-m_1}} \underbrace{

 g_{0\bm k+\bm q}^\alpha \dots g_{0\bm k+\bm q\dots}^\alpha

}_{n_1-1}\Bigg] g_{0\bm k}^\alpha \Bigg[\frac{n_i^{m_2}v_i^{n_2}}{N^{n_2-m_2}}\sum_{\underbrace{^{\bm q,\bm q,\dots,\bm q}}_{n_2-m_2}} \underbrace{

 g_{0\bm k+\bm q}^\alpha \dots g_{0\bm k+\bm q\dots}^\alpha

}_{n_2-1}\Bigg] g_{0\bm k}^\alpha \dots \\&= g_{0\bm k}^\alpha \underbrace{ \Big[\hspace{4mm}\hspace{4mm}\Big]g_{0\bm k}^\alpha \Big[\hspace{4mm}\hspace{4mm}\Big]g_{0\bm k}^\alpha \cdots \Big[\hspace{4mm}\hspace{4mm}\Big] }_{M}g_{0\bm k}^\alpha \\&= \left(g_{0\bm k}^\alpha\right)^{M+1} \underbrace{ \Big[\hspace{4mm}\hspace{4mm}\Big] \Big[\hspace{4mm}\hspace{4mm}\Big] \dots \Big[\hspace{4mm}\hspace{4mm}\Big] }_{M} );

支配項との比較†

すべての連山が最も単純な２本の線からなる山でできている場合、 その項は支配的な項としてカウントされているタイプになる。

このとき、 であるから、その項は以下の様に評価できる。

(8-10.4)

&math( &=\left(g_{0\bm k}^\alpha\right)^{M+1} \underbrace{ \Big[\hspace{4mm}(m_1=1,n_1=2)\hspace{4mm}\Big] \dots \Big[\hspace{4mm}(m_M=1,n_M=2)\hspace{4mm}\Big] }_{M} \\ &=\left(g_{0\bm k}^\alpha\right)^{M+1} \Big[\frac{n_iv_i^2}{N}\sum_{\bm q'}g_{0\bm q'\omega}^\alpha\Big]^M\\ &=\left(g_{0\bm k}^\alpha\right)^{M+1} \Big[n_iv_i^2\big(-\pi i\nu(0)\big)\Big]^M\\ &=\left(g_{0\bm k}^\alpha\right)^{M+1} \Big[-\frac{i\hbar}{2\tau}\ \Big]^M );

したがって、この項が本当に支配的であることを言うためには、 他の を出す項すべてを加えても、この項が十分に大きいと見なせる ことを確認しなければならない。

を出すのは、 個の連山となる項なので、

連山ごとの比較に帰着する†

上記の 次、 個の山、 個の連山を持つ項と比べると、 すべての単連山について以下の式が成り立てば良いことになる。 （連山に含まれる単山の個数を 、点線の本数を とする）

(8-10.5)

&math( \Bigg|\ \frac{n_i^{m'}v_i^{n'}}{N^{n'-m'}}\sum_{\underbrace{^{\bm q,\bm q,\dots,\bm q}}_{n'-m'}} \underbrace{

 g_{0\bm k+\bm q}^\alpha \dots g_{0\bm k+\bm q\dots}^\alpha

}_{n'-1}\Bigg| \stackrel{?}{\ll} \frac{n_iv_i^2}{N}\sum_{\bm q'}g_{0\bm q'\omega}^\alpha =\Bigg|-\frac{i\hbar}{2\tau}\ \Bigg| );

これを証明するには、(8.138) で見た様な足のクロスした連山が、 クロスした部分の足を１本にまとめた 本足の単山より ずっと小さいことを示した上で、さらに 本足の単山が 本足の単山より小さいことを言えば良い。 あ、クロスせずに (8.137) のように入れ子になっている場合も考える必要がありますね。

 g_{0\bm k+\bm q}^\alpha \dots g_{0\bm k+\bm q\dots}^\alpha

 g_{0\bm k+\bm q}^\alpha \dots g_{0\bm k+\bm q\dots}^\alpha

 g_{0\bm k+\bm q}^\alpha \dots g_{0\bm k+\bm q\dots}^\alpha

 g_{0\bm k+\bm q}^\alpha \dots g_{0\bm k+\bm q\dots}^\alpha

 g_{0\bm k+\bm q}^\alpha \dots g_{0\bm k+\bm q\dots}^\alpha

 g_{0\bm k+\bm q}^\alpha \dots (g_{0\bm k_{\mathrm{prev}} q\dots}^\alpha)^{M'+1} \dots g_{0\bm k+\bm q\dots}^\alpha

項の大きさだけでなく数も数えないといけないのでは？†

もう１つ、本当は 次の項の大きさが「小さい」ことだけでなく、 その数がそれほど「多くない」ことも言わなければならないはずだけれど、 次の項から 連山の項が何個出るかを数えるのは かなり大変。

加えて、ちょっと考えただけでも そんなに自信を持って「多くない」とは言い切れない感じがしている。

例えば １３次の項から出る６連山の項は １２次の項から出る６連山の支配項に比べて、 １つであれば支配項より だけ小さく、無視できるかもしれない。しかし図の様に、 ３本足の山をどこに置くかで同じ大きさの項が６つ出てくることから、 すべてを合わせると比率は まで縮まってしまう。

同様にして、 次の項から出る 連山の項を全て合わせれば 対応する支配項の 倍になるから、 が有限である限り が大きいところで大小は逆転する。

教科書はこの辺曖昧なままになっているけれど、 実際には高次の項は「小さいから無視できる」という話では無く、 以下に見るように「きれいに打ち消し合って出てこない」 のが本当のところなのだと思う。

だから、別のポテンシャルが入って 「大きさは変わらなくても打ち消さなくなる」状況が発生すると、 高次の項までちゃんと考えないといけなくなるんじゃないかと。

(9.37) の直後の話はもしかしたらこの辺りと関連しているような？