スピントロニクス理論の基礎/8-6 の履歴(No.2)
更新8-6 実際の時刻で表した Green 関数†
(8.65) これは (8.56), (8.57) でやった内容。
(8.66), (8.67), (8.68)
&math(&G(\bm r,\tau\in C_\rightarrow,\bm r',\tau'\in C_\leftarrow)\\ &=-i\Big[\theta(\tau-\tau')\langle U_{C_\beta}c_\mathrm H(\bm r,\tau)c_\mathrm H^\dagger(\bm r',\tau')\rangle
- \theta(\tau'-\tau)\langle U_{C_\beta}c_\mathrm H^\dagger(\bm r',\tau')c_\mathrm H(\bm r,\tau)\rangle\Big]\\ &=i\langle U_{C_\beta}c_\mathrm H^\dagger(\bm r',\tau')c_\mathrm H(\bm r,\tau)\rangle\\);
では、
であることに注意。
これを lesser Green 関数と呼ぶ。
同様に、
&math(&G(\bm r,\tau\in C_\leftarrow,\bm r',\tau'\in C_\rightarrow)\\ &=-i\Big[\theta(\tau-\tau')\langle U_{C_\beta}c_\mathrm H(\bm r,\tau)c_\mathrm H^\dagger(\bm r',\tau')\rangle
- \theta(\tau'-\tau)\langle U_{C_\beta}c_\mathrm H^\dagger(\bm r',\tau')c_\mathrm H(\bm r,\tau)\rangle\Big]\\ &=-i\langle U_{C_\beta}c_\mathrm H(\bm r,\tau)c_\mathrm H^\dagger(\bm r',\tau')\rangle\\);
では、
であることに注意。
これを greater Green 関数と呼ぶ。
このように経路 C 上の G は Dyson 方程式 (8.63) を満たし、それを実の時間上に射影すると の4つの成分が現れる。ただし、 それら自身は本来の意味での Green にはなっていない(Dyson方程式を満たさない) ことに注意が必要である。
(8.69)
&math( =-i\theta(t-t')\llangle \{c_\mathrm H(\bm r,t),c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t')\}\rrangle
-i\theta(t'-t)\llangle \{c_\mathrm H(\bm r,t),c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t')\}\rrangle
);
&math( =-i\llangle \{c_\mathrm H(\bm r,t)c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t')\}\rrangle
-i\llangle \{c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t')c_\mathrm H(\bm r,t)\}\rrangle
);
4つの Green 関数は独立ではなく、3つが決まれば残りの1つが決まることが分かる。
平衡状態では と が複素共役となり、 これらの情報のみで系を記述できる。
平衡状態からずれた状況では3つの Green 関数がフルに必要となる。
ただし、平衡状態からのずれを線形応答に限ってしまえば、 係数を平衡状態の性質で表すことができるため、 と の情報のみで十分となる。
(8.70)〜(8.73)
これらに、 を使って、
(8.74)
&math(c(\bm r,t)=\frac{1}{\sqrt V}\sum_{\br k}e^{i\bm k\cdot\bm r}c_{\bm k}(t) =\frac{1}{\sqrt V}\sum_{\bm k}e^{i\bm k\cdot\bm r} \frac{\sqrt \hbar}{2\pi}\int d\omega e^{-i\omega t}c_{\bm k\omega});
&math(c_{\bm k\omega}=\frac{1}{\sqrt\hbar}\int_{-\infty}^\infty dte^{i\omega t}c_{\bm k}(t)= \frac{1}{\sqrt\hbar}\int_{-\infty}^\infty dte^{i\omega t}\frac{1}{\sqrt V}\int d^3re^{-i\bm k\cdot\bm r}c(\bm r,t));
(8.74A) これが重要
&math(c^\dagger_{\bm k\omega}=\left(c_{\bm k\omega}\right)^\dagger=\frac{1}{\sqrt\hbar}\int_{-\infty}^\infty dte^{-i\omega t}c^\dagger_{\bm k}(t)= \frac{1}{\sqrt\hbar}\int_{-\infty}^\infty dte^{-i\omega t}\frac{1}{\sqrt V}\int d^3re^{i\bm k\cdot\bm r}c^\dagger(\bm r,t));
(8.75)
(8.76)
(8.74A) のために、 , に対する変換は が になる。
&math(&G^\alpha(\bm r,t,\bm r',t')=\frac{1}{V}\sum_{\bm k,\bm k'}e^{i\bm k\cdot\bm r}e^{-i\bm k'\cdot\bm r'}G_{\bm k,\bm k'}^\alpha(t,t')\\ &=\frac{\textcolor{red}{\hbar}}{4\pi^2V}\int d\omega\int d\omega'\sum_{\bm k,\bm k'}e^{-i\omega t}e^{i\omega' \textcolor{red}{t'}}e^{i\bm k\cdot\bm r}e^{-i\bm k'\cdot\bm r'}G_{\bm k,\bm k',\omega,\omega'}^\alpha);
&math(&G_{\bm k,\bm k',\omega,\omega'}=\frac{1}{\hbar}\int_{-\infty}^\infty dt\int_{-\infty}^\infty dt'e^{i\omega t}e^{-i\omega' \textcolor{red}{t'}}G_{\bm k,\bm k'}\alpha(t,t')\\ &=\frac{1}{\hbar V}\int_{-\infty}^\infty dt\int_{-\infty}^\infty dt'\int d^3r\int d^3r'e^{i\omega t}e^{-i\omega' \textcolor{red}{t'}}e^{-i\bm k\cdot\bm r}e^{i\bm k'\cdot\bm r'}G^\alpha(\bm r,\bm r',t,t')\\);
ただし
(8.77)
(8.79)
自由な場合など、個々の電子の運動量と振動数が保存されている場合には、
のように、Fourier 成分が と に対して対角になる。
この場合、
(8.78)
&math(g_0^\alpha(\bm r,\textcolor{red}{t,\bm r',}t')= \frac{\hbar}{2\pi V}\sum_{\bm k}\int d\omega e^{i\bm k\cdot(\bm r-\bm r')}e^{-i\omega(t-t')}g_{0\bm k,\omega}^\alpha);
のように、Green 関数は相対座標および相対時刻の関数となる。
またこのとき、Green 関数の Fourier 成分は や ではなく、 や に対する変換係数になっているとも言える。