量子力学Ⅰ/波動関数の解釈 の履歴(No.16)

話の進み方が奇妙？†

近代の物理学ではこのように、「正しそうな方程式が先に求まって、後からその意味を考える」 という手順を踏むことがしばしばある。

「直感的に理解できる」方程式が基礎となっていた古典論と比べると、 このようなやりかたは始め奇妙に思えるが、 量子力学の真価が現れるような極小の世界に対しては「我々の直感の働かない」のだからしかたがない、 と考えて納得してほしい。 実際これから直感とはかけ離れた物理現象を学ぶことになる。

近代科学ではむしろ「直感」をなるべく廃した、以下のような手法が科学的と考えられている。

1. 観測された物理現象を説明できそうで、かつ論理的に矛盾のない基礎方程式をでっち上げる
2. その方程式から何が予測されるかを考えて、新たな測定結果と突き合わせる
3. 矛盾無く測定結果を説明できている限り、それが正しい理論である
4. どこかで矛盾が生じれば理論に修正が必要となる
5. なぜそのような方程式が成り立つか、など、実験事実により検証できない内容については議論しない

このような意味で現在受け入れられているのが、 先に 求めた でっち上げた シュレーディンガー方程式である。

確率密度関数の定義†

「確率変数 が確率密度関数 に従う」という意味は、

測定毎に異なる値を取る変数 があり、１回測定したときに が の範囲に入る確率を

　

として求められる、ということである。

右図で分かるとおり、上式の右辺の積分は と 軸に挟まれる部分の面積に相当するため、 が大きいことは がその付近の値を取りやすいことを表わしており、 が小さければ はその付近の値を滅多に取らない。

当然、すべての に対して であり、 また、測定を行えば必ず何らかの値が得られることから、 を全範囲にわたって積分した値は常に１でなければならない。

　

期待値†

確率変数 の測定を仮想的に無限回行った場合に得られるであろう「 の平均値」を の期待値という。

例えば、サイコロを１つ振った際に出る目の期待値は、

　

のように、サイコロの目の値に、個々の目の出る確率を掛けて得られる。

すなわち、離散的な値を取る確率変数 の期待値 は、

　

として与えられる。ここで は となる確率である。

が連続値を取る場合には和が積分に変わって、

　

となる。測定値が範囲 に入る確率を と表せることに注意せよ。

分散†

分散は確率変数 がその期待値を中心にどれほど大きなバラツキを持つかを表わす指標である。

統計学的には、 回の測定値 の分散は、

　

として定義される。

これに対して確率変数 を仮想的に無限回観測した際の分散の期待値は

　&math(\sigma_x^2=\overline{(x-\overline x)^2}

               =\int_{-\infty}^\infty (x-\overline x)^2f(x)\,dx);

として求められる。これを確率密度関数 の分散という。

標準偏差†

分散の自乗根を標準偏差 という。

　&math(\sigma_x=\sqrt{\overline{(x-\overline x)^2}}

               =\sqrt{\int_{-\infty}^\infty (x-\overline x)^2f(x)\,dx});

例えば が粒子の位置を表わすとき、 分散が面積の次元を持つのに対して 標準偏差は と同じ長さの次元を持つため、 のバラツキの指標として用いやすい。

任意の関数の期待値†

標準偏差の場合と同様に、確率変数 の関数として表わされる任意の値 の期待値を、

　

として求められる。（ の場合が分散 にあたる）

が線型である場合を除き、

　

であることに注意せよ。

複合確率†

確率変数 が区間 に入る確率が であり、
確率変数 が区間 に入る確率が であり、
両者が同時に起きる確率が であるとする。

「 と が独立ならば」 である。

「 と に相関があれば」 である。

すなわち、波動関数が変数分離できることは、個々の変数に対する確率分布が独立であることと同値である。

波動関数の規格化†

シュレーディンガー方程式は線型な方程式だから、 ある関数 が解であれば、 任意の定数 に対して も解である。

一方、波動関数の絶対値の二乗 が確率密度関数となるためには、

　

でなければならない。 ただし である。

任意のシュレーディンガー方程式の解 に対して、

　

で割ることにより、

　

のように波動関数の規格化し、 が確率密度関数となるようにできる。

座標について†

が確率密度関数であるならば、 電子の位置の 座標の期待値 は

　

として求められる。

二重スリットの実験のように電子の存在確率が広範囲に広がっている場合には この期待値にあまり意味はない。一方、ポテンシャルにより束縛された電子や、 波束として空間中を飛ぶ電子では、この値が電子のおおよその位置の時間変化を表わすことになる。

もちろんその場合にも波動関数は広がりを持つから、任意の時刻の波動関数の広がりを評価するために 座標の標準偏差を求めるようなことも意味を持つ。

　

運動量について†

電子の位置が確率的にしか決定されないのと同様に、 量子力学によれば運動量も確率的にしか決定されない。 波動関数から運動量を得るにはどうしたらよいだろうか？

シュレーディンガー方程式をでっち上げた際に、平面波に対して および が成り立つことを利用した。

実は平面波でない場合にも、運動量 の期待値を、

　&math( \overline{\bm p}(t)=\iiint \psi^*(\bm r,t) \frac{\hbar}{i}\bm \nabla \psi(\bm r,t)\,d\bm r );

として求めることができる。 左から がかかっているのは、 であることに対応している。

と言われても、現時点ではそもそも上記の計算結果が実数になるのかどうかからあやふやであるのだが、 後に学ぶように上記の積分は現実的な条件下で必ず実数値となることを数学的に証明でき、 また、計算から予想される値は実験結果を良く再現する。

一般の場合†

解析力学の授業では、１つの粒子の運動は座標と運動量によって完全に記述されることを学んだ。

すなわち電子の運動を表わす任意の物性値は座標と運動量の関数として の形に書ける。波動関数からこのような物性値の期待値を求めるには、 を で置き換えた演算子 を作り、

　&math( \overline{g(\bm r,\bm p)}=\iiint \psi^*(\bm r,t) \hat g(\bm r,\hbar\bm\nabla/i) \psi(\bm r,t)\,d\bm r );

とすればよい。

このようにして求めた の期待値も現実的な条件の下で実数になることを後に学ぶ。

振り返ると†

上記では、「どうすれば期待値を求められるか」を説明したが、「なぜそれでいいのか」は説明していない。 実は後者は今後も説明されない。あえて理由を付けるならば、そう考えるといろいろとつじつまが合うから、そしてなによりも実験結果と合うから、ということになる。

以降では、このようにして得られる期待値がどのような性質を持つかを学ぶことで、 極微の世界で起きている物理現象を学んでいく。

全確率の保存†

全確率の時間微分を計算する。

　&math( \overbrace{\frac{d}{dt}\overbrace{\iiint|\psi(\bm r,t)|^2\,d\bm r}^{=\,1\ であるべき}}^{=\,0\ であるべき} &=\iiint\frac{\PD}{\PD t}\big(\psi^*\psi\big)\,d\bm r\\ &=\iiint\psi^*\frac{\PD\psi}{\PD t}+\frac{\PD\psi^*}{\PD t}\psi\,d\bm r\\ &=\iiint\psi^*\frac{\PD\psi}{\PD t}+\Big(\frac{\PD\psi}{\PD t}\Big)^*\psi\,d\bm r\\ &=\iiint\psi^*\bigg(\frac{1}{i\hbar}\hat H\psi\bigg)+\bigg(\frac{1}{i\hbar}\hat H\psi\bigg)^*\psi\,d\bm r\\ &=\frac{1}{i\hbar}\iiint\psi^*\big(\hat H\psi\big)-\big(\hat H\psi^*\big)\psi\,d\bm r\hspace{18mm}V(\bm r) の項は打消しあう\\ &=\frac{i\hbar}{2m}\iiint\psi^*(\nabla^2\psi)-(\nabla^2\psi^*)\psi\,d\bm r\\ &=\frac{i\hbar}{2m}\iiint\bm \nabla\cdot\big[\psi^*(\bm \nabla\psi)-(\bm \nabla\psi^*)\psi\big]\,d\bm r\hspace{7mm}\bm\nabla\psi^*\cdot\bm\nabla\psi の項は打消しあう\\ &=\frac{i\hbar}{2m}\iint_S\big[\psi^*(\bm \nabla\psi)-(\bm \nabla\psi^*)\psi\big]\cdot \bm n\,dS \hspace{10mm}ガウスの定理\\ );

最後の等式はガウスの定理を用いて体積積分を面積積分に直した。 ここでは積分範囲を無限大に取っているためその表面というのは考えづらいが、 が有限範囲内のみゼロでない値を取る場合を想定し、 それより大きな範囲を取ると考えれば問題ない。

そのような場合、表面 上で積分内の関数はゼロになるため、

　

シュレーディンガー方程式に従った時間発展では全確率密度が保存されることが分かった*3全確率密度が保存されることは、線形代数学的にはハミルトニアンがエルミートであり、時間発展演算子がユニタリであることにに対応する。発展的内容に興味があればこちらを参照 → 線形代数を用いた証明(./?%E9%87%8F%E5%AD%90%E5%8A%9B...)。

確率密度の流れ†

実は上記の計算は積分記号なしのまま進められて、

　&math( \frac{\PD}{\PD t}\big|\psi(\bm r,t)\big|^2 &=-\bm \nabla\cdot\bigg\{\frac{\hbar}{2mi}\Big[\psi^*(\bm \nabla\psi)-(\bm \nabla\psi^*)\psi\Big]\bigg\}\\ &=-\bm\nabla\cdot\bm S(\bm r,t) );

が得られる。これはそのまま確率密度の 連続の式 となっており、 が局所的な確率密度の流れを表わす（単位面積当たり、単位時間当たりの流量）*4ピンと来なければ電磁気学で学んだ電荷の保存則の部分を復習せよ。

この形はさらに変形できて、

　&math( \bm S(\bm r,t)&=\frac{\hbar}{2mi}\big[\psi^*(\bm \nabla\psi)-\{\psi^*(\bm \nabla\psi)\}^*\big]\\ &=\frac{\hbar}{2mi}\cdot 2\,\mathrm{Im}\Big[\psi^*(\bm \nabla\psi)\Big]\\ &=\mathrm{Re}\Big[\psi^*\frac{\hbar\bm \nabla}{mi}\psi\Big]\\ &=\mathrm{Re}\Big[\psi^*\frac{\hat{\bm p}}{m}\psi\Big]\\ );

運動量演算子 を質量 で割った物は 速度の演算子と考えられるから、確率密度の流れを

　&math( \bm S(\bm r,t)&=\mathrm{Re}\Big[\psi^*\hat{\bm v}\psi\Big]\\ );

と書いておくと覚えやすい。

多数の電子が同じ波動関数に従って移動しているような場合には、 この に素電荷 を掛けた物が電流密度になるなど、 物理的な意味も大きい。

覚えておくべき特徴：

• 平面波に対しては である
• 波動関数が実関数として表わされるとき、括弧内は純虚数となって である