スピントロニクス理論の基礎/9-1B の履歴(No.2)
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9-1 スカラー場により誘起される電荷密度 (2)†
不純物散乱の効果を正しく取り込む : vertex 補正†
(9.28)
&math( &\rho_\phi^{(1)}(\bm r,t)=
- i\frac{e^{\textcolor{red}{2}}}{V} \sum_{\bm k,\bm q} \int \frac{d\omega}{2\pi} \int \frac{d\Omega}{2\pi} e^{-i\bm q\cdot \bm r}e^{i\Omega t} \times \\ &\hspace{1.5cm} \phi(\bm q,\Omega)n_iv_i^2 \sum_{\bm k_1}\left[ g_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}} \, g_{\bm k_1-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}} \, g_{\bm k_1+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}} \, g_{\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}} \right]^< );
この補正が出てくる理由が分からない。
(8.118) および (9.4J) を完全に評価する限り 近似は入っていないと思っていたのだけれど・・・
ここまで、近似というか、多少なりともごまかしが入ったのは
- (8.101), (8.101') で初期条件がおかしくなったこと
- (8.119) の不純物平均
- (8.123) の実部は無視できるのか
くらい?
- (9.28) の項は (9.4) 式の高次項ではない
- (9.5) 式の を で展開した形に似ている
- それならなぜ (9.28) 式の は でないのか?
- この項は (8.118) や (9.4J) の導出中に行われた近似で落とされていたのに 気付かなかった?
あたりが疑問。
(9.4) 式の高次項ではない†
(9.4) 式は で展開しているので、高次項には の2次以上が含まれるはずだが、 (9.28) に は1つしか入っていない。
(9.5) 式の g を g0 で展開した形に似ている†
(8.121) より、
&math( g^\alpha_{\bm k,\omega} = g^\alpha_{0\bm k,\omega}
- n_iv_i^2\frac{1}{N} \sum_{\bm q'} g^\alpha_{0\bm k,\omega} g^\alpha_{0\bm k+q',\omega} g^\alpha_{0\bm k,\omega} + \dots );
この1項目と2項目とを掛け合わせると、 の項が出る。
&math( \left[ g^\alpha_{\bm k+\frac{q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}} \, g^\alpha_{\bm k-\frac{q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}} \right]^< );
にこれらをそのまま入れると、かなり似た項は出るが、(9.28) そのものは出ない。
そもそも、こういう項は や の形になるから、どうも話が違う。
これらの過程は (9.27) の に含まれている、上下どちらかに1つ耳の生えたタイプということで、 改めて組み込む必要は無いということだと思う。
なぜ (9.28) 式の は でないのか†
上下に耳が生える過程を組み込むため?
これまでの近似で落とされていたのに気付かなかった?†
たぶんそう。
どこから出てくるのだろう?・・・不純物平均のところか。
上で見たとおり、(9.28) の項は の2次の項とゼロ次の項を掛けた物ではなく、 1次の項を2つ掛けた物だ。
8-10 では1次の項は不純物平均により消えるとされたけど、 ポテンシャルがあると残る物が出てくるのかも。
不純物平均の前まで戻って とする。
(8.145) からポテンシャルを3回含む項を取り出してみる。
それ以外の項は下線を引いて、どんどん消していく。
&math( &g_{\bm k,\bm k',\omega}^< = \underline{\delta_{\bm k,\bm k'}g_{0\bm k,\bm k',\omega}^<}
- \sum_{\bm q}\big[
g_{0\bm k,\bm k',\omega}^rv(\bm q)g_{\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^< +g_{0\bm k,\bm k',\omega}^<v(\bm q)g_{\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^a
\big] \\&= \sum_{\bm q}\Big[g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r v(\bm q) \Big( \underline{\delta_{\bm k+\bm q,\bm k'}g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^<} +\sum_{\bm q'}\big[ g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^rv(\bm q')g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^< +g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^<v(\bm q')g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^a \big]\Big)\\
&\hspace{9.5mm}+g_{0\bm k,\bm k',\omega}^< v(\bm q) \Big( \underline{\delta_{\bm k+\bm q,\bm k'}g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^a} +\sum_{\bm q'} g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^av(\bm q')g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^a \Big)
\Big] \\&= \sum_{\bm q,\bm q'}\Big[g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r v(\bm q) g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^rv(\bm q') \Big( \underline{\delta_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k'}g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^<}\\
&\hspace{4cm}+\sum_{\bm q''}\big[ g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^rv(\bm q'')g_{\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega}^< +g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^<v(\bm q'')g_{\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega}^a \big] \Big)\\
&\hspace{9.5mm}+g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r v(\bm q) g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^<v(\bm q') \Big( \underline{\delta_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k'}g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^a} +\sum_{\bm q''} g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^av(\bm q'')g_{\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega}^a \Big)\\
&\hspace{9.5mm}+g_{0\bm k,\bm k',\omega}^< v(\bm q) g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^av(\bm q') \Big( \underline{\delta_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k'}g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^a} +\sum_{\bm q''} g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^av(\bm q'')g_{\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega}^a \Big)
\Big] \\&= \sum_{\bm q,\bm q',\bm q''}\Big[g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r v(\bm q) g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^rv(\bm q') g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^rv(\bm q'') g_{0\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega}^< \\
&\hspace{13mm}+g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r v(\bm q) g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^rv(\bm q') g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^<v(\bm q'')g_{0\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega}^a \\
&\hspace{13mm}+g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r v(\bm q) g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^<v(\bm q') g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^av(\bm q'')g_{0\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega}^a \\
&\hspace{13mm}+g_{0\bm k,\bm k',\omega}^< v(\bm q) g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^av(\bm q') g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^av(\bm q'')g_{0\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega}^a \\
&\hspace{13mm} \Big] \delta_{\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k'} \\ );
(8.153) を入れると、
&math( &= \sum_{\bm q,\bm q',\bm q''}\Big[
g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r v(\bm q) g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^rv(\bm q') g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^rv(\bm q'') f(\omega) \Big( \underline{g_{0\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega}^a}-g_{0\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega}^r \Big) \\
&\hspace{13mm}
+g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r v(\bm q) g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^rv(\bm q') f(\omega) \Big( \underline{g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^a}-\underline{g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^r} \Big) v(\bm q'')g_{0\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega}^a \\
&\hspace{13mm}
+g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r v(\bm q) f(\omega) \Big( \underline{g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^a}- \underline{g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^r} \Big) v(\bm q') g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^av(\bm q'')g_{0\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega}^a \\
&\hspace{13mm}
+ f(\omega) \Big( g_{0\bm k,\bm k',\omega}^a- \underline{g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r} \Big)v(\bm q) g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^av(\bm q') g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^av(\bm q'')g_{0\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega}^a \\
);
となる。
このままだと、下線を引いた項同士は打ち消し合ってしまって、 および の項しか残らない。
これは との相互作用で が変化しないとしたためで、 が変化するようなポテンシャルが入っている場合には、 打ち消さない項が残る?
例えば2つ目が で、 が変化するとすれば、
&math( &= \sum_{\bm q,\bm q',\bm q''}\Big[
g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r v_i(\bm q) g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^rv_\phi(\bm q') g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega+\Omega}^rv_i(\bm q'') f(\omega+\Omega) \Big( g_{0\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega+\Omega}^a -g_{0\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega+\Omega}^r \Big) \\
&\hspace{13mm}
+g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r v_i(\bm q) g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^rv_\phi(\bm q') f(\omega+\Omega) \Big( g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega+\Omega}^a - g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega+\Omega}^r \Big) v_i(\bm q'')g_{0\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega+\Omega}^a \\
&\hspace{13mm}
+g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r v_i(\bm q) f(\omega) \Big( g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^a - g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^r \Big) v_\phi(\bm q') g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega+\Omega}^av_i(\bm q'')g_{0\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega+\Omega}^a \\
&\hspace{13mm}
+ f(\omega) \Big( g_{0\bm k,\bm k',\omega}^a - g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r \Big)v_i(\bm q) g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^av_\phi(\bm q') g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega+\Omega}^av_i(\bm q'')g_{0\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega+\Omega}^a \\
&\hspace{13mm} \Big]\delta_{\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k'}\\ );
となって、やっぱり結局消えてしまいそうに思うけれど・・・
よく分からない。
上記で残ると思われる2つの項について、不純物平均を取ると
&math( &= \sum_{\bm q,\bm q',\bm q''}\Big[
- f(\omega+\Omega) g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r v_i(\bm q) g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^rv_\phi(\bm q') g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega+\Omega}^rv_i(\bm q'') g_{0\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega+\Omega}^r \\
&\hspace{13mm}
+ f(\omega) g_{0\bm k,\bm k',\omega}^a v_i(\bm q) g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^av_\phi(\bm q') g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega+\Omega}^av_i(\bm q'')g_{0\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega+\Omega}^a
\Big]\delta_{\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k'}\\ &= n_iv_i^2 \sum_{\bm q,\bm q'} \delta_{\bm q+\bm q'',\bm 0} v_\phi(\bm q') \Big[
- f(\omega+\Omega) g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^r g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega+\Omega}^r g_{0\bm k+\bm q',\bm k',\omega+\Omega}^r \\
&\hspace{45mm}
+ f(\omega) g_{0\bm k,\bm k',\omega}^a g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^a g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega+\Omega}^ag_{0\bm k+\bm q',\bm k',\omega+\Omega}^a
\Big]\delta_{\bm k+\bm q',\bm k'}\\ );
あれ、ちょっと合わないか。後でもう少し考える。